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1、2015高考数学人教A版导数及其应用一轮过关测试题阶段性测试题三(导数及其应用) 本试卷分第?卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。 第?卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的() 131(2014?北京东城区联考)曲线y,x在x,1处切线的倾斜角为( ) 3A(1 B(, 45C. D. 44答案 C 13解析 ?y,x?y|,1?切线的倾斜角满足tan,1?0?0得x2?选D. 3(2014?甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f(x),lnx，则函数g(x),
2、f(x),f (x)的零点所在的区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 答案 B 11解析 由题可知g(x),lnx,?g(1),10?选B. x2324(文)(2014?浙江杜桥中学期中)已知函数f(x),x，ax，3x,9在x,3时取得极值，则a,( ) A(2 B(3 C(4 D(5 答案 D 2解析 f (x),3x，2ax，3由条件知x,3是方程f (x),0的实数根?a,5. 32(理)(2014?营口三中期中)若a,0，b,0，且函数f(x),4x,ax,2bx在x,1处有极值，则a，b等于( ) A(2 B(3 C(6 D(9 答案 C 2解析 f
3、 (x),12x,2ax,2b由条件知x,1是方程f (x),0的实数根?a，b,6. 5(2014?北京东城区联考)如图是函数y,f(x)的导函数f (x)的图象，则下面判断正确的是( ) A(在区间(,2,1)上f(x)是增函数 B(在(1,3)上f(x)是减函数 C(在(4,5)上f(x)是增函数 D(当x,4时，f(x)取极大值 答案 C 解析 由导函数y,f (x)的图象知f(x)在(,2,1)上先减后增在(1,3)上先增后减在(4,5)上单调递增x,4是f(x)的极小值点故A、B、D错误选C. 326(2014?河北冀州中学期中)已知函数f(x),x，ax，(a，6)x，1有极大值
4、和极小值，则实数a的取值范围是( ) A(,1,2) B(,?，,3)?(6，?) C(,3,6) D(,?，,1)?(2，?) 答案 B 22解析 f (x),3x，2ax，a，6由条件知方程f (x),0有两不等实根?,4a,12(a，6)0?a6故选B. 1, 27(文)(2014?泸州市一诊)若曲线f(x),x 在点(a，f(a)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a,( ) A(64 B(32 C(16 D(8 答案 A 解析 2(理)(2014?北京朝阳区期中)由直线x,0，x,，y,0与曲线y,2sinx所围成的图形的3面积等于( ) 3A(3 B. 21C(1 D.
5、 2答案 A 解析 1,2(,1),3. 2f，x，8(文)(2014?福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x),是xe定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f (x)满足f (x)ef(0)，f(2012)ef(0) 22012B(f(2)ef(0) 22012C(f(2)ef(0)，f(2012)ef(0)，f(2012)ef(0) 答案 C f，x，解析 ?函数F(x),的导数 xexxf ，x，e,f，x，ef ，x，,f，x，F(x),0 x2x，e，ef，x，?函数F(x),是定义在R上的减函数 xef，2，f，0，2?F(2)F(0)即故有f(2)ef(0
6、)( 20ee2012同理可得f(2012)ef(0)(故选C. (理)(2014?安徽程集中学期中)已知函数f(x)(x?R)满足f (x),f(x)，则( ) 22A(f(2)ef(0) 答案 D f，2，f，0，2分析 所给四个选项实质是比较f(2)与ef(0)的大小，即比较与的大小，故构造20eef，x，函数F(x),解决( xef ，x，,f，x，f，x，解析 设F(x),则F(x),0 xxeef，2，f，0，?F(x)在R上为增函数故F(2)F(0)? 20ee2即f(2)ef(0)( 39(2014?开滦二中期中)若函数f(x),x,6bx，3b在(0,1)内有极小值，则实数b
