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1、高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(新课标人教A版)_1高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(新课标人教A版) 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 复习寄语: 高三第一轮复习资料 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、 对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、 三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、
2、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修11:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修12:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修21:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修22:导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修23:计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3:由6个专题
3、组成。 - 2 - 选修31:数学史选讲。 选修32:信息安全与密码。 选修33:球面上的几何。 选修34:对称与群。 选修35:欧拉公式与闭曲面分类。 选修36:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修41:几何证明选讲。 选修42:矩阵与变换。 选修43:数列与差分。 选修44:坐标系与参数方程。 选修45:不等式选讲。 选修46:初等数论初步。 选修47:优选法与试验设计初步。 选修48:统筹法与图论初步。 选修49:风险与决策。 选修410:开关电路与布尔代数。 2(重难点及考点: 重点:函数，数列，三角函数，平面向量， 圆锥曲线，立体几何，导数 难点:函数、圆锥曲线 高
4、考相关考点: ?集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ?函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ?数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ?三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ?平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ?不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 ?直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆
5、、直线与圆的位置关系 ?圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用 ?直线、平面、简单几何体:空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 ?排列、组合和概率:排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ?概率与统计:概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ?导数:导数的概念、求导、导数的应用 ?复数:复数的概念与运算 1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成 的集合，称为集合A与B的并集.记作:、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素 组成的集合，称为A与B的交集.记作:、全集、补集,且?1.2.1、函数的概念 1、
6、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作: 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. ?1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. ?1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设x1、那么 第一章:集合与函数概念 ?1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、
7、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合:N*或在a,b上是增函数; 在a,b上是减函数. 步骤:取值作差变形定号判断 格式:解:设且，则: (2)导数法:设函数在某个区间内可导，若，则f(x)为增函数; 若，则f(x)为减函数. ?1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个 ZQR. 4、集合的表示方法:列举法、描述法. ?1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意 一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 2、 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B
8、的真子集.记作:AB. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:并规 定:空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有2个子 集，个真子集. ?1.1.3、集合间的基本运算 - 2 - n x，都有，那么就称函数为 偶函数.偶函数图象关于y轴对称. 2、 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个 x，都有，那么就称函数为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数在点x0 函数在点x0处的导数是曲线在 n P(x0,f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方 程是?;? n 其中、 当n为奇数时，; 当n为偶数时，a n ; ? n ; ?x; ?;
9、?; ? x x x x 3、 我们规定: ?a nm 11 ;? * (1)(2) ? ?a r s ; 1 ; na (3) vv2 4、复合函数求导法则 复合函数的导数和函数 的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 解题步骤:分层层层求导作积还原. (1)极值定义: 极值是在x0附近所有的点，都有f(x),f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值; 极值是在x0附近所有的点，都有f(x),f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值. (2)判别方法: ?如果在x0附近的左侧f(x),0，右侧f(x),0，那么f(x0)是极大值; ?如果在x0附近
