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1、不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳猜想证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题设数列an满足an1anan1，n1，2，3，(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列an的一个通项公式(2)当a13时，证明对所有的n1，有ann2；.解(1)由a12，得a2aa113；由a23，得a3a2a214；由a34，得a4a3a315.由此猜想：ann1(nN)(2)用数学归纳法证明：当n1时，a1312，不等式成立；假设当nk时，不等式成立，即akk2，那么当nk1时，ak1akak1ak(akk)1(k2)(k2k)12(k2
2、)1k3(k1)2，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.综上可得，对于所有n1，有ann2.由an1an(ann)1及，对k2，有akak1(ak1k1)1ak1(k12k1)12ak112(2ak21)122ak22123ak32221ak2k1a12k2212k1a12k112k1(a11)1，于是1ak2k1(a11)，k2.因此，原不等式成立.在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而“命题P(k1)成立”就是所要证明的结
3、论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧1分析综合法用数学归纳法证明关于正整数n的不等式，从“P(k)”到“P(k1)”，常常可用分析综合法求证：，nN.证明(1)当n1时，因为1，所以原不等式成立(2)假设nk(k1，kN)时，原不等式成立，即有，当nk1时，.因此，欲证明当nk1时，原不等式成立，只需证明.从而转化为证明，也就是证明，即()2()2k2k12120，从而.于是当nk1时，原不等式也成立由(1)、(2)可知，对于任意的正整数n，原不等式都成立2放缩法涉及关于正整数n的不等式，从“k”过渡到“k1”，有时也考虑用放缩法求证：1(nN)证
4、明(1)当n1时，左边1，右边.左边右边，不等式成立(2)假设nk(k1，kN)时不等式成立，即1.当nk1时，1,sdo4(2k1项)2k1.nk1时，不等式成立由(1)、(2)可知，1(nN)3递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an1的关系，实现从“k”到“k1”的过渡设0a1，定义a11a，an1a，求证：对一切nN，有1an1，又a11a，显然命题成立(2)假设nk(k1，kN)时，命题成立，即1ak(1a)a1，同时，ak1a1a，当nk1时，命题也成立即1ak1.综合(1)、(2)可知，对一切正整数n，有1an.4学会借用同一题中已证明过的结论在从k到k1的
5、过程中，若仅仅利用已知条件，有时还是没有证题思路，这时考查同一题中已证明过的结论，看是否可借用，这种“借用”思想非常重要设xn是由x12，xn1(nN)定义的数列，求证：不等式xn2.所以xn(nN)显然成立下面证明：xn(nN)(1)当n1时，x121，不等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，即xk，那么，当nk1时，xk1.由归纳假设，xk，则.因为、不是同向不等式，所以由递推式无法完成由k到(k1)的证明，到此好像“山重水复疑无路”，证题思路受到阻碍受阻原因分析：要利用递推式xk1，只有找出关系式这样一个条件，才可以接通思路当注意到前面已证明xn以后，问题就可以解决了思路
6、受阻的原因就在于不会借用前面已经证明的结论事实上，xk，.xk1.即xk1.一、选择题1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步应验证( ) An1 Bn2Cn3 Dn4答案：C2设f(n)(nN)，则f(n1)f(n)( )A. B.C.D.解析：选D由题意知f(n)，f(n1)，故f(n1)f(n).3用数学归纳法证明11n(nN)成立，当n1时，应验证( )A.1B.1C.1D.1”时，n的最小取值n0为_解析：n01时，1不适合原式要求n02时，1，再用数学归纳法证明答案：26若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是f(k1)_解析：f(k)1222
7、(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案：f(k)(2k1)2(2k2)27用数学归纳法证明：cos cos 3cos 5cos (2n1)(sin 0，nN)，在验证n1时，等式右边的式子是_解析：本题在n1时，右边考查二倍角的正弦公式，右边cos .答案：cos 8设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1，2，3，)，则它的通项an_解析：法一：分别令n1，2，3求出a2，a3，通过不完全归纳法知an.法二：对已知等式因式分解得(n1)an1nan(an1an)0.由an0知，再由累乘法求得an
8、.答案：三、解答题9在数列an中，a1a21，当nN时，满足an2an1an，且设bna4n，求证：bn各项均为3的倍数证明：(1)a1a21，故a3a1a22，a4a3a23.b1a43，当n1时，b1能被3整除(2)假设nk时，命题成立，即bka4k是3的倍数，则nk1时，bk1a4(k1)a4k4a4k3a4k2a4k2a4k1a4k1a4ka4ka4k1a4k1a4k1a4k3a4k12a4k.由归纳假设，a4k是3的倍数，3a4k1是3的倍数，故可知bk1是3的倍数，nk1时命题也正确综合(1)、(2)可知，对正整数n，数列bn的各项都是3的倍数10用数学归纳法证明：对nN时成立证明
9、：(1)当n1时，不等式成立(2)假设nk时不等式成立即.则nk1时，.即nk1时不等式成立由(1)、(2)知不等式对任意nN都成立11已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn10(n2)(1)判断是否为等差数列？并证明你的结论；(2)求Sn和an；(3)求证：SSS.解：(1)S1a1，2.当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.2，故是以2为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)得2(n1)22n，Sn(nN)，当n2时，an2SnSn1.当n1时，a1an(3)证明：当n1时，S，成立假设nk(k1，且kN)时，不等式成立，即SSS成立，则当nk1时，SSSS.即当nk1时，不等式成立由，可知对任意nN不等式成立文档已经阅读完毕，请返回上一页！