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1、高中新课程数学(新课标人教a版)选修2-1第三章 空间向量与立体几何训练题组b空间向量与立体几何解答题精选(选修2-1) PABCD,ABDC/1(已知四棱锥的底面为直角梯形，1,ABCD底面，且，PAADDC,，DAB,90,PA,2，是的中点。 AB,1MPBPCD(?)证明:面面; PAD,AC(?)求与所成的角; PBAMCBMC(?)求面与面所成二面角的大小。 证明:以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1. ABCDPM(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2(?)证明:因 AP,(0,0,1),
2、DC,(0,1,0),故AP,DC,0,所以AP,DC.ADDC,DC,由题设知，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得面PAD.DCPCDPCD又在面上，故面PAD?面. (?)解:因 AC,(1,1,0),PB,(0,2,1),故|AC|,2,|PB|,5,AC,PB,2,所以AC,PB10cos,AC,PB,.5|AC|,|PB| MC(?)解:在上取一点，则存在使 Nxyz(,),R,NC,MC,11NC,(1,x,1,y,z),MC,(1,0,),？x,1,y,1,z,. 22,14,只需即解得 ,ANMCANMCxz,00,.要使 25412可知当,时,N点坐标为(,1,
3、),能使AN,MC,0.,555 1212此时,AN,(,1,),BN,(,1,),有BN,MC,05555为 由AN,MC,0,BN,MC,0得AN,MC,BN,MC.所以，ANB所求二面角的平面角. ,30304？ |,|,.ANBNANBN,555,ANBN 2, ？,cos(,).ANBN3|ANBN,2故所求的二面角为arccos().,3VABCD,ABCDVAD2(如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形, VAD,ABCD平面底面( VAD (?)证明:平面; AB,VAD (?)求面与面所成的二面角的大小( DB证明:以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系. D(?)证明
4、:不防设作， A(1,0,0)13则， ， V(,0,)B(1,1,0)2213 AB,(0,1,0),VA,(,0,)22ABVA,VADVA由得，又ABAD,，因而AB与平面内两条相交直线，AB,VA,0,VADAD都垂直. ?AB,平面. 13DV (?)解:设E为中点，则， E(,0,)44333313 EA,(,0,),EB,(,1,),DV,(,0,).444422由 EB,DV,0,得EB,DV,又EA,DV.，AEB因此，是所求二面角的平面角， EA,EB21 cos(EA,EB),7|EA|,|EB|21解得所求二面角的大小为 arccos.7PABCD,ABCD3(如图，在
5、四棱锥中，底面为矩形， VABCDBC,1PA,PA,2AB,3侧棱底面， CDEPD为的中点. ACPB (?)求直线与所成角的余弦值; ABNNE,PACPAB(?)在侧面内找一点，使面， NABAP并求出点到和的距离. 解:(?)建立如图所示的空间直角坐标系， 则ABCDPE,的坐标为A(0,0,0)、 D(0,1,0)、 B(3,0,0)C(3,1,0)1E(0,1)P(0,0,2)、， 2从而 AC,(3,1,0),PB,(3,0,2).,设的夹角为，则 AC与PBAC,PB337cos, 1427|AC|,|PB|37AC?与所成角的余弦值为. PB14NN (?)由于点在侧面内，