10、的左侧f(x),0，右侧f(x),0，那么f(x0)是极小值. (1)求在(a,b)内的极值(极大或者极小值) ; rs ; r r ? r ?2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象: x 2、性质: (2)将的各极值点与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。 注:极值是在局部对函数值进行比较(局部性质);最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。 第二章:基本初等函数(?) ?2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果，那么x叫做a 的n次方根。 - 3 - n ? 1、指数与对数互化式:; x 2、对数恒等式:a logaN 3、基本性质:，
11、时: ?; ?; n 第三章:函数的应用 ?3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程有实根 函数的图象与x轴有交点 函数有零点. 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数 ? 5、换底公式: logcb logca 6、重要公式: m m logab n 1 7、倒数关系: logba ?2.2.2、对数函数及其性质 1、记住图象: 2、性质: 在区间内有零点，即存在， 使得，这个c也就是方程的根. ?3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. ?3.2.1、几类不同增长的函数模型 ?3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图，再用适当的
12、函数拟合，最后检验. 第一章:空间几何体 圆柱、圆锥、圆台、球。 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ?2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象: 截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 - 4 - 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 该直线与此平面平行(简称线线平行，则线面平行)。 ?性质:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行(简称线面平行，则线线平行)。 10 ?判定:一个平面内的两
13、条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行(简称线面平行，则面面平行)。 ?性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 ?圆柱侧面积;S侧面 它们的交线平行(简称面面平行，则线线平行)。 11 ?定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线， 那么就说这条直线和这个平面垂直。 ?判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直(简称线线垂直，则线面垂直)。 ?圆锥侧面积:S侧面 ?圆台侧面积:S侧面?体积公式: ?性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12 ?定义:两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。 ?判定:一个平面经
14、过另一个平面的一条垂线，则这两个 平面垂直(简称线面垂直，则面面垂直)。 ?性质:两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的 直线垂直于另一个平面。(简称面面垂直，则线面垂直)。 第三章:直线与方程 1、倾斜角与斜率:?点斜式:?斜截式: V柱体;V锥体 1 ; 3 V台体 1 S上上下下h 3 ?球的表面积和体积: S球 4 ，V球 3 第二章:点、直线、平面之间的位置关系 1如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条 直线在此平面内。 ?两点式: 2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线。 ?截距式:
15、xy 4平行于同一条直线的两条直线平行. 5空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这 两个角相等或互补。 ?一般式: 6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7直线在平面内、直线和平面平行、直 线和平面相交。 有: ; 21 - 5 - 8平行、相交。 9 ?判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 ?l1和l2相交; ?l1和l2重合 ; 直线与圆的位置关系有三种: 222 ? 相离相切 相交. 有: 2 2 ?; ?l1和l2相交; ?外离:; ?外切:; ?相交:; ?内切:; ?内含: ?l1和l2重合; ? 2 2 7、两平行线间的距离公式: l1:与l2:平行， 则 2 2
16、 第一章:算法 自然语言、流程图、程序语言; 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法; 顺序结构、条件结构、循环结构 第四章:圆与方程 ?标准方程: 2 2 2 当型循环结构 直到型循环结构 其中圆心为(a,b)，半径为r. ?一般方程:其 2 2 ?顺序结构示意图: 中圆心为 D2 E2 )，半 径为 - 6 - (图1) ?条件结构示意图: ?IF-THEN-ELSE格式: (图2) ? (图3) ?循环结构示意图: (图4) ?直到型(UNTIL 型)循环结构示意图: (图5) (“=”有时也用“?”). ?条件语句的一般格式有两种: IFTHENELSE语句的一般格式
17、为: IFTHEN语句的一般格式为: ?循环语句的一般格式是两种: 当型循环(WHILE)语句的一般格式: 直到型循环(UNTIL)语句的一般格式: 0而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: ?):用较大的数m除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0; ?):若R0,0，则n为m，n的最大公约数;若R0 - 7 - ?0，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1; ?):若R1,0，则R1为m，n的最大公约数;若R1?0，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2; 依次计算直至Rn,0，此时所得到的即为所求的最大公约数。 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下:
18、?):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是，用2约简;若不是，执行第二步。 ?):以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 ?进位制 十进制数化为k进制数除k取余法 k进制数化为十进制数 第二章:统计 ?简单随机抽样(总体个数较少) ?系统抽样(总体个数较多) ?分层抽样(总体中差异明显) 注意:在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本， n 每个个体被抽到的机会(概率)均为。 N?一表二图: ?频率分布表数据详实 ?频率分布直方图分布直观 ?频率分布折线图便于观察总体分布趋势 注:
19、总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ?茎叶图: ?茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 ?个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 ?平均数: ; n 标准差: 1n n 2 i 注:方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的稳定水平。 ?线性回归方程 ?变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ?制作散点图，判断线性相关关系 ?线性回归方程:(最小二乘法) n 注意:线性回归直线经过定点(x,y)。 第三章:概率 ?事件:试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示; ?必然事件
20、、不可能事件、随机事件的特点; ?随机事件A的概率: m ?基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果; ?古典概型的特点: ?所有的基本事件只有有限个; ?每个基本事件都是等可能发生。 ?古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率 m. n 3、几何概型: ?几何概型的特点: ?所有的基本事件是无限个; ?每个基本事件都是等可能发生。 ?几何概型概率计算公式: d的测度 ; D的测度 取值为的频率分别为，则其平均数为; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ?方差与标准差:一组样本数据 1 方差: n n 2 i ; 其中测
21、度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。 ?不可能同时发生的两个事件称为互斥事件; ?如果事件任意两个都是互斥事件，则称 - 8 - 事件彼此互斥。 ?如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和， 即: ?如果事件A1彼此互斥，则有: ?对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。 ?事件A的对立事件记作A 余弦线:OM; 正切线:AT 5、 特殊角0?，30?，45?，60?， ?对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。 ?1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: 2 2 第一章:三角函数 ?1.1.1、任意
22、角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合: ?1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 的角. 2、 3、 倒数关系:tan 2、 商数关系:、三角函数的诱导公式 (概括为) 1、 诱导公式一: (其中:) 2、 诱导公式二: l. r 3、弧长公式: 180 4、扇形面积公式: 2 3、诱导公式三: ?1.2.1、任意角的三角函数 1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 y ，那么: x 2、 设点 那么: (设为角终边上任意一点， 4、诱导公式四: 5、诱导公式五: xyxy ， yrrx 3、 ，在四个象限的符号和三角 函
23、数线的画法. 正弦线:MP; si 6、诱导公式六: - 9 - ?1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象: 1、记住正切函数的图象: 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定 义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为: (0，0)(，1)(，0)(，-1)(，0). 22 2、记住余切函数的图象: 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域- 10 - ?1.5、函数的图象 1、对于函数: 纵坐标变为
24、原来的A倍 纵坐标不变横坐标变为原来的 有:振幅A，周 期 1 |倍 ，初相，相位，频率 T 2、能够讲出函数的图象与 (左加右减) 平移|B|个单位(上加下减) 的图象之间的平移伸缩变 换关系. ? 平移 个单位 函数，x?R及函数，x?为常数，且A?0)的周期数，常数，且A?0)的周期 (左加右减) ;函 y 纵坐标变为原来的A倍 2 为 纵坐标不变横坐标变为原来的| 1 |倍 平移个单位(上加下减) 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数图像的对称轴与对称中心，只需令 ? 2 解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 利用图像特征: - 11 - 与 ， 要根据
25、周期来求要用图像的关键点来求. ?1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第三章、三角恒等变换 ?3.1.1、两角差的余弦公式 ?3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 . 6、 . ?3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、， 、 变形如下: 2 、 4、 ?3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次 (其中辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定 b a ). 第二章:平面向量 ?2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. ?2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方
26、向的线段叫做有向线段，有向线段包含三 个要素:起点、方向、长度. 2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称 模)，记作 ;长度为零的向量叫做零向量;长 度等于1个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共 线向量).规定:零向量与任意向量平行. ?2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ?2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则. ?2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则. ?2.2.3、
27、向量数乘运算及其几何意义 - 2 - 1、 规定:实数与向量的积是一个向量，这种运 算叫做向量的数乘.记作:，它的长度和方向规定如下: ? ?2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 2、 a在b 、 、 2 ?当时的方向与a的方向相同;当. 时的方向与a的方向相反. 2、 平面向量共线定理:向量与b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使?2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面 ?， ?， ?， ?、 设，则: 、平面向量共线的坐标表示 1、设，则 ?线段AB中点坐标为 5、 ?2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设，则: ? ?
