最新高等数学练习题答案优秀名师资料.doc

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1、高等数学练习题答案精品文档 高等数学练习题答案 专业年级学号姓名 一、判断题. 将?或填入相应的括号内. 1. 收敛的数列必有界. 2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. 闭区间上的间断函数必无界. 单调函数的导函数也是单调函数. 5. 若f在x0点可导，则f也在x0点可导. 6. 若连续函数y?f在x0点不可导，则曲线y?f在)点没有切线. 7. 若f在a,b上可积，则f在a,b上连续. 8. 若z?f在处的两个一阶偏导数存在，则函数z?f在处可微. 9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. 10. 设偶函数f在区间内具有二阶导数，且 f?f?1, 则 f为f的一个极小值. 二、

2、填空题. 1. 设f?x，则f?. 1 2 2. 若f? 1 / 42 精品文档 2x?1 1 ，则lim?. x?0 ? 2x?1 3. 设单调可微函数f的反函数为g, f?3,f?2,f?6则 g?. 4. 设u?xy? xy , 则du?. 5. 曲线x2?6y?y3在点切线的斜率为. 6. 设f为可导函数,f?1,F?f?f,则F?. 7. 若? f22 tdt?x,则f? . 8. f?x?2x在0,49. 广义积分? ?2x e dx?10. 设D为圆形区域x2?y2?1,?y?x5dxdy? . D 2 / 42 精品文档 三、计算题 1. 计算lim 2 ? 1 2 ). 2.

3、 求y?23?10在内的导数. 3. 求不定积分? 1. x 4. 计算定积分? ? sin3 x?sin 5 xdx. 5. 求函数f?x3 ?4x2 ?2xy?y2 的极值. 设平面区域D是由y? x,y?x围成，计算? 3 / 42 精品文档 sinyD y . 7. 计算由曲线xy?1,xy?2,y?x,y?3x围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y?y? 2xy 的通解. 四、证明题 1. 证明:arctanx?arcsin x . 2. 设f在闭区间a,b上连续，且f?0, F? ? x x 10 fdt? ? b f 4 / 42 精品文档 证明:方程F?0在区间内

4、有且仅有一个实根. 高等数学参考答案 一、判断题. 将?或填入相应的括号内 1.? ;2. ;3.;. ;5.;. ;7. ;8. ;9.? ;10.?. 二、 填空题. 1.x2?4x?4; . 1;. 1/2; .dx?dy;5. /;6. 1 ;7. 3;8. ;.1/; 10. 0. 三、计算题 1.解:因为 n?1111 2 ? n 2 ? 2 ? n?1 5 / 42 精品文档 n 且 ln?1 n?1n 2 =0 n?i? ?，0lim n? 由迫敛性定理知: lim11 )=0 n? 2 ? 2 2.解:先求对数lny?ln?2ln?10ln ?11yy? x?1 ? 2x?2

5、 ? 10x?10 6 / 42 精品文档 ?y? 3.解:原式=2?1 ?x dx =2? 1dx ? 2 =2arcsin4.解:原式=? ? x?c sin 3 xcos 2 xdx ? 3? =?22 2 cosxsin xdx? ?cosxsin 7 / 42 精品文档 xdx 2 ?3=?22 ? ?sin 2 sin xdsinx? xdsinx 2 =2 5? 5 2 5 sin x2? 0? 25 sin 2 x? 8 / 42 精品文档 2 =4/5 5.解: f?3x2 x?8x?2y?0fy?2x?2y?0 故 ?x?0?或?x?2 ?y?0? ? y?2当 ?x?0

6、?y?0 时f?8，f?2，f?xx yyxy?2?2 2 ?0 且A=?8?0 ? 为极大值点 且f?0 当 ?x?2 ?2 时f?4， f?2，fxy?2?y?xx yy?4?22 ?0 ?无法判断 6.解:D=?0?y?1,y2?x?y? ? ? 9 / 42 精品文档 sinyD y ? ? 1 dy? ysinyy 2 y dx=? 1 siny0 y xy y2dy =?1 dy =?cosy10 ? ? 1 ydcosy =1?cos1?ycosy10 10 / 42 精品文档 ? 1 cosydy =1?sin17.解:令u?xy，v? y1?u?2x ;则，1?v? 3 1

