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1、高中数学第讲联想“模型函数”破解抽象函数题（可编辑）联想“模型函数”破解抽象函数题 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数.由于此类试题既能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐.因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开.然而抽象来源于具体,抽象函数一般是由具体的函数抽象而得到的.如抽象函数fx满足fx+yfx+fy,可联想到fxkxk?0,有fx1kx1 ,fx2kx2,fx1+x2kx1+x2kx1+kx2fx1+fx2,则ykx就可以作为抽象函数fx满足fx+yfx+fy的一个“模型函数”.分析抽象函数问题的解题过程
2、及心理变化规律可知,由抽象函数的结构,联想到已学过的具有相同或相似结构的某个“模型函数”,并由“模型函数”的相关结论,预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质而使问题获解,是我们解决抽象函数问题的一般方法.有鉴于此,本文试图归纳一些中学阶段学过的常见“模型函数”,通过联想“模型函数”来破解抽象函数题. 一、中学阶段学过的常见“模型函数” 抽象函数 模型函数 fx+yfx+fy ykx(k为常数) fx+yfx+fy-a ykx+a(k,a为常数) fx+yfx?fy yax(a0且a?1) fxyfx+fy y a0且a?1 fxyfx fy yxn(n为常数) 注:记忆方法:如和的函数等于函数的
3、积对应的模型函数为指数函数,而积的函数等于函数的和对应的模型函数为对数函数等. 二、联想“模型函数”破解抽象函数题例析 【例1】已知函数fx对于任意实数x、y都有fx+yfx+fy,且当x0时,fx 0,f-1-2,求函数fx在区间-2,1上的值域. 联想:由fx+yfx+fy联想“模型函数”ykx(k为常数)为奇函数,k0时为增函数,从而猜测:fx为奇函数且fx为R上的单调增函数,且fx在-2,1上有fx?-4,2. 解析:设x10, ?fx2-x10, ?fx2-fx1fx2-x1+x1-fx1fx2-x1+fx1-fx1fx2-x10, ?fx2fx1,?fx为R上的单调增函数. 令xy
4、0,则f00,令y-x,则f-x-fx,?fx为R上的奇函数. ?f-1-f1-2 , ?f12,f-22f-1-4,?-4?fx?2x?-2,1, 故fx在-2,1上的值域为-4,2 注意:由fx+yfx+fy断定fxkx(k为常数)是错误的,犯了用特殊代替一般的错误(解客观题还是可以).我们只能借助fxkx(k为常数)来猜测fx的性质,为解题指明方向,至于fx的性质的得出,我们还是要由相关定义来严格证明,决不能含含糊糊. 【例2】函数对任意、R,都有,并且当时,.(1)求证:是R上的增函数; (2)若,解不等式. 联想:由联想“模型函数”ykx+1(k为常数),由条件易知k0,从而猜测:f
5、x为R上的单调增函数, 解析:(1)证明:设、?R,且,则,?, .即,?是R上的增函数. (2),?. 不等式即为, ?是R上的增函数,于是,解之得. 【例3】已知函数fx对于一切实数x、y满足f0?0,fx+yfxfy,且当x1,(1)当x0时,求fx的取值范围;(2)判断fx在R上的单调性 联想:由fx+yfxfy联想“模型函数”yax(a0,a?1),当a1时为单调增函数,且x0时,y1,x0时,0y1;0a1时为单调减函数,且x1,x0时,0y0时,0fx0,则-x1, 又f0fx-xfxf-x1, ?f-x 1,?0fx1 (2)设x1、x2?R ,且x1x2,则x1-x21, 则
6、1 ?fx1fx2, ?fx在R上为单调减函数 【例4】设函数定义在R上,对任意实数,恒有,且当时,. (1)求证:,且当时,; (2)求证:在R上递减; (3)设集合, 若,求的取值范围. (1)证明:在中,令,得, ?,?. 设,则,令,代入条件式有, 而,?. (2)证明:设,则,?. 令,则代入条件式, 得,即,?, ?在R上单调递减. (3)解:由, 又由(2)知为R上的递减,?点集表示圆的内部. 由得点集表示直线. ?,?直线与圆相离或相切. 于是. 【例5】已知函数fx定义域为0,+?且单调递增,满足f41,fxyfx+fy, (1)证明f10;(2)求f16;(3)若fx+fx
7、-3?1,求x的范围; (4)试证fxnnfx(n?N). 联想:由fxyfx+fy联想“模型函数”y(a0,a?0), 从而猜测:fx有f10,f162, 解析:(1)令x1,y4,则f4f14f1+f4,?f10; (2)f16f44f4+f42, (3)fx+fx-3fxx-3?1f4,fx在(0,+?)上单调递增 ? xx-3?4 ? -1?x?4 x-30 x3,即30 (4)?fxyfx+fy,?fxnfx?xxnfx(n?N) n个x 【例6】已知函数fx对于一切正实数x、y都有fxyfxfy且x1时,fx0;(2)求证:fx-1fx-1; (3)求证:fx在(0,+?)上为单调