28、 ? 2、 设，则: 3、 两向量的夹角公式 ab 4、点的平移公式 平移前的点为P(x,y)(原坐标)，平移后的对应点 为(新坐标)，平移向量为， 则 函数的图像按向量平移后的 图像的解析式为、平面几何中的向量方法 ?2.5.2、向量在物理中的应用举例 知识链接:空间向量 - 3 - ， 2 ?ABC的重心坐标为 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳. 1 若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的 量是u，则要证明l?，只需证明，即 即:直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ?(法二)要证明一条直
29、线和一个平面平行，也可以在平面设直线l1,l2的方向向量分别是a、 l2，只需证明a?b，即 即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 ?(法一)设直线l的方向向量是a，平面的法向 - 4 - 则 ACBD ?定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 ? 如果是钝角，则， 即 ?求法:设直线l的方向向量为a，平面的法向量 为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为， 则为的余角或的补角 的余角.即有: ,P在直线l上，a为直线l的 au 方向向量，b=PQ，则点Q到直线l距离为 若点P为平面外一点，点M为平面 n 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平
30、面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 ?求法:设二面角的两个半平面的法向量 n，再设m、n的夹角为，二面角分别为m、 n的夹角的平面角为，则二面角为m、 或其补角 即 n ?如果是锐角，则， mn 即; mn - 5 - ?两平行平面之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。 即 n 设向量n与两异面直线a,b都垂直， 则两异面直线a,b间的距离d就是MP在向量n方向 上投影的绝对值。 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射 影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为、则有 (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 即
31、n 第一章:解三角形 16平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂推理模式: c (其中R为外接圆的半径) 概括为:垂直于射影就垂直于斜线. 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 用途:?已知三角形两角和任一边，求其它元素; ?已知三角形两边和其中一边的对角，求其它 元素。 推理模式: 概括为:垂直于斜线就垂直于射影. SS原 9 - 6 - 222 5 在中，若则或 第二章:数列 ?)为常数列; ?数列an为等差数列(p,q是常数) ?若等差数列的前n项和Sn，则Sk、 2 在三角函数中，不成立。 .特别注意， ?定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个
32、常数，那么这个数列就叫做等比数列。 a、G、b成等比数列(ab同号)。反之不一定成立。 ?通项公式: 注意通项能否合并。 S ?定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an,，(n?2，n?N)， 那么这个数列就叫做等差数列。 ?等差中项:若三数a、A、b成等差数列 2 ?常用性质 2 ?若，则 ?通项公式:或、q是常数). ?前n项和公式: ; ?为等比数列，公比为q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列) ?数列(为不等于零的常数)仍是公比为q的 k 等比数列;正项等比数列;则是公差为 ?若，则 lgq的等差数列; ?若是等比数列，则，an， 2 ; ?下标为
33、等差数列的项，仍组成等差数列; ?数列(为常数)仍为等差数列; ?若an、bn是等差数列，则kan、p是非零常数)、，也成等差数列。 ?单调性:的公差为d，则: ?)为递增数列; ?)为递减数列; - 7 - * ， 2 r 1 ，是等比数列，公比依次是q，qq rn ?单调性: 或为递增数列;或为递减数列; 为常数列; 为摆动数列; ?既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ?若等比数列的前n项和Sn，则Sk、 求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。 公式法:若已知数列的前n项和Sn与an 中f(n)是关于n的函数)可构造: 将上述个式子两边
34、分别相乘，可得: 的关系，求数列的通项an可用公式 构造两式作差求解。 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式;另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，(要先分和 两种情况分别进。 是关 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 (1)若时，数列an为等差数列; (2)若时，数列an为等比数列; (3)若且时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种: 法一:设展开移项整理得 于n的函数)可构造: 将上述个式子两边分别相加，可得: ?若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ? 若f(n)是关