7、u J? xuxvuv ? 2vv1yu y? 2v vu?2v2u v ? A? ? d? ? 2 11 / 42 精品文档 11 du? 3 1 ?ln D 2v dv8.解:令 y2?u，知?2u?4x 由微分公式知:u?y2?e?2dx ?e 2x ?e 2x 四.证明题 1.解:设f?arctax n?arcsix ?x2 ?x 2 x 2 1 12 / 42 精品文档 ? 2 ?f? 11?x 2 ? ? ?xx 21?x 2 =0 ? 1?x 2 ?f?c?x? 令x?0 ?f?0?0?0?c?0 即:原式成立。 高等数学模拟试卷一 一、 填空题 z? 的定义域为 y 2yy 2

8、 13 / 42 精品文档 函数已知函数 z?arctan 20 ?z x，则?x ? , ds? 交换积分次序，? dy? fdx 已知L是连接,两点的直线段，则?L 已知微分方程y?2y?3y?0，则其通解为 二、选择题 ?x?3y?2z?1?0? 设直线L为?2x?y?10z?3?0，平面?为4x?2y?z?2?0，则 A. L平行于? B. L在?上 C. L垂直于?D. L与?斜交 xyz? 确定，则在点处的dz? ? 14 / 42 精品文档 2 A.dx?dy B.dx? 2 2 D.dx? 2 ? 2 已知?是由曲面4z?25及平面z?5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次

9、积分为 A.?0C. 2? ?dv 5 d?rdr?dz 2 3 5 B. ? 2?0 d?rdr?dz 15 / 42 精品文档 2? 2 2 5 4 3 ? 2?0 d? ? 20 rdr? 5dz 2r 3 5 D. 1 ? d?rdr?dz 已知幂级数 A. 16 / 42 精品文档 B. 1C. D. 微分方程y?3y?2y?3x?2e的特解y的形式为y? A. xx ? ?x x B.xe C.?ce D.?cxe 三、计算题 x?1 1、 求过直线L1:1 2 2 ? y?20 ? z?3 ?1且平行于直线L2: x?22 ? y?11 17 / 42 精品文档 ? z 1的平面

10、方程 ?z ?z 2、 已知z?f，求?x， ?y 、 设 D?x?y?4 22 ，利用极坐标求 ? D xdxdy 2 4、 求函数f?e的极值 ?x?t?sint?dx?dy?5、计算曲线积分L， 其中L为摆线?y?1?cost从点 2 y 2x2 O到A的一段弧 x 18 / 42 精品文档 ?xy?y?xe6、求微分方程 满足 y x?1 ?1的特解 四.解答题 1、利用高斯公式计算半球面z? ?2xzdydz?yzdzdx?z ? 2 dxdy ，其中? 由圆锥面z?与上 ? 2、判别级数 ? n?1 n?1 n3 n?1 的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛; n 19 /

11、 42 精品文档 ? 在x?求幂级数n?1 ?nx 的和函数 高等数学模拟试卷二 一(填空题 z? 函数 ln的定义域为; e lnx0 xy 已知函数z?e，则在处的全微分dz? 交换积分次序，?1 dx? fdy 2 , ; 已知L是抛物线y?x上点O是由方程z?3xyz?a确定，则?x yz 2 20 / 42 精品文档 2 3 3 ? ; xy 2 yz 2x ? xz 2 ? A. xy?z B. z?xy C. xy?z D. z?xy 微分方程y?5y?6y?xe 的特解y的形式为y?; A.e 2x B.xe 2 2 2x 21 / 42 精品文档 C.?ce 2 2x D.?

12、cxe 2x 已知?是由球面x?y?z?a所围成的闭区域, 将 三次积分为; A?0 2? 2 ?dv ? 在球面坐标系下化成 a ? 20 d?sin?d?rdr a 2 B.?0 2? ? 20 22 / 42 精品文档 d?d?rdr 2? a 20 C.?0 2? d?d?rdr ?a D.?0 2 n d?sin?d?rdr ? ? 已知幂级数n?1 ? 2n?1 x n ，则其收敛半径. 1 A. B. 1 C. 23 / 42 精品文档 D. 三(计算题 5、 求过A且与两平面?1:x?2z?1和?2:y?3z?2平行的直线方程 . ?z ?z 6、 已知z?f，求?x， ?y.