6、故可设点坐标为，则 PAB(,0,)xz1NE,PACNE,(,x,1,z)，由面可得， 21,3z,1,0,(,x,1,z),(0,0,2),0,x,NE,AP,0,2 ? ,6即化简得,11,3x，,0.,NE,AC,0.,z,1(,x,1,z),(3,1,0),0.2,2,33NNABAP即点的坐标为，从而点到和的距离分别为. (,0,1)1,66ABCD4(如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中 AECF1. ABBCCCBE,4,2,3,11BF (?)求的长; C (?)求点到平面AECF的距离. 1解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则， D(0,0,0
7、)B(2,4,0)ACEC(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)设Fz(0,0,). 1AECF?为平行四边形， 1？由AECF为平行四边形,1？由AF,EC得,(,2,0,z),(,2,0,2),1？z,2.？F(0,0,2). ？EF,(,2,4,2).于是|BF|,26,即BF的长为26.(II)设为平面的法向量， AECFn11显然n不垂直于平面ADF,故可设n,(x,y,1)11,0,nAE0，4，1,0xy,1由得 ,2，x，0，y，2,0,0,nAF1,x,1,4y，1,0, 即？,1,2x，2,0,y,.,4,的夹角为，则 ,又CC,(0,0,3),设C
8、C与n111CC,n343311cos,. 331|CC|,|n|113，1，116C?到平面的距离为 AECF1433433d,|CC|cos,3，,. 13311EAD5(如图，在长方体ABCDABCD,，中，ADAAAB,1,2，点在棱上移11111动.(1)证明:DEAD,; 11EABEACD (2)当为的中点时，求点到面的距离; 1,AEDECD, (3)等于何值时，二面角的大小为. 14解:以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设Dxyz,DADCDD,1AEx,，则 ADExAC(1,0,1),(0,0,1),(1,0),(1,0,0),(0,2,0)11(1) 因为
9、DA,DE,(1,0,1),(1,x,1),0,所以DA,DE.1111(2)因为为的中点，则，从而， EABE(1,1,0)DE,(1,1,1),AC,(,1,2,0)1,n,AC,0,，设平面的法向量为，则 ACDAD,(,1,0,1)n,(a,b,c),11,n,AD,0,1,a,2b,a，2b,0,也即，得，从而，所以点E到平面的距离为 ACDn,(2,1,2),1a,c,a，c,0,|DE,n|2，1,211h,. 33|n|(3)设平面的法向量，? DECCE,(1,x,2,0),DC,(0,2,1),DD,(0,0,1),n,(a,b,c)111,0,nDC2,0bc,1,由 令
10、， bcax,？,1,2,2,a，b(x,2),0.,0,nCE,? n,(2,x,1,2).|n,DD|,2221cos,.依题意 2422|n|,|DD|(x,2)，51?(不合，舍去)， . x,2，3x,2,312,AE,23?时，二面角DECD,的大小为. 14AB,E6(如图，在三棱柱ABCABC,BBCCCCCC,中，侧面，为棱上异于的一1111111,ABBBBCBCC,，,2,2,1,EAEB,点，已知，求: 1113ABEB (?)异面直线与的距离; 1AEBA, (?)二面角的平面角的正切值. 11Byz,解:(I)以为原点，、BA分别为轴建立空间直角坐标系. BB1,A
11、BBBBCBCC,，,2,2,1, 由于， 113ABCABC, 在三棱柱中有 1113133 , C(,0),C(,0)BAB(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0)1122223 设 E(,a,0),由EA,EB,得EA,EB,0,即11233 0,(,a,2),(,2,a,0)22332 ,，a(a,2),a,2a，,44131331得(a,)(a,),0,即a,或a,(舍去),故E(,0)222222 313333BE,EB,(,0),(,0),，,0,即BE,EB.11222244BEAB,ABBE,又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线， BBCCABEB,11131|BE|,
