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1、非线性数学复习提纲公选课程非线性分析之对称与复杂复习提纲 1、1904年，瑞典数学家冯?科赫(HVKoch)构造了著名的魔线:取单位?1长度线段E，将其等分为三段，中间的一段用边长为E的的等边三角形的两003边代替得到E，它包含四条线段，对E的每条线段重复同样的操作后得E，对112E的每条线段重复同样的操作后得E，继续重复同样的操作无穷次时所23得的曲线F称为科赫曲线(图1). 由上可知，科赫曲线是对E“”反复实施变换“”形成的，我们0称E“”为初始元，“”为生成元(或分形元). 0(图1 题1. 1890年，意大利数学家皮亚诺(G.Peano)构造了著名的皮亚诺曲线，这条曲线最终能填满整个平
2、面区域. 图2是它构作的头几级，则它的初始元是( )，生成元是( ). (a) (b) (c) (d) 图2 解:据观察，皮亚诺曲线是对直线段(a)不断施以同一种变换构成的，所以初始元为(a);在构作的每一步都是将原图中所有线段三等分，以中间一段为一边向线段两旁各作一正方形，所以生成元为(b) 题2 . 19151916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基 “垫片”:设E是边长为1的等边三角形区域，将它0均分成四个小等边三角形，去掉中间一个得E，对E的每个小等边三角形进行相同的操作11得E，这样的操作不断继续下去直到无穷，
3、所得图形F称为谢尔宾斯基“垫片”(图23).它被用作超导现象和非晶态物质的模型. 图3 试指出谢尔宾斯基“垫片”的初始元( E0 )和生成元(E1 ). 和生成元( E1 ). 题3. 试指出谢尔宾斯基 “地毯”的初始元( E0 )图4 题4. 若一分形以单位长线段为初始元，以“”为生成元(其五条小线段的长均1为单位线段长的)，你能作出此分形构作过程中的一、二、三、四步吗, 3)中，每次挖掉的是正方形区域的内心而留下了题5. 在谢尔宾斯基地毯的生成(图4它的边，n为实施次数， (1)用n表示新正方形的个数. (2)用n表示新正方形的边长. ln()NrD,lim题6. 分形维数的计算公式为，请参照一下康托尔集的维数计算方法r,0ln1r，计算科赫曲线(见图1)的维数。 题7. 一个图形绕着某个定点，旋转一个的角度后能与自身重合，这样的图形称作旋转对称图形。旋转时达到自相重合的最小角称为元角。请问下图的元角是多少,并说明理由。 题8. 什么是黄金比例,有哪些东西符合这种比例,(举3-4个例子说明) 题9. 请谈谈你对“对称性与对称破缺”的认识，并对经济学中的案例进行分析。 题10 请谈谈你学习本课程的体会。