13、 7、 设D?x?y?1,0?y?x ，利用极坐标计算 2 2 ?arctan D yx dxdy . 8、 求函数f?x?5y?6x?10y?6的极值.、 利用格林公式计算? 2 2 2 L 24 / 42 精品文档 dx?dy xx ，其中 L为沿上半圆周?y?a,y?0、从A到O的弧段. x?16、求微分方程 四(解答题 y? y 3 ?2 的通解. ? 1、判别级数敛; ? n?1 n?1 2sin n ? 3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收 ?n 25 / 42 精品文档 在区间内求幂级数2、利用高斯公式计算 z?x?y的下侧 2 2 ? n?1 ? x n n的和函数 .

14、 ?2xdydz?ydzdx?zdxdy ，?为抛物面 高等数学模拟试卷三 一( 填空题 1、 函数y?arcsin的定义域为 . 2、n?3n?3n?2=. 3、已知y?ln，在x?1处的微分dy?. 2 lim 2 2 26 / 42 精品文档 ?4、定积分 1?1 dx? 2 . dy ? 5、求由方程y?2y?x?3x?0所确定的隐函数的导数dx 57 . 二(选择题 x?3x?2的 间断点 1、x?2是函数 可去 跳跃 无穷 振荡 y? x?1 2 2 2 、积分 ? 10 =. 27 / 42 精品文档 ? 0 1 3、函数y?e?x?1在可能增加;可能减少。 x ?4、 1x s

15、intdt 的一阶导数为. sinx ?sinx cosx ?cosx ? 5、向量a?1,?1,k与b?2,?2,?1相互垂直则k?. 3-1 三(计算题 1、求极限x?2x?12、求极限x?0 lim x 3 lim x?1 dy x?sinx 3、已知y?lncose，求dx 28 / 42 精品文档 四(计算题 2 ?t?x? 2? ?y?1?t? x dy 2 1、已知 ，求dx 2 x 2、计算积分? 2 cosxdx ?3、计算积分 10 arctanxdx 4 、计算积分 五(觧答题 1、求函数y?3x?4x?1的凹凸区间及拐点。 ?1 29 / 42 精品文档 x?0?1?x

16、 f? 12 ?x?0fdxx?1?01?e?2、设求 4 2 ? 3、求由y?x及y?x所围图形的面积; 求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。 22 高等数学模拟试卷四 一( 填空题 y? 1x? 1、 函数 的定义域为 . 高数试卷1 一(选择题. 1(下列各组函数中，是相同的函数的是. f?x?lnx 和 g?x?2lnx f?x?|x| 和 g? x? 30 / 42 精品文档 2 f?x?x 和 g? x? 2 f?x? |x|x 和 g?x?1 22(函数f? x?ln?1?x? ? a? x?0x?0 在x?0处连续，则a?. 0 14 1 3(曲线y?xlnx的平行于直线x?y

17、?1?0的切线方程为. y?x?1 y?y?lnx?1?x?1?y?x(设函数f?x?|x|，则函数在点x?0处. 连续且可导 连续且可微连续不可导不连续不可微 5(点x?0是函数y?x4的. 驻点但非极值点 拐点 驻点且是拐点 驻点且是31 / 42 精品文档 极值点 6(曲线y? 1|x| 的渐近线情况是. 只有水平渐近线 只有垂直渐近线 既有水平渐近线又有垂直渐近线 既无水平渐近线又无垂直渐近线(?f? ?1?1 ?2dx的结果是. ?x?x? 1?1?1 ?C?f?Cf? x?x?x ?x f?8(? dxe?e x ?1 ?C?f?x? ?C ? 的结果是. x ?x arctane

18、?C arctane?C e?e 32 / 42 精品文档 x?x ?C ln?C 9(下列定积分为零的是. ? ? 4? arctanx1?x 2 ? ? 4 dx ? 4? ? 4 xarcsinxdx ? 1 1?1 e?e 2 x?x ? 33 / 42 精品文档 1?1 ?x 2 ?x?sinxdx 10(设f?x?为连续函数，则?f?2x?dx等于. f?2?f?0? 12 ?f?11?f?0? 12 ?f?2?f?0?f?1?f?0? 二(填空题 ?e?2x?1? 1(设函数f?x?x ?a? x?0x?0 56 在x?0处连续，则a?. 2(已知曲线y?f?x?在x?2处的切线