12、，,11则，故异面直线的距离为. ABEB,144,(II)由已知有故二面角的平面角的大小为向AEBA,EA,EB,BA,EB,111111量的夹角. BA与EA1131因BA,BA,(0,0,2),EA,(,2),1122EA,BA211,故cos, 3|EA|BA|112即tan,.2PABCD,ABCDABCDPD,EAB7(如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上 1PFEC,PD,2,CD,2,AE,一点，. 已知 2ECPD求(?)异面直线与的距离; EPCD, (?)二面角的大小. DDC解:(?)以为原点，DA、DP分别为 xyz,轴建立空间直角坐标系. 由已知可得 DPC(0
13、,0,0),(0,0,2),(0,2,0)A(x,0,0)(x,0),则B(x,2,0),设 113 由， E(x,0),PE,(x,2),CE,(x,0).PE,CE得PE,CE,02223331332即 由， DE,CE,(,0),(,0),0得DE,CEx,0,故x,.222242CE又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线 PDDE,DEPD|DE|,1CE,的距离为. PD1DGPC,(?)作，可设.由得 DG,PC,0Gyz(0,)(0,y,z),(0,2,2),0EFPC,即作于，设， FFmn(0,)z,2y,故可取DG,(0,1,2),31则 EF,(,m,n).2231
14、由， EF,PC,0得(,m,n),(0,2,2),0,即2m,1,2n,02222312PCF又由在上得 n,m，2,故m,1,n,EF,(,).22222EPCD,因故的平面角的大小为向量的夹角. EF与DGEF,PC,DG,PC,DG,EF2,cos,EPCD,.,故 即二面角的大小为 244|DG|EF|下面是三个励志小故事，不需要的朋友可以下载后编辑删除!谢谢 你可以哭泣，但不要忘了奔跑 2012年，我背着大包小包踏上了去往北京的火车，开启了北漂生涯。彼时，天气阴沉，不知何时会掉下雨滴，就像我未知的前方一样，让人担忧。 去北京的决定是突然而果决的，我在宿舍纠结了一天，然后在太阳逃离窗
15、口的时候打电话告诉父母，我要到首都闯一闯。消息发出去之后，并没有预料之中的强烈反对，父亲只给我回了一个字:好。 就这样看似毫无忧虑的我，欣喜地踏上了北上的路。有些事情只有真正迈出第一步的时候，才会迎来恐惧。当我踏上北上的列车时，才惊觉对于北京，除了天安门、央视大楼这些着名建筑，我知之甚少。俗话说无知者无畏，可于我而言，这句话并不适用，因为在坐上火车那一刻，我就开始对未来胆战心惊，毫无底气。 火车开动之后，我的心情变得更加复杂而紧张，甚至一度心生退意。人类果然是一个无解的方程式，看似无畏的勇气背后不知藏下了多少怯懦和犹豫。 旁座的姐姐见我一人，开始和我有一搭没一搭地聊起了天。几分钟后，我们竟如同
16、许久未见的好友一般，开始聊起了各自的生活。 我说出了自己的恐惧与未见，期冀从她那里得到些许安慰和鼓励。出乎意料地，她并没有说一些心灵鸡汤般的哲理语句，反而给我讲了一个故事，一个让我在很长一段时间都印象深刻，每次想起便会荷尔蒙再度升高的故事，一个她自己的故事。 那是一段并不愉快的经历，整段经历是蜿蜒前行的。 高考中，她因为做错了三道大题，成为家里的罪人。朋友极尽嘲笑，亲戚们也开始暴露自己毒舌的属性，父母当时并没有过多指责，因为他们正在跟自己的兄弟姐妹们为了祖母的遗产争得死去活来。那被人类歌颂的血缘、亲情，在所有的利益面前瞬间分崩离析。那时的她，像极了一个被遗弃的孩子。或是为了远离当时一片狼藉的场
