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1、高中数学竞赛单元训练题：三角函数高中数学竞赛单元训练题:三角函数 ?高中数学竞赛单元训练题 陕西省西安市高新一中党效文 陕西省韩城市司马迁中学任战武 一 ,选择题 1.如果一个含有3个元素的集合可表示为(sin0,COS0, 1),也可以表示为(sin.0,sin+COS0,0),那么sin.+COS.0 的值为(). A.0B.1C.一1D.士1 455infz+1+2x.+z 2?设函数,(z)一的最大值为M, 最小值为m,则M与m满足的关系式是(). A.M+m一2B.M+m一4 C.Mm一2D.Mm一4 3.已知?ABC的三边长a,6,c均为有理数,A一30,B 一20,则下面结论正确
2、的是(). A.COS0和COS50均为无理数 B.COS0为无理数,COS50为有理数 C.COS0为有理数,COS50为无理数 D.COS0和COS50均为有理数 4.在AABC中,若sin.A+COS.A一1,则AABC 是(). A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形 5.设,(z)一maxsinz,?sin3x,3sin号,1一c.sz),则 当o<z<睾时,(z)等于(). A.卜c.szB.了1sin3 C?3sin三3D?sin 6.已知(2cos0-1)(2cos20-1)(2cos2zO-1)(2cos2一0 1)一1,其中一等,则正整数
3、72的最小值是(). A.4B5C.6D.10 二,填空题 7?已知函数,(z)=3sin(>.)在区间一号,3上 的最小值为一3,则Jtd,值为 . s?已?一号,詈口且 ,十sinz一2a一0, 14.+sinycos+口一0. 则cos(x+2y)的值为 . 9.在?ABc中,已知sinAcos.詈+sinccos.A一3sinB, 则.A_?一2i导的值等于. 10.设函数,(z)一4sinzsin.(号+号)+c.s2x,若 If(x)一ml<2成立的充分条件是詈?z?等,则实数m的取 值范围是 . 11.已知a,J9?Io,号l,则.y2c.s(a+c.s(a+的 最小
4、值为 . 12.在?ABC中,已知tanA,tanB,tanC成等比数列,则 LB的取值范围是 . 三,解答题 13.在锐角AABC中,若COS.A,COS.B,COS.C之和等于 sinzA,sin.B,sin.C中的某一个,证明:tanA,tanB,tanC必可 按照某种顺序组成等差数列. 14.某市环保部门对该市每天环境污染情况进行调查研究后, 得出一天中环境污染指数,(z)与时间z(小时)的函数关系为 f(x)一I1sn(lx-181)+了1一.I+2a,x024. 其中.为与气象有关的参数,且.?-o,.若函数,(z)的最 大值为当天的综合污染指数,并记作M(.). (I)求函数M(
5、口)的表达式; (1I)市政府规定,每天的综合污染指数不得超过2,试问 该市目前的综合污染指数是否超标? 15.在非直角?ABC中,三边a,b,c满足关系式a+c一 (A>1). ?证antan导一; (I1)是否存在函数,(A),使得对一切满足条件的A, 舍的值恒为定值?若存在,求出,(A)的表达 式;若不存在,请说明理由. 参考答案 一 ,选择题 1.C.依题意sin0,cos0,1=sin0,sin0+cos0,0.由 集合中元素的互异性知sin?1,且sin?0.从而有C05一0, sin=1,sin一sin+cos解得sin一一1,cos=0.故 sin.+cos.一一1. z
6、.Az)一亟 一+1.因为g(z)一sinFx+x为奇函数,且 ,(z)存在最大值和最小值,所以g(z)也存在最大值M和最小 值m,且+m一0,故M+一(1Vr+1)+(+1)一2. 3.D.方法一:考查如图1所示的 圆内接四边形ABAC,其中圆的半 径为R,ABC一20.由于?ABC的 三边长a,6,c均为有理数,则由余弦 定理知COS30,COS20,COS(c一50), :一COS5均为有理数,从而由正弦 定理知,b=2Rsin20为有理数.于是, AA=2Rsin404Rsin20cos20也 图l 是有理数,ACACb也是有理数.再由托勒密定理知AB :(AA?BC-AC?AB)也是
7、有理数.故在?ABC中,由 ?, 余弦定理知COS是有理数. 方法二:在AABC中,由余弦定理知一COS50一cos(c一5) 为有理数,COS30和COS20也均为有理数,从而COS+COS50 :2cos30cos20为有理数,故COS0也是有理数. 4.B.因为sin.A+cos.A一1,所以音(1-cos2A)+音(111 +c.s2A):1,即(2+12COS22A+2c.s2A)=1.从而1+6 ? +()2一s,得c.sA+c.sA一s :0,即(cos4A一1)(cos4A+15)一0.因为COS4A+15>0,所 以COS4A-1=0,即cos4A一1.又0.<4
8、A<720.,所以4A 一 360.,即A一90.,故?ABC为直角三角形. 5.c因为sin3z一3sinz一4sinsz,o<z<号,所以专sin3z sinz一?sin3X<sinz.从而sinz3sin号一4s.n号 <3sin詈.X(1一c.sz)一sinz一1一(sinz+c.sz)一1一 .sin(z+q-),而o<z<号,所以<#2sin(z+)?,所以 1in(z+号)<o,因此1一cos<sinz?故,(z)一3sin号? 6.B.(2cos1)(2cos20-1)(2cos2一1)(2cos20 1)一(2c.s
9、一1)(2c.s2一1)?(2cos2一1) (2cos2一1)一.(2c0s20-1)(2c.s2一1). (2cos2一1)一?(2c.s2一1)(2cos2一1) (2cos2一1)一(2cos2一1)(2cos2一1) (2cos2一1)一(2c.s2一1)(2cos2一1) (2cos2一1)-.?一2cos2r0+1(2 c.s2一1) 一_1,所以c.s2c.s9c0s2荡一s.经 计算知,当一1,2,3,4时,等式均不成立;而当一5时,等式 成立.故的最小值为5. 二,填空题 7.2.因为,(z)一3sincox为奇函数,所以求的最小值, 即求T一的最大值.又f(X)在区间一手
10、,詈上取得最小 值为一3,所以?詈,即丁?.从而一孥?一2. 8.1.由题设得x(一S+2svi)n+x=i2a,n(-2y):2. 令,(,)一.?L由题设得(一2)a+si:2n.令,(一 +sint,tEI一4,詈,lJf()在一号,号上是增函数?由 于,(z)一2n一,(一2y),得x=一2y,即z+2y=0.故cos(x +2y)一1. 9.o.由已知等式,得sinA.+sinc. 一 号sinB,即sinA+sinc+sinAc.sc+c.sAsinc 一3sinB,FllPsinA+sinC=2sinB.所以2sinA 丁 +Cc.TA-C 一4sin导c.s导.又sin尘一c.