19、的倾斜角为?，则f?2?3(y?4(? xx?1 2 . 34 / 42 精品文档 的垂直渐近线有条. dxx?1?lnx? 2 ?. ? 5(?2?xsinx?cosx?dx? 4 ?2 . 三(计算 1(求极限 ?lim x? 2x ?1?x?x? ?lim x?0 x?sinxxe ? x 2 ?1 ? 2(求曲线y?ln?x?y?所确定的隐函数的导数y?. 35 / 42 精品文档 x3(求不定积分 ? 四(应用题 1( 作出函数y?x?3x的图像. 2 3 2 dx ?x?1?x?3? ? ?a?0? ?xe?xdx 2(求曲线y?2x和直线y?x?4所围图形的面积. 高数试卷1参考

20、答案 一(选择题 1(B (B (A (C (D (C (D (A (A 10(C 二(填空题 1(?22 (?三(计算题 ,?e ? 1 16 3 ,( , ,(arctanlnx?c ,(, 2.y?x 1x?y?1 3. ?ln| 36 / 42 精品文档 2 x?1x?3 |?C ?ln|x|?C ?e ?x ?x?1?C 四(应用题 ,(略 ,(S?18 高数试卷2 一.选择题 1.下列各组函数中,是相同函数的是. f?x?x和g? x? f?x? 2 2 x?1x?1 2 2 和y?x?1 f?x?x和g?x?x f?x?lnx和g?x?2lnx ?sin2?x?1? 37 / 4

21、2 精品文档 x?1? 2.设函数f?x?2 ?2 x?1? x?1 x?1 ，则limf x?1 ?x?. x?1 0 12 不存在 3.设函数y?f?x?在点x0处可导，且f?x?0, 曲线则y?f?x?在点?x0,f?x0?处的切线的倾斜角为. 0 ? 2 锐角 钝角 4.曲线y?lnx上某点的切线平行于直线y?2x?3,则该点坐标是. ? 1?1? ,?ln?2? 2 ?x ?2,ln ? 38 / 42 精品文档 ?1 ?1? ,ln2? ?,?ln2? ?2?2? 5.函数y?xe 及图象在?1,2?内是. 单调减少且是凸的 单调增加且是凸的 单调减少且是凹的 单调增加且是凹的 6

22、.以下结论正确的是. 若x0为函数y?f?x?的驻点,则x0必为函数y?f?x?的极值点. 函数y?f?x?导数不存在的点,一定不是函数y?f?x?的极值点. 若函数y?f?x?在x0处取得极值,且f?x0?存在,则必有f?x0?=0. 若函数y?f?x?在x0处连续,则f?x0?一定存在. 1 7.设函数y?f?x?的一个原函数为xex,则f?x?=. 2 1111 ?2x?1?ex 2x?ex?2x?1?ex xex.若?f?x?dx?F?x?c,则?sinxf?cosx?dx?. F?sinx?c ?F?sinx?c F?cosx?c ?F?cosx?c.设F?x?为连续函数,则?f?

23、1 39 / 42 精品文档 ?x? ?dx=. ?2? ?1? ? f?1?f?0? 2?f?1?f?0? ?f?2?f?0? ?f?2?f?0? ?10.定积分?dx?a?b?在几何上的表示. ab 线段长b?a 线段长a?b 矩形面积?a?b?1 矩形面积?b?a?1 二.填空题 ?ln?1?x2? ? 1.设 f?x?1?cosx ? a? x?0x?0 , 在x?0连续,则a=_. 2.设y?sin2x, 则dy?_dsinx.函数y? xx?1 2 ?1的水平和垂直渐近线共有_条. 4.不定积分?xlnxdx?_. 定40 / 42 精品文档 积分? 1?1 xsinx?11?x 2 2 ?_. 三.计算题 1.求下列极限: ? ?lim?1?2x?x ?limx?0 1 ?arctanx1x x? 2.求由方程y?1?xe所确定的隐函数的导数y?x.求下列不定积分: ?tanxsec3xdx ? y a ?0?xedx 2 x 四.应用题 1.作出函数y? 41 / 42 精品文档 13 x?x的图象. 3 42 / 42