7、的取值范围是( ) A(0,1) B(,?，1) 1C(0，?) D(0，) 2答案 D 23x,6b?f(x)在(0,1)内有极小值 解析 f (x),?在(0,1)内存在点x使得在(0x)内f (x)0由f (x),0得000,2x,2b0 ,b0,1,?0b. 2,2b0的解集为( ) A(,?，,2)?(1，?) B(,?，,2)?(1,2) C(,?，,1)?(,1,0)?(2，?) D(,?，,1)?(,1,1)?(3，?) 答案 D 解析 由f(x)的图象知在(,?,1)上f (x)0在(,1,1)上f (x)0又x,2x,30的解集为(,?,1)?(3，?)x,2x,30的解集
8、为(,?,1)?(,1,1)?(3，?)( 1(理)(2014?浙江杜桥中学期中)函数f(x),的图象大致为( ) ln，x，1，,x答案 B 1x解析 令h(x),ln(x，1),x则h(x),1,?h(x)在(,1,0)上单调递x，1x，1增在(0，?)上单调递减最大值为h(0),0?h(x)0即f(x)0且f(x)在(,1,0)上单调递减在(0，?)上单调递增故选B. 13211(2014?枣庄市期中)若1,3为函数f(x),x，bx，cx(b，c?R)的两个极值点，则曲线3y,f(x)在点(,1，f(,1)处的切线的斜率为( ) 8 B(6 C(4 D(0 A(答案 A 2解析 f (
9、x),x，2bx，c由条件知1,3是方程f (x),0的两个实根?b,2c,3?f (,1),8故选A. m，n113212(2014?浙江省五校联考)已知函数f(x),x，mx，x的两个极值点分别为x，1322x，且0x1x，点P(m，n)表示的平面区域内存在点(x，y)满足y,log(x，4)，则实数212000a0a的取值范围是( ) 1A(0，)?(1,3) 2B(0,1)?(1,3) 1(，1)?(1,3 C(2D(0,1)?3，?) 答案 B m，n2解析 f (x),x，mx，由条件知方程f (x),0的两实根为xx且1220x10,f ，0，0m，n02,? , f ，1，0m
10、，n3m，n,2, 1，m，0,2,m，n,0m,1x1.,0由y,log(x，4)知当a1时1ylog3?1a3,当0alog30a00a0a0a由于y1log30?对?a?(0,1)此式都成立从而0a1综上知0a1或1a0时 111?,?cosx恒成立?,?,1?a?1?0a?1,a0时?,?cosx恒成立aaa1?,?1?a?,1即,1?a0)的图象所围成的阴影部分的面积9为，则k,_. 2答案 3 ,y,kxx,0x,k,或解析 由解得 22 x0k.y,y,y,111119k223k333由题意得(kx,x)dx,(kx,x)|,k,k,k,?k,3. 0,232362016(201
11、4?西安一中期中)从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小3正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_cm. 答案 144 解析 设小正方形边长为x则盒子的容积为v,x(10,2x)(16,2x) 322即v,4(x,13x，40x)(0x0可得x, 31令f (x)0可得,3x. 311?函数f(x)的单调增区间为(,?,3)(，?)单调减区间为(,3)( 331332(理)(2014?威海期中)已知函数f(x),x,x，2x，5. 32(1)求f(x)的单调区间; (2)若曲线y,f(x)与y,2x，m有三个不同的交点，求实数m的取值范围( 2解析 (1)f (
12、x),x,3x，2 令f (x),0解得x,1或x,2. 当x2时f (x)0,当1x2时f (x)0 ?f(x)的单调递增区间为(,?1)(2，?)单调递减区间为(1,2)( 1332(2)令f(x),2x，m即x,x，2x，5,2x，m 321332?x,x，5,m 321332设g(x),x,x，5即考察函数y,g(x)与y,m何时有三个公共点 32令g(x),0解得x,0或x,3. 当x3时g(x)0 当0x3时g(x)0 1?g(x)在(,?0)(3，?)上单调递增在(0,3)上单调递减g(0),5g(3), 21根据图象可得m5. 23218(本小题满分12分)(2014?福建安溪
