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1、高考数学命题趋势及解题攻略-数列与探索性新题型的解题技巧2007命题有如下趋势： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a与S之间的互化关系也是高考的一个热点. nn3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住
2、基本量a、1d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q?1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a与S的转化；将一些数列转nn化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7数列应用题将是命题
3、的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！ 答简单的问题. 3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题
4、多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 1 理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 典型例
5、题 例1（2006广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，则fn()_,；（答案用nf3_,， 表示）. 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, 推测出第n层的球数。 解答过程：显然. f310,，nn1，第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，第n堆的乒乓球数总数相aaaa,，,n12n2nn1，11，222当于n堆
6、乒乓球的低层数之和，即 fnaaa(12n).,，,，,，12n222本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！ nn1n2，所以： f(n),6例22007将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。 解：
7、第1次全行的数都为1的是第2=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第21,21,3n3次全行的数都为1的是第n=7行，?，第次全行的数都为1的是第行；第6121,21,5行中1的个数是 21,=32 n应填，32 21,2 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且；我们可把各个差列出来进行求和，可aan,a1,nn1,1得到数列a的通项. ,nnn1， aaaaaaaa,，,，,，,，,，,nn121.，nnn1n1n2211,2a再看“逐商法”即n1，且，可把各个商列出来求积。 a1,n1,，1anaaann12, aa
8、nn1n221n!,，n1aaan1n21,另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。 例3（2007年卷） 数列1中，（是常数，），且成公比不为的等aaa，cn,123，aa,2aacn,，,123n1nn，1比数列 本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！ （I）求的值；（II）求的通项公式 ca,n思路启迪：（1）由成公比不为1的等比数列列方程求； aaa，c123（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前
9、4项的该数列的一个通项公式. 解：（I）， a,2ac,，2ac,，231232因为成等比数列，所以，解得或 aaa，c,0c,2(2)2(23)，,，cc123当c,2时，不符合题意舍去，故 c,0aaa,123（II）当时，由于 n?2， ， ， aac,aac,2aanc,(1)2132nn,1nn(1),所以 aancc,，,12(1)n122又，故 c,2a,2annnnn,，,，,2(1)2(23)，n1当n,1时，上式也成立， 2所以 annn,，,2(12)，n小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，
10、在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视. 例4（2006广东卷）已知数列x11满足，若， xn,3,4,im2lx,x,xxx,，n2nnnn,12n,22则 ( B ) 3（） （） （） （） 2思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用. 解答过程：， . 2xxx,，？,xxxxnn1n1,nn1n2n,xxxx,3213,xxxx,4324,相叠加. xxxxxx,，,n212nn1,n1n2n3n1xxxx,nn1n2nxxxx,x1， . ？，,2xx2xx,nn11,22本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所
11、有，如有侵权，来信删除！ ， ， ，. ？,2x6x3,limx2,lim2xxlim2x，,，11nnn11,nnn,1解答过程2：由得： xxx,，nnn,122111， x+xxxxxx,，,，,nn1n1n2211,2221, ，因为. limx2,limxxx，,n,nn11,n,n,2,所以：. x3,11解答过程3：由得： xxx,，nnn,1222n2n1,1111,， xxxxxx,xxxnn1n1n2n2n3211，,2222,2n1,3111,从而 ；. xxx,321xxx,xxx,431nn11,222,23n1,，111,叠加得：. ,，,，,xxxn21,222,
12、，n2,n2,，1111,， . ,，,xxx1n21limxlimxx1,，,n21,nn,6262,，,，,x11 ， 从而. x3,2x,，1126小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推akadn2,k1,，,，可转化为 ，nn-1dd,akadan2,，,；对连续三项递推的关系 ，aka,n1nn-1，,nn1,1k1k,2如果方程有两个根，则上递推关系式可化为 ,、xkxd=0,或. aaaa,aaaa,，n1nnn1，,n1nnn1，,3 n aSnnS n=1,1的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，aSS
13、aa,nnnnn,SS n2,nn1,在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适an2,aSS,1nnn1,合。解决含的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子. aSaSnnnn52006 在等比数列n中,前项和为,若数列也是等比数列,aa，1Sa,2,nnn1则等于（ ） Sn本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！ n，1n(A) (B) (C) (D) 22,3n2n31,命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 n,1因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则 aa，1aq,2,
14、nnn22(1)(1)(1)22aaaaaaaaaaaa，,，,，,，,，,12112221nnnnnnnnnnnn， 2,，,aqqq(12)01n即，所以，故选择答案C. Sn,2a,2nn例6.已知在正项数列a 中，S 表示前n项和且，求a . 2Sa1,，nnnnn思路启迪：转化为只含或者只含的递推关系式. aSnn解答过程1：由已知，得当n=1时，a=1；当n?2时， 2Sa1,，1nna = S S ，代入已知有，. 2SSS1,，SS