8、减函数;(4)若fm9,试求m的值. 联想:由fxyfxfy联想“模型函数”yxa,从而猜测:fx0,在(0,+?)上为单调减函数, 解析:(1)对任意x0,fxff2?0, 假设存在y0,使fy0,则对任意x0,有fxf?yffy0, 这与已知矛盾,故对任意x0,均有fx0; (2)?fxfx1fxf1,fx0, ?f11, ?fxff?xf11, ?fx-1fx-1; (3)设x1、x2?0,+?,且x11,?f1, ?fx2f?x1ffx1fx1, 即fx2fx1, ?fx在(0,+?)上为单调减函数. (4)?f2,fm9 ?f2fm1,?f2m1f1, 而fx在0,+?是单调减函数,
9、?2m1,即m. 【练习】 1.函数的定义域为,则函数的定义域是_. 分析:因为相当于中的x,所以, 解得或. 2.已知的定义域为R,且对任意实数x,y满足,求证:是偶函数分析:在中,令,得 令,得 于是,故是偶函数. 3. 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5,那么在区间上是 A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为 4.已知的定义域为,且对一切正实数x,y都成立,若,则_. 分析:在条件中,令,得 , 又令,得, 5.已知是定义在R上的函数,且满足:,求的值. 分析:紧扣已知条件,并多次使用,发现是周期函数,显然,于是, 所以,故是以8
10、为周期的周期函数,从而6.已知函数是定义域为R的偶函数,时,是增函数,若,且,则的大小关系是_. 分析:且, 又时,是增函数, 是偶函数,故 7.已知函数对一切实数x都满足,并且有三个实根,则这三个实根之和是_. 分析:由知直线是函数图象的对称轴又有三个实根,由对称性知必是方程的一个根,其余两根关于直线对称,所以,故. 8.已知fx是定义在R上的函数,f11,且对任意x?R都有fx+5?fx+5,fx+1?fx+1.若gxfx+1-x,则g2008_. 解:由gxfx+1-x,得fxgx+x-1. 所以gx+5+x+5-1?gx+x-1+5,gx+1+x+1-1?gx+x-1+1 即 gx+5
11、?gx, gx+1?gx. 所以gx?gx+5?gx+4?gx+3?gx+2?gx+1,故gxgx+1 又g11,故g20081. 9.若函数是偶函数,则的图象关于直线_对称. 分析:的图象的图象,而是偶函数,对称轴是,故的对称轴是. 10.已知函数定义在实数集上,且对任意均有 ,又对任意的x0,都有fx0,f3-3. (1)判断函数的奇偶性。 (2)证明函数在R上为单调减函数。 (3)试求函数在m,nm,n?Z,且mn0上的值域. 分析:在中学阶段满足性质的只有:,又对任意的x0,都有fx0, ?,显然此函数为奇函数,且在R上为减函数。类比它的性质,可以猜想本题的函数有关性质。 解:(1)令
12、,得:,? 再令y-x,得: ? 于是函数为奇函数。 (2)对任意,? ?(类比的性质) 现设,且,则,显然 而由题意知道,对任意的x0,都有fx0,? ?函数在R上为减函数。 (3)由于函数在R上为减函数,故在m,n上为减函数. ?在m,n上的最大值为,最小值为。 又由于, 同理: 又f3-33f1, ? ?, 因此函数在m,n上的值域为-n,-m. 11.已知函数yfx(x?R且x?0),对定义域内的任意实数x1、x2都有fx1x2fx1+fx2,又yfx在(0,+?)上是增函数. (1)求f1、f-1的值;(2)求证对定义域内的每一个x值,都有f-xfx; (3)解不等式fx+f2x-1
13、?0. 解: 1 f1f-10 ;2略;3 12.设函数fx的定义域为R,对于任意的实数x,y都有fx+yfx+fy,又当x0时,fx0,且f2-11求证:fx为奇函数; 2试问函数fx在区间-2008,2008上是否存在最大值和最小值?若存在,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由解:1令xy0,则f0+0f0+f0f00, 再令y-x,则fx-xfx+f-xf-x-fx,?fx为奇函数 2?fx+yfx+fy ,fx为奇函数,? fx-yfx+f-yfx-yfx-fy 设x1,x2?R,且x1x2,则fx2-x1fx2-fx1,? x2-x10,fx2-x10,? fx2-fx10, ? fx1fx2,? fx在-?,+?上是减函数,? fx在-2008,2008上有最大值和最小值 fxminf2008f2006+f2f2+f2+f21004f2 -1004, fxf-2008 -f20081004