11、sB?o,所以c.sA-C zsin导卿cos一zsin导-o. .,.,一i. 1-cos(. x+)一 +. 一 2sinz(1+sinz)+12sinz一1+2sinz.当詈?z?警时, I,(z)一<2恒成立,即,(z)-2<m<,(z)+2恒成立,所 以If(x)一2<m<,(z)+23一.易知,(z)一3, ,(z)一2,il<m<4. 11.3 . 不妨设o?a?詈,则o?a一詈一詈,o ?a+詈+擎.由余弦函数的单调性,得一2c.s(a一) +c.s(a+?zcos(号一)+c.s(+号)一号cos+sin 一/3-sin(+号)?因为
12、詈?+号?警,所以sin(+号) ?.故当a一号,一.时,有一一号. 号)?因为tanAtanc-ta椰,所nB =-tan(A+C)一一tanA+ tanC ,即啪A+啪Ctall2B一1 =tanB(tanZB-1).从而O?(tanAtanC)一(tanA+tan63 一 4tanA.tanCtanB(tan2B一1)一4tan2Btan2B (tanzB+1)(tanB一3).因为tanzB(tanzB+1)>0,所以 tan2B>3,即tanB?一tanB从而BE(詈,警或 B?詈,詈).若B>詈,则o<A<一B<号,o<c<一B &l
13、t;要,故0<tanA<tan(7cB),0<tanC<tan(7cB),于是 tanA?tanC<tan2(7cB)一tanB,这与tanA?tanC =tanZB.盾,故B不可能为钝角.又当tanB/耐,必有tanA tanc,即ABc:詈.故BEI詈,号). 三,解答题 13.由对称性,不妨设COSA+COSB+COSC=sinC,则 T1+cos2A+(COS2csinZC)=0, 即1+c.s2c+专(c.s2A+c.s2B)=0, .2cosC+cos(A+B)cos(AB)一0. .cos(A+B)一一COSC?0, .2cosCcos(AB)一0,
14、 即cos(A-B)一2cosC一一2cos(A+B), -.3cosAcosB=sinAsinB,即tanAtanB一3. 从而tanc一一tan(A+B)一 一!?!里 2 故tanA,tanC,tanB依次成等差数列. 14.(I)设,一1sin云lz一181,则原函数可化为 gct一t+?一+zn. .O?z?24, .0<41一18l?. .O?,?1. 由于g(,)的图象为线段或折线,故g(,)的最大值在端点 或折点处取得. 又当g(,)的图象为折线时,在折点处的,值为n一号,而 g(n一?)一zn?maxg(.),g(专),所以g(t)的最大值为 =max (专) max
15、了1一n悟一n. 而g(O)一 当.?n<lat1, (当了1?n?T3时), g(?)一n+吾(.?n?导). 画出函数M(n)的草图如图2所示, 并解方程组j一.一1得:.并解方程组得n=. 1y=a-一百 从而 M(n)一 当.?n<时1, (当?n?时).图2 .,?上是增函数,故M(n)一 <2. 因此,该市目前的污染指数没有超标. 15.(I).n+c=Ab,-.sinA+sinC=2sinB, .2sinA 丁+Cc.ssin导c.s导. in一cosB :/:0n导_c0sA丁+C, .c.s.sA 丁 +C , 即c.sA c.s 导+sinsin 一 (c.sc.s一ssin), I.(+1)sinsin导一(一1)c.sc.s导. 故tanAtanC一 . (?)由(I)的结论,得tan?tan2=苦, . 1一COSA1一COSC(一1) 一1+COSA.1+COSC(+1) . c.sA+c.sc一 一 2 即一. 故存在函数,()一一,使得对于一切满足条件的, 一 恒成立. 0 一一 一一斗 3 ,?,?L 一3, 知0, M 0 ,一斗3,?,?,?l