35、于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ?若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和?若f( n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 与题设比较系 数(待定系数法)得 qqq 即构成 以 q 为首项，以p为公比的等比数列.再利用 的通项整理可 等比数列的通项公式求出得an. 法二:由得2)两式 - 8 - 相减并整理得 即构成以 为首项，以p为公比的等比数列.求出 ?两式相减得，即 的通项再转化为类型?(累加法)便可求 出an. ?形如 ，在转化为类型?便可求出an. 法三:递推公式为(其中p，q均 为常数)或(其中p，q, r均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除以q n 法
36、一:设， 通过待定系数法确定A、转化成以的值，为首项，以p为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得an. ，得: ，引入辅助数列(其中 anp1)，得:再应用类型?的方 qqqn 法解决。 在两边同时除以p 法二:当f(n)的公差为d时，由递推式得: 可得到 ，两式相减an得:得:，令转化为类型?求出 bn，再用类型? (累加法)便可求出an. ，令，则， 在转化为类型?(累加法)，求出bn之后得 pbn. 在原递推式两边取对数得 q q n 法一:设，通过 待定系数法确定的值，转化成以为首项，以p为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得an. ，令得:
37、 ，化归为型，求出bn 之后得(注意:底数不一定要取10，可根据题意选择) 。 倒数变换法: (p为常数且，转化为 b 法二:当f(n)的公比为q时，由递推式得: ?，两 边同时乘以q得?，由 - 9 - 形式， 化归为型求出1的表达式，再求an; an采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: 设 还有形如的递推式，也可采用取倒数方 法转化成形式，化归为 型求出1的表达式，再求an. an ，通分整理后与原式相 比较，根据对应项系数相等得 c ，从而可得 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为:设，比较系数得，可解得h、k，于是 cc11 常见的拆项公式有: ? 111 ; 11
38、11 是公比为h的等比数列，这样就化归为 型。 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上 不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式an. ?若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法. ?将数列的每一项分别乘以 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前n项和. ? ?Cn ? 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步:?找通向项公式?由通项公式确定如何分组. 如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与
39、倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征:?记住常见数列的前n项和: ? 此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方 法. 一般地，当数列的通项 c ; 2 2 ? 2 2 2 2 (a,b1,b2,c为常数)时，往往可将an变成两项的差， 1 - 10 - ?3.1、不等关系与不等式 ?(对称性)a?(传递性) ?(可加性) (同向可加性)(异向可减性)?(可积性)?(同向正数可乘性) (异向正数可除性) cd ba (当仅当a=b时取等号) abba 若则(当仅当a=b时取等号) ab ? ?若则 其中， 规律:小于1同加则变大，大于1同加则变小.
40、?当或 ?绝对值三角不等式 ?(平方法则)且 ?(开方法则)且?(倒数法则)?，(当且仅当b时取 2 2 1111 ?平均不等式: 号). 变形公式: ，(当且仅当时取号). (即调和平均几何平均算术平均平方平均). 变形公式: ?(基本不等式) ，(当 2 且仅当时取到等号). 2 变形公式: 用基本不等式求最值时(积定和最小，和定积最 大)，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ?(三个正数的算术几何平均不等式) 2 2 2 2 ?幂平均不等式: 1 ?二维形式的三角不等式: 、b、(当且仅当3 ?二维形式的柯西不等式: 时取到等号). ?， 2 2 2 当且 仅当时，等号成立. ?
41、三维形式的柯西不等式: (当且仅当时取到等号). ?(当且仅当时取到等号). 3 3 3 ?一般形式的柯西不等式: - 11 - 等. 5求一元二次不等式或 2 ?向量形式的柯西不等式: 当且仅当设是两个向量，则 是零向量，或存在实数k，使时，等号成 立. ?排序不等式(排序原理): 设为两组实数.c1,c2,.,cn是b1,b2,.,bn的任一排列，则 解集的步骤: 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 6分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7 (反序和乱序和顺序和) 当且仅当或时，反序和等于顺序和. ?琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有 f( 或22 f( f(x)