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1、高等数学练习题答案解析精品文档 高等数学练习题答案解析 一、单项选择题 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1(设f=lnx，且函数?的反函数?1= A.ln x-2x+2 t 2x-1 ，则f? x+22-x B.ln ?t x+2x-2 C.ln 2-xx+2 D.ln ?e?2(lim x x?0 ?e ?2?dt 1 / 20 精品文档 1?cosx ? A(0B(1 C(-1D(? 3(设?y?f?f且函数f在x?x0处可导，则必有 A.lim?y?0 B.?y?0 C.dy?0 D.?y?dy ?x?0 ?2x
2、2,x?1 4(设函数f=?，则f在点x=1处 ?3x?1,x?1 A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导D. 可导 5(设?xfdx=e-x?C，则f= A.xe -x 2 2 B.-xe -x 2 C.2e -x 2 / 20 精品文档 2 D.-2e -x 2 二、填空题 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。.设函数f在区间0，1上有定义，则函数f+f的定义域是_. 7(lim?a?aq?aq2?aqn?q n? ?1?_ 8(lim arctanx x x? ?_ g 2 9.已知某产品产量为g时，总成本是C=9+成本MCg?100?_ 800 ，则生产
3、100件产品时的边际 10.函数f?x3?2x在区间0，1上满足拉格朗日中值3 / 20 精品文档 定理的点是 _. 11.函数y?2x3?9x2?12x?9的单调减少区间是_. 12.微分方程xy?y?1?x3的通解是_. 13. 设? 2ln2a ? ? 6 ,则a?_. 14.设z? cosxy 2 则?2y 15.设D?0?x?1,0?y?1?，则?xe D dxdy?_. 三、计算题 ?1? 16.设y?，求dy. ?x? x 4 / 20 精品文档 17.求极限limlncotx x?0 ? lnx 18.求不定积分 ? 1 a . 19.计算定积分I=? . 20.设方程x2y?
4、2xz?ez?1确定隐函数z=z，求zx,zy。 四、计算题 21(要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省, ? 22.计算定积分?xsin2xdx 23.将二次积分I? ? ? dx ? 5 / 20 精品文档 ?x sinyy 2 dy化为先对x积分的二次积分并计算其值。 五、应用题4.已知曲线y?x，求 曲线上当x=1时的切线方程; 求曲线y?x与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x轴旋转而成 2 2 的旋转体的体积Vx. 六、证明题 25(证明:当x0时 ，xln?xln?ln?ln单调递增，则f?f,即 xln与下列那个函数不是
5、等价的 A)、y?x B)、y?sinx C)、y?1?cosx D)、y?ex?1. 函数f在点x0极限存在是函数在该点连续的 A)、必要条件B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件. 下列各组函数中，f和g不是同一函数的原函数的有. A)、f?221x1e?e?x,g?x?ex?e?x22? B) 、f?lnx?,g? 6 / 20 精品文档 x?lnxx?C)、f?arcsin?2x?1?,g?x?3?2arcsin?xD)、f?cscx?secx,g?x?tan 4. 下列各式正确的是 xxn2A)、xdx?2l?C B)isdtt、?n?ocs?tC? C)、dxatcra?1
6、?x2?nxD)、?dx?C x2x 5. 下列等式不正确的是. d?bd?b?x?f?x? B)?fxdxf?x?dt?f?b?x?b?x? 、?aa?dx?dx? d?xd?x?f?x?dx?f?x? D)F?t?dt?F?x? C)、?a?a?dx?dx?A)、 ?6. limx?0x0lndtx? A)、0 B)、1C)、 D)、4 7. 设f?sinbx，则?xf?dx? xxcosbx?sinbx?CB)、cosbx?cosbx?C bb C)、bxcosbx?sinbx?C D)、bxsinbx?bcosbx?C A)、 8. ?1exfdx?b 0afdt，则 A)、a?0,b
7、?1 B)、a?0,b?e C)、a?1,b?10D)、a?1,b?e. ? ?dx? A)、0 B)、2?C)、1 D)、2?2 10. ?1 ?1x2lndx? 7 / 20 精品文档 A)、0 B)、2?C)、1 D)、2?2 11. 若f?x?1，则?1 0fdx为 A)、0 B)、1 C)、1?lnD)、ln2 12. 设f在区间?a,b?上连续，F?x afdt，则F是f的、不定积分B)、一个原函数 C)、全体原函数D)、在?a,b?上的定积分13. 设y?x?1sinx，则dx 2dy? A)、1?1 2yB)、1?1xC)、22 22?cosyD)、2?cosx lim1?x?
8、ex 14. x?0ln= A ?1 2BC 1D -1 15. 函数y?x?x在区间0,4上的最小值为 A ; B 0 ; C 1; D 二.填空题 x?2x 1. lim2?_. x?. ) 2. ?2 ? 8 / 20 精品文档 11 3. 若?fexdx?ex?C，则?fdx?d?x24. dx6?tdt? 5. 曲线y?x3在处有拐点 三.判断题 1. y?ln1?x 1?x是奇函数. 2. 设f在开区间?a,b?上连续，则f在?a,b?上存在最大值、最小值.在x0处极限存在，则f在x0处连续. 4. ? 0sinxdx?2. 5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件. 四.
