《最新高考数学创新题揭秘优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高考数学创新题揭秘优秀名师资料.doc（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高考数学创新题揭秘数学月刊三月号 高考数学创新题揭秘 一(条件探究型 这类题目的特点是给出了题目的结论,但没有给出满足结论的条件,并且这类条件常常是不惟一的,需要解题者从结论出发,通过逆向思维去判断能够追溯出产生结论的条件,并通过推理予以确认,这种条件探究性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件和充要条件. 例1. 如图，在直四棱柱ABCDABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_1111时，有AC?BD(注:填上你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情况) 111分析:本题是条件探索型试题，即寻找结论AC?BD成立的充分条件，由AA?平面AC111111以及AC?BD(平面AC1的一条斜线A
2、C与面内的一条直线BD互相垂直)，容易联想1111111到三垂线定理及其逆定理.因此，欲使AC?BD，只需BD与CA在平面AC上的射影11111111垂直即可.显然，CA在平面AC上的射影为AC，故当BD?AC时，有AC?BD，111111111111又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，从而BD?BD，AC?AC.因此，当BD?AC时，1111有AC?BD.由于本题是要探求使AC?BD成立的充分条件，故当四边形ABCD为菱形111111或正方形时，依然有BD?AC，从而有AC?BD，故可以填:?111AC?BD或?四边形ABCD为菱形，或?四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可. 点评: A
3、C?BD是结论AC?BD成立的充要条件，而所填的ABCD111是正方形或菱形则是使结论A1C?BD成立的充分而不必要的条11件( 本例中，满足题意的充分条件不唯一，具有开放性特点，这类试题重在考查基础知识的灵活运用以及归纳探索能力. 二(结论开放型 这类题目的特点是给出一定的条件,要求从条件出发去探索结论,而结论往往是不惟一的,甚至是不确定的,需要解答者从已知条件出发,运用所学过的知识进行推理、探究或实验得出结论. 例2.(2000年全国高考试题)如图，E、F分别为正方体的面ADDA和面BCCB的1111中心，则四边形BFDE在该正方体的面上的射影可能是_(要求把可能的图形1的序号都填上) 1
4、 分析:本题为结论探索型的试题，要求有一定的空间想象能力. 解:由于正方体的6个面可分为互为平行的三对，而四边形BFDE的在互为平行的平面上1的射影相同，因此可把问题分为三类:a:在上、下两面上的射影为图?;b:在前、后两面上的射影为图?;c:在左、右两面上的射影为图?. 综上可知，在正方体各面上的射影是图?或图?. 点评:这也是一道结论探索型问题，结论不唯一，应从题设出发，通过分类以简化思维，再利用射影的概念，得到正确的结论. 三(条件和结论都发散型 有些题目条件和结论都是不确定的,但是给出了一定量的信息和情景,要求解题者在题目给出的情景中,自行设定条件,自己寻找结论,自己构建命题并进行演绎
5、推理. x2 例3. (湖北卷)在这四个函数中，当y,2,y,logx,y,x,y,cos2x2()()x，xfx，fx1212时，使恒成立的函数的个数是( B ) 0,x,x,1()f,1222A(0 B(1 C(2 D(3 ()()x，xfx，fx1212【答案】B.要使恒成立，即需要函数在01,x内为凸函数.()f,22x2yx,cos2而在内为凹函数，在内先凸后凹函数.只有 01,x01,xyyx,2,在01,x内为凸函数.所以答案为B. yx,log2四(信息迁移型 这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识,这些新知识可以是新概念、新定义、新定理和
6、新规则、新情境,并且这些解题的信息有可能不是直接给出的,要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂新概念,理解新情境,获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进一步演算和推理,从而考查在新的信息、新的情境下,独立获取和运用新信息的能力,综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力. 2 信息迁移题,由于信息呈现的方式不同,又可分为定义信息型、图表信息型、图像图形信息型等. ,(定义信息型 例4、(2004年高考北京理工科14题)定义“等和数列”:在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做这个数列的公 和.已知数列 是等和数列，且，公和为5
7、，那么的值为_,这个数列 的,aaa,2n181前项和的计算公式为_. Sn分析:由等和数列的定义知:奇数项为2，偶数项为3.a,2,a,3,a,2,a,3？,1234551易求得3,.只要理解了这a,当n为偶数时,S,n,当n为奇数时,S,n,18nn222一即时给予的新定义，再做不难. 2(图形、图像信息型 y,f(x) 例5、(辽宁卷12)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意*，由关系式，得到的数列满足，a,a(n,N)a,(0,1)a,f(a)an，n1n，1nn1则该函数的图象是 y y y y 1 1 1 1 x x x x O 1 O O O 1 1 1 (,) (,) (,)
8、 (,) 【答案】A f(x),xfxx(),【解答】由，得，即，而是图中a,aa,f(a)f(a),an，1nn，1nnnf(x),x正方形的对角线，由知曲线应在正方形的对角线的上方.从图象知故选A ( 【点拨】分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断. 3(类比归纳型 这种题目的特点是给出一个数学情境或一个数学命题,要求解题者发散思维去联想、类比、推广、转化,找出类似的命题、推广的命题、深入的命题,或者根据一些特殊的数据、特殊的情况去归纳出一般的规律. 222 例6.在平面几何里，有勾股定理:“设?ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB+AC=BC”3 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研
