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1、高一数学必修1第一章知识点总结高一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1、集合的含义:把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 、集合的中元素的三个特性:元素的确定性 元素的互异性 元素的无序性 23、集合与元素的关系:属于与不属于关系 元素与集合M的关系是，或者，两者必居其一. aM,aM,a4、集合的表示 列举法:把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“, ,”括起来表集合的方法叫做列举法 描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。 , 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q
2、实数集R 复数集C 5、集合的分类: (1) 有限集:含有有限个元素的集合 (2) 无限集:含有无限个元素的集合 2(3) 空集:不含任何元素的集合 例:x|x=,5, 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即若a?A,则a?B,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A?B,这时我们说集合A是集合B的子集. A,B注意:有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 ,反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2(“相等”关系:元素相同则两集合相等 即:? 任何一个集合是
3、它本身的子集。A,A ?真子集:如果A,B,且A, B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ?如果 A,B, B,C ,那么 A,C ?如果A,B 同时 B,A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 nnn, 有n个元素的集合，含有2个子集，2-1个真子集, 2-2个非空真子集。 三、集合的运算 运算交 集 并 集 补 集 类型 设S是一个集合，A是S的一个子集，由所有属于A且属于B的由所有属于集合A或属于集合由S中所有不属于A的元素组成的定 元素所组成的集合,叫做B的元素所组成的集合，叫做集合，叫做S中子
4、集A的补集 :A,B的交集(记作AB(读B(读A,B的并集(记作:A ，即CA= 记作x|x,S,且x,ASCAS:作A交B)，即AB=作A并B)，即AB 义 ,x|xA，且xB,( =x|xA，或xB)( ,韦 AABB恩 S A 图 图2图1示 :AA=A A= A=A A=A A性 :(CA) (CB)= C (AB) uuu:AB=BA ABA AB=BA AB, , :(CA) (CB)= C(AB) uuu:ABB ABB ,质 :A (CA)=U A (CA)= ( uu1 二、函数的有关概念 1、函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任
5、意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)，x?A(其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域( 注意: 的集合称为函数的定义域。 A定义域:能使函数式有意义的实数x求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都
6、有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:?表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);?定义域一致 (两点必须同时具备) B值域 : 先考虑其定义域 ?直接法:从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数; ?换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式; ?判别式法:运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且 ?R的分式; ?分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图); ?单调性法:利用函数的单调性求值域; ?
7、图象法:二次函数必画草图求其值域; ?利用对号函数 ?几何意义法:由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 C区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 2、函数的表示法: 解析法、图像法和列表法 (1)分段函数 ?在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 ?各部分的自变量的取值情况( ?分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集( 补充:复合函数 如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=fg(x)=F(x)(x?A) 称为f、g的复合函数。 (2)映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使
8、对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B,的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)” ,对于映射f:A?B来说，则应满足: ?集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的; ?集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个; ?不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 三、函数的基本性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x，x，当xx1212时，都有f(x)f(x)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区
9、间D称为y=f(x)的单调增区间. 12如果对于区间D上的任意两个自变量的值x，x，当xx时，都有f(x),f(x)，那么就说f(x)在这1212 12个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 2 (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ? 任取x，x?D，且xx;?作差f(x),f(x);?变形(通常是因式分解和配方);? 定号
10、(即121212判断差f(x),f(x)的正负);? 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)( 12(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数的单调性与构成它的函数，的单调性密切相关，其规律:“同增异减” fg(x)u=g(x)y=f(u)注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数( (2)奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=f(x)，那
11、么f(x)就叫做奇函数( (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: ?首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;?确定f(,x)与f(x)的关系;?作出相应结论:若f(,x) = f(x) 或 f(,x),f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(,x) =,f(x) 或 f(,x)，f(x) = 0，则f(x)是奇函数( 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)?f(x)=
12、0或f(x),f(-x)=?1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 3、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有:凑配法 待定系数法 换元法 消参法 4、函数最大(小)值 ?利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值?利用图象求函数的最大(小)值?利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 3