17、面，家境拮据的她，怀着可能被众叛亲离的勇气，报考了一个三本院校。 当她怀揣着自己暑假赚的6000块钱踏进学校的时候，她以为一切喧闹终将与自己隔绝。但是事实上，天真的想法只维系了几天，便不攻自破。专业老师并不看好这个寡言少语的孩子，因为在她看来，法律专业除了要掌握专业知识之外，利索的嘴皮子也是一名律师出人头地不可缺少的法宝，而这个孩子，显然并没有这方面的天赋。 糟糕的情况在不断地蔓延，那段时期，她如同造物者手中的失败品，什么都做不好，注意力像手中的沙子一般怎么握都握不住。课文理解不了，丧失阅读能力，法律条款、单词统统在跟她作对，连最简单的问题都会堵住她的嘴。考试更不用提了，考前总是睡不好觉，刚迈
18、进考场全身就开始发抖，像个从来没有上过战场的士兵一样。 她一直溺在泪水中，从未上岸，深度抑郁，一度心生退学的想法。她深夜给母亲打去电话，想要获取安慰，家人说当初你自己做的决定，于是她只好自己硬撑着。为了防止自己再胡思乱想，她报了八门选修课，把自己的时间填得满满的。为了应付每科超过6000字的论文，她总是第一个跑到食堂去打饭，背日语，背法语，做英语听力，背法律常识虽不至于像匡衡一样凿壁偷光，但是只要有光的地方，她都待过。 一个追着阳光跑的人，是永远不会输在路上的。 在不停歇的灌输之下，大脑勉强接受了来自外界的压迫。虽不能到达天才的地步，但是起码恢复了正常的记忆功能。四年的大学生涯也在马不停蹄中准
19、备落下帷幕，为了能够拿到好的工作机会，她到处参加比赛，只是为了让自己在与聘用单位较量时能够多一点筹码。与此同时，她还要忙毕业论文。在有限的时间内打一场不能失败的战争，是那时她的唯一目标。上天果然不会亏待努力的人，她的毕业论文很惊艳，老师甚至生出了让她留校任教的打算，不过还是被她拒绝了，因为她已经进入了当地最着名的一家律师事务所。 在刚进入事务所的时候，她过去光鲜的外衣再次黯然失色。为了能够追赶同事的步伐，她过上了每天哒哒哒飞速敲打键盘的生活。为了跟进一个案子，她常常整夜都在做准备，等到一切就绪时，晨光也恰好如期而至。如今，她已经成为北京最着名的律师事务所的招牌律师之一。这次她本可坐飞机回京，只
20、是因为贪恋沿途的风景才会与我相遇。 在最难熬的时光要学会一路狂奔，不要多想，也不要把希望寄托在别人身上，人生来便是要努力的，你可以哭泣，但是不要忘了奔跑。她拍着我的肩膀，身上散发着莲花的香味，清新而让人愉悦。 终点站很快到达，天空依然阴沉着，不知下一秒云上染墨，雨滴降落，还是阳光冲破云雾，普照大地。 当我与她告别，重新背着沉重的行李，阔步向前，我知道等待我的不一定是美好的未来，但是只有拼一拼，才足够对得起自己。 每个人都有一个蜕变的过程，这个过程只能自己咬着牙度过，熬过了便化茧成蝶，熬不过，便像蒲公英一样，被生活的风吹着走。 一辈子走好一条路 有两个西班牙人，一个叫布兰科，一个叫奥特加。虽然他
21、们同龄，又是邻居，但家境却相差很远。布兰科的父亲是一个富商，住别墅，开豪车。而奥特加的父亲却是一个摆地摊的，住棚屋，靠步行。 从小，布兰科的父亲就这样对儿子说:“孩子，长大后你想干什么都行，如果你想当律师，我就让我的私人律师教你当一名好律师，他可是出名的大律师;你如果想当医生，我就让我的私人医生教你医术，他可是我们这里医术最高的医生;如果你想当演员，我就将你送去最好的艺术学校学习，找最好的编剧和导演来给你量身定做角色，永远让你当主角;如果你想当商人，那么我就教你怎样做生意，要知道，你老爸可不是一个小商人，而是一个大商人，只要你肯学，我会将我的经商经验全都传授给你!” 奥特加的父亲则总是这样对儿
22、子说:“孩子，由于爸爸的能力有限，家境不好，给不了你太多的帮助，所以我除了能教你怎样摆地摊外，再也教不了你任何东西了。你除了跟我去学摆地摊，其他的就是想也是白想啊!” 两个孩子都牢牢地记住了自己父亲的话。布兰科首先报考了律师，还没学几天，他就觉得律师的工作太单调，根本就不适合他的性格。他想，反正还有其他事情可以干，于是，他又转去学习医术。因为每天都要跟那些病人打交道，最需要的就是耐心，还没干多久，他又觉得医生这个职业似乎也不太适合他。于是，他想，当演员肯定最好玩，可是不久后，他才知道，当演员真的是太辛苦了。最后，他只得跟父亲学习经商，可是，这时，他父亲的公司因为遭遇金融危机而破产了。 最终，布