9、解答题 tan2 1. 求lim2x x?01?cosx. 2. 求limsinmx x?sinnx，其中m,n为自然数. 3. 证明方程x3?4x2?1?0在内至少有一个实根. 4. 求?cosdx. 5. 求?1 x?x2dx. ? 9 / 20 精品文档 6. 设f?1 ?xsinx2,x?0，求f? ?x?1,x?0 7. 求定积分?40 ) 8. 设f在?0,1?上具有二阶连续导数，若f?2，?f?f?sinxdx?5，求 0? f. . 9. 求由直线x?0,x?1,y?0和曲线y?ex所围成的平面图形绕x轴一周旋转而成的旋转体体积 高等数学答案 一.选择题 1. C 2. A 3
10、. D 4. B 5. A 6. A 7. C 10 / 20 精品文档 8. D 9. A 10. A 11. D 12. B 13. D 14. A 15. B 二.填空题 1. e.?. ?C.x?x4. 三.判断题 1. T 2. F 3. F 4. T 5. T 四.解答题 1. 121x 2. 令t?x?,limx? sinmxsinm?lim?m?n sinnxt?0sinn 3. 根据零点存在定理. . ?cosdx?1cosd3? 1?sin?C3 高等数学习题及答案 一、填空题 11 / 20 精品文档 1(设f?ax?by,其中a,b为常数，则f)?.axy?abx?b2
11、y 2(函数z?x2?y2在点处，沿从点到点的方向的 方向导数是.1?2 ?2 3(设有向量场A?yi?xyj?xzk，则divA? x 1 x2 11 4(二重积分dx ?fdy交换积分次序后为?dyfdx 0n 5(幂级数?的收敛域为 . 0,6) n n3n?1 ? 6(已知z?e7(三重积分 x?2y ，而x?sint,y?t，则 3 3dz ? esint?2t dt 其中?是由x?0,x?1,y?0,y?1,z?0,z?3?dv? ， ? 12 / 20 精品文档 所围成的立体. 二、计算题 ?2 1(设a?2,b?5,a与b的夹角为?，向量m?a?17b与n?3a?b相互垂直，求
12、?. 3 ?2?2?2 解:由0?m?n?3?a?a?b?17b?12?2?5?cos?17?25 3 得?40. ?2x?3y?z?5?0 垂直的平面方程. 3x?y?2z?4?0? ? ijk? ? 解:直线的方向向量为s?2?31?5,7,11 31?2 2(求过点且与直线? 取平面的法向量为n?s，则平面方程为5?7?11?0 即5x?7y?11z?8?0. ? ? 13 / 20 精品文档 3(曲面xyz?32上哪一点处的法线平行于向量S?2,8,1,并求出此法线方程. 解:设曲面在点M处的法线平行于s，令F?xyz?32则在点M处曲面的法向量为n?Fx,Fy,Fz?yz,xz,xy
13、.由于ns,故有 ? ? yzxzxy ?.由此解得81 x?4y,z?8y，代入曲面方程，解得M的坐标为，用点向式即得所求法线 方程为 x?4y?1z?8 ?81 三、计算题 1(设z?xy?xF，其中F为可导函数，求x yx?z?z?y. ?x?y 解: ?zy?z ?y?F?F?, ?x?F? ?xx?y x ?z?z?y?2xy?xF?z?xy ?x?y 14 / 20 精品文档 ? nd?ex?1? ?2(将函数f?展成的幂级数，并求的和. x?dx?x?n?1! ex?111 ?1?x?xn?1? 解:x2!n! 并在内收敛。 ?12n?1n?2nf?x?x?xn?1,x? 2!3
14、!n!n?1! ?ex?1?n ?f?x?!n?1? ? ? x?1 ?1 3(求微分方程y?1?,y? 2 dy 的通解. dx 解:令y?p,则y?p?，原方程化为 p?1?p2? dp 15 / 20 精品文档 ?dx?p?tan?1?p2 y?tandx?lncos?c2 四、计算题 1(求曲线积分I? 22233 的值，其中L为x?y?R的正向. ydx?dyL 解:记L所围成的区域为D，利用格林公式得 2? R I?y3dx?dy?dxdy?3?d?d? L D ?3?R2 2(求微分方程y?y?4xex的通解. 解:对应的齐次方程为y?y?0，它的特征方程为r?1?0，其根为r1
15、?1,r2?1，该齐次方程的通为Y?C1ex?C2e?x。 因?1是特征方程的单根，所以设原方程的一个特为y?xex 代入原方程得a?1,b?1，于是，求得y?xex 原方程的通解为y?C1ex?C2e?x?xex 3(计算曲面积分I?围立体表面的外侧. 解:记?1:z?2,?2:z?则I1? 16 / 20 精品文档 2 ? ? ezx2?y2 dxdy，其中?为锥面z? x2?y2与平面z?1,z?2所 x2?y2,?3:z?1 ? ?1 ezx2?y2 dxdy? Dxy ? ezx2?y2 2?2 dxdy?d? e2 ? e? ?d?4?e2. I2? ?2 17 / 20 精品文档
16、 e z x2?y2ezx?y 2 2 dxdy? Dxy2? e x2?y22?2 x2?y2 1 dxdy?d? 1 ? ?d?2?. I3? ?3 dxdy?d? e ? ?d?2?e. 故I?I1?I2?I3?2?e. 18 / 20 精品文档 五、应用题 设一矩形的周长为2,现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及柱体体积. 2 解:设矩形的两边长分别为x,y.由题设x?y?1，不妨设矩形绕长度为y的一边旋转，则圆柱体体积为V?x2y. 作拉氏函数F?x2y? ?Fx?2?xy?0 21?2 解方程组?Fy?x?0，得驻点. 33? ?F?x?y?1?0 所以最大圆柱柱体体积为?六、证明题 设an?0,?an?单调减少趋于零，证明:级数 23 2 214 ?.对应的矩形面积为. 9327 ? ? n?1 19 / 20 精品文档 n?1 an?an?1收敛. 证明:因an?0,?an?单调减少，所以an?an?1也单调减少 又0? an?an?1? an?an?1a?an?1 ,limn?0 n?22 所以liman?an?1?0，则交错级数判别法知 n? ? n?1 ? n?1 an?an?1收敛。 20 / 20