13、一中、养正中学联考)已知函数f(x),x，ax，bx2，5，若曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x,时，y,f(x)有极值( 3(1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在,4,1上的最大值和最小值( 2解析 f (x),3x，2ax，b 2222,f ，,3，2a，b,0,333(1)由题意得, 2 ,f ，1，,31，2a1，b,3.,a,2,解得 b,4.,2经检验得x,时y,f(x)有极小值 332所以f(x),x，2x,4x，5. 2(2)由(1)知f (x),3x，4x,4,(x，2)(3x,2)( 2令f (x),0得x,2x, 123f (x)f(x)
14、的值随x的变化情况如下表: 295?f(),f(,2),13f(,4),11f(1),4 327?f(x)在,4,1上的最大值为13最小值为,11. 1219(本小题满分12分)(文)(2014?山东省菏泽市期中)已知函数f(x),x，alnx. 2(1)若a,1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值; 23,1，求证:在区间1，?)上，函数f(x)的图象在函数g(x),x(2)若a的图象的下方( 3解析 (1)由于函数f(x)的定义域为(0，?) ，x，1，x,1，1当a,1时f (x),x, xx令f (x),0得x,1或x,1(舍去) 当x?(0,1)时f (x)0因此函数f(
15、x)在(1，?)上单调递增 则x,1是f(x)的极小值点 1所以f(x)在x,1处取得极小值为f(1),. 21223(2)证明:设F(x),f(x),g(x),x，lnx,x 2332，x，1,2x12则F(x),x，,2x, xx2,，x,1，2x，x，1，, x当x1时F(x)0 故f(x)在区间1，?)上单调递减 1又F(1),0 6?在区间1，?)上F(x)0恒成立 即f(x)g(x)恒成立( 因此当a,1时在区间1，?)上函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方( (理)(2014?北京东城区联考)已知函数f(x),xlnx. (1)求函数f(x)在1,3上的最小值; 12(2)
16、若存在x?，e(e,2.71828，e为自然对数的底数)使不等式2f(x)?,x，ax,3e成立，求实数a的取值范围; (3)若F(x)的导函数为f(x)，试写出一个符合要求的F(x)(无需过程)( 解析 (1)由f(x),xlnx可得f (x),lnx，1 1当x?(0)时f (x)0f(x)单调递增( e所以函数f(x)在1,3上单调递增( 又f(1),ln1,0 所以函数f(x)在1,3上的最小值为0. 32(2)由题意知2xlnx?,x，ax,3则a?2lnx，x，. x12若存在x?e使不等式2f(x)?,x，ax,3成立 e3则只需a小于或等于2lnx，x，的最大值( x，x，3，
17、x,1，323设h(x),2lnx，x，(x0)则h(x),，1,. 22xxxx1当x?1)时h(x)0h(x)单调递增( 113?h(),2，3eh(e),2，e， eee12?h(),h(e),2e,40 ee1可得h()h(e)( e111所以当x?e时h(x)的最大值为h(),2，3e. eee1故a?,2，3e. e22xx(3)F(x),lnx,. 243220(本小题满分12分)(文)(2014?浙江杜桥中学期中)已知函数f(x),x,ax，10. (1)当a,1时，求曲线y,f(x)在点(2，f(2)处的切线方程; (2)在区间1,2内至少存在一个实数x，使得f(x)0成立，
18、求实数a的取值范围( 2解析 (1)当a,1时f (x),3x,2xf(2),14 曲线y,f(x)在点(2f(2)处的切线斜率k,f (2),8 x,y,2,0. 所以曲线y,f(x)在点(2f(2)处的切线方程为822(2)解法1:f (x),3x,2ax,3x(x,a)(1?x?2) 323当a?1即a?时f (x)?0f(x)在1,2上为增函数 323故f(x),f(1),11,a所以11,a11这与a?矛盾, min223当1a2即a3时 322若1?xa则f (x)0f(x)单调递减, 32若a0f(x)单调递增, 32a时f(x)取最小值 所以x,3282103333因此有f(a