9、究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是:“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则2222.” S，S，S,S,ABCACDADBBCD五(存在型 这种题型是题目给出一定的条件,让解题者去证明在给定条件下,一些给定的结论一定存在或一定不存在,或者要求解题者去判断在给定的条件下的结论是否存在. bx，c1 例7、已知函数(a,c?R,a,0,b是自然数)是奇函数，f(x)有最大值，且f(x),2ax，122f(1),.(1)求函数f(x)的解析式;(2)是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，5并且使得P、Q两点关于点(1，0)对称，若存在，
10、求出直线l的方程，若不存在，说明理由. 分析:本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力. 解:(1)?f(x)是奇函数 ,bx，cbx，c,?f(x)=f(x)，即，?bx+c=bxc，?c=0 22ax，1ax，1bx?f(x)=.由a,0，b是自然数得当x?0时，f(x)?0， 2ax，1当x,0时，f(x),0，?f(x)的最大值在x,0时取得. 11a1f(x),x,?x,0时，当且仅当 a1bbxax，22bbxb111a2 x,即时，f(x)有最大值?=1,?a=b? ,2ab2a22bb22又f(1),，?,?5b,2a+2 ? 5a，15x12把?
11、代入?得2b5b+2,0解得,b,2，又b?N,?b=1,a=1,?f(x)= 22x，1(2)设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点(1，0)对称， x,0,y02,x，1,02P(x,y)则Q(2x,y)，?,消去y，得x2x1=0 0000000,2,x0,y02,(2,x)，10,4 221，2,1,2,解之，得x=1?,?P点坐标为()或() 2044221，2,1,2,进而相应Q点坐标为Q()或Q(). 44过P、Q的直线l的方程:x4y1=0即为所求. 点评:充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，
12、则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证. 六(解题策略开放型 一般的题目,题型与方法相对是固定的,所以解题者可以根据题目的条件和结论,根据固有的解题模式确定解题策略,但有些题目,并不是按照“题型加方法”的思维定势编拟的,题目的背景比较新颖,解题的要求比较开放,有时需要实际操作和巧妙设计,这就要求解题者具有灵活的思维和应变能力,能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策,这是一种解题策略开放与发散的题型. 例8、(,年全国高考文史类试题) (I)给出两块相同的正三角形纸片(如图1，图2)，要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面
13、积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明; (II)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小; (III)(本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分) 如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3)，要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明. 解(I)如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥( 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的1，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三4个相
14、同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底( (II)依上面剪拼方法，有V,V( 柱锥5 推理如下: 设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角3形，其面积为(现在计算它们的高: 4236132h,tg30:,，( 1()h,柱锥26323133633,22V,V,(h,h),(,),0 柱锥柱锥3469424所以( V,V柱锥(III)如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形(以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，
15、成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱( 七( 实践操作探索型 例9(2004年高考 浙江理工科15题)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，质点落在点(3，0)处(允许重复过此点)，则质点的不同运动方法有_种. 分析:要求能将实际问题通过分析转化为数学问题.在实际操作的过程中，规定向右移一个单位为1，向左移一个单位为-1，则其代数和要为3.这5个数值中只能一个为-1，在这5步中第几个值为-1呢,利用排列组合知识知不同的方法有5种. 八( 规律总结型 a,3n*a,0,a,(n,N)a,例10 已知数列满足，则(B) n，11203a，
16、1n3A0B,3C3D 2答案:B 评述:本题由数列递推关系式,推得数列a是周期变化的,找出规律,再求a. n20a,3，n3,a,3,a,0, 解析:由a=0,a,(n,N).得a=- 12n34，13a，1n6 由此可知: 数列a是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a=a=-故选B. 3.n202九( 知识迁移交汇型 例11 (北京)如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若PBBCCABCDABCD,111111CD到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 ( D ) 11D C 11A B 11P D C A B A(直线 B(圆 C( 双曲线 D( 抛物线 CD分析:P到直线的距离即P到点的距离，原问题转化为在正方体右侧面内P到点CC1111的距离P到直线BC的距离相等.这满足抛物线定义，故选D. 7