23、兰科一事无成。 奥特加跟父亲摆了几天地摊后，就哭着不肯去了，因为摆地摊日晒雨淋不说，还常遭人白眼。可是，一想到除了摆地摊，再也没别的事可干，他又硬着头皮跟父亲出发了。可是，还没干几天，他又受不了了，又吵着闹着不肯去了。因为没事可干，不久，他又跟着父亲出发了。 慢慢地，他竟然从摆地摊中发现，要想永远摆脱摆地摊的工作，就得认真地将地摊摆好。结果，几年后，他终于拥有了自己的专卖店。30年后，他拥有了属于自己的服装集团。如今天，该集团在世界68个国家中总计拥有3691家品牌店，一跃成为世界第二大成衣零售商。奥特加(AmancioOrtega)以250亿美元个人资产，位列福布斯2010年世界富豪榜第9位
24、。 人并不是选择越多越好，因为多了反而拿不定主意，无法坚持到底。反而是那些没有选择的人，最终获得了成功。 把理想推远一点 比尔?拉福是美国当代的著名企业家。 比尔从商的志向来自他的父亲，他的父亲在商界滚打多年却始终没有取得什么骄人的成绩。受父亲影响，比尔从小就立志要做一位成功的商人，更何况他的父亲也认为他做事机敏果断，敢于创新，非常具有商业天赋，所以一直鼓励比尔去读经济或者商贸类大学。 让父亲没有想到的是，比尔在高中毕业后，却来到麻省理工学院学习工科中最基础最普通的机械制造专业。比尔的父亲生气地指责比尔说:“你一定是忘记了自己的理想，要知道，你并不是要做一位出色的工人，而是做一位成功的商人，你
25、为什么不读商业贸易，反而要来学机械制造呢?你这不是拉近理想，分明是把理想推得更远了!” 比尔不赞同父亲的观点，他觉得适当把理想推远一点是正确的，因为工业商品在商贸中占了绝对的大多数，如果不具备工科知识，就不能了解产品的性能、生产制造等各方面的情况，将来很难保证能在经商中占到优势，更何况工科学习不仅是增强工业技能，还能帮助一个人建立严谨求实的思维能力，培养一种脚踏实地的工作态度，这些素质都是经商所不能缺少的。 听了比尔的解释，他的父亲终于明白了比尔的想法，比尔也得以留在麻省理工学院继续读书，四年的大学，比尔没有拘泥于本专业，他同时还学习了许多化工、建筑、电子等方面的基本知识，毕业后，立志从商的比
26、尔并没有立刻带着这些知识投身商海，而是考入了芝加哥大学继续攻读经济学的硕士学位，这期间，比尔掌握了大量的经济学基本知识，掌握到了决定商业活动正确性的众多因素。 取得学位后，按理说比尔应该可以向理想进发了，可是他不仅没有立刻下海经商，反而还进一步把理想推远了:他又花了三年时间进入别的私人学校学习法律知识，之后又进入了一所法学院旁听法律课程，同时他还学习了一些微观经济活动的专业经济学以及企业管理知识!完成这一切之后，比尔又考进了政府部门工作，直到这时，他的父亲终于忍不住了，他指责比尔已经彻底忘记了自己的理想，他提醒比尔说他应该努力让自己成为一名成功的商人，而不是去从事政治。 比尔有自己的想法，因为
27、经商必须要具备很强的交往能力，要想在商业上获得成功，必须要深知处世规则，善于人际交往，然而这种能力是在任何学校都学不到的，只有在实践中才能磨炼出来，而磨炼这种能力的最佳去处就是政府部门。比尔在政府部门一干就是5年，他也在工作中培养起了深思稳重、沉着冷静的个性。 5年的政府工作结束后，比尔开始慢慢向商业靠近，他应聘到一家公司去熟练商情与商务技巧，因为表现突出，两年后，公司打算出高薪让他担任副总经理，但比尔却辞职了，他意识到自己是时候正式向自己的理想迈开脚步了，随后，他开办了自己的拉福商贸公司，这时，比尔已经是一位35岁的中年人。 因为比尔的准备工作实在充分，在接下来的商务操作中，他几乎能考虑到每个细节，能应对一个合格的商人应该能应对的一切，并且能够嗅到各种商机，避免各种法律纠纷，他之前所学的每一点知识和所做的每一步准备，都在他之后的商业活动中发挥出了不可忽略的作用，生意进展异常顺利。 也正因如此，在此后短短的25年时间里，比尔的公司从最初20万美元的资产发展成了现在200亿美元，比尔本人也成为美国商业圈的一个神话人物。 对于比尔的成功，2011年诺贝尔经济学奖得主托马斯?萨金特就曾在一本书中这样评论:“急于求成在很多时候往往是欲速则不达，而适当推远理想反而是一种备战人生的最佳方式，比尔所拥有和依赖的，就是这种独特的智慧!”