19、)0即a,a，10,a，103这与a3矛盾, 32732722当a?2即a?3时f (x)?0f(x)在1,2上为减函数所以f(x),f(2),18,4amin39所以18,4a这符合a?3. 29综上所述a的取值范围为a. 23，10x10解法2:由已知得:a,x， 22xx1010设g(x),x，(1?x?2)g(x),1, 23xx?1?x?2?g(x). 2x(理)(2014?威海期中)已知f(x),e，g(x),lnx. (1)求证:g(x)xx0，112212求证:x1. 1xx解析 (1)令y,f(x),x,e,x则y,e,1 令y,0解得x,0 当x0时y0时y0 0?当x,0
20、时y,e,0,10 minx?ex x,11令y,x,g(x),x,lnxy,1,(x0) xx令y,0解得x,1 当0x1时y1时y0 ?当x,1时y,1,ln1,10 min?xlnx(x0) ?g(x)xf(x)( 21(本小题满分12分)(2014?山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每133小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y,x,x，8(0x120)( 12800080(1)当x,64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升, (2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米, 10025解析 (1)当x,64千米/小时时要行驶100千米需
21、要,小时 641613253要耗油(64,64，8),11.95(升)( 8016128000(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米由题意得 13a3(x,x，8),22.5 12800080x22.5?a, 1832x，,128000x801832设h(x),x，, 128000x80则当h(x)最小时a取最大值 33x,8018h(x),x, 2264000x64000x令h(x),0?x,80 当x?(0,80)时h(x)0 故当x?(0,80)时函数h(x)为减函数当x?(80,120)时函数h(x)为增函数 ?当x,80时h(x)取得最小值此时a取最大值为 22.5?a,200
22、. 183280，,1280008080?若油箱有22.5升油则该型号汽车最多行驶200千米( 222(本小题满分14分)(文)(2014?浙江杜桥中学期中)已知函数f(x),x,2lnx. (1)求f(x)的单调区间; 1(2)若f(x)?2tx,在x?(0,1内恒成立，求t的取值范围( 2x2，x，1，x,1，2解析 (1)函数的定义域为(0，?)f (x),2x, xx由f (x)0得x1由f (x)0得0x1 所以函数f(x)的单调递增区间为(1，?)单调递减区间为(0,1)( 112lnx(2)由f(x)?2tx,对x?(0,1恒成立得2t?x，,. 23xxx422,2x,3，2x
23、lnxx12lnx,则h(x), 令h(x),x，34xxx?x?(0,1 4224?x,30,2x0,2xlnx0 ?h(x)0. 2(1)若x,3是函数f(x)的极值点，求a的值; (2)求f(x)的单调区间; (3)若f(x)在0，?)上的最大值是0，求a的取值范围( 2,ax,，a,1，x解析 (1)由题意得f (x),x?(,1，?) x，11由f (3),0?a,经检验符合题意( 41(2)令f (x),0?x,0x,1 12a?当0a1时x1时,1x0 2f(x)与f (x)的变化情况如下表 111(,1，,1) ,1 (,1,0) x 0 (0，?) aaaf (x) , ， , 0 0 1f(,1) f(x) 减 增 f(0) 减 a1?f(x)的单调递增区间是(,1,0) a1f(x)的单调递减区间是(,1,1)和(0，?)( a1综上当0a1f(x)的单调递增区间是(,1,0)( a1f(x)的单调递减区间是(,1,1)(0，?)( a当a,1时f(x)的单调递减区间为(,1，?)( (3)由(2)可知 1当0af(0),0所以0a1不合题意 a当a?1时f(x)在(0，?)上单调递减 由f(x)?f(0)可得f(x)在0，?)上的最大值为f(0),0符合题意 ?f(x)在0，?)上的最大值为0时a的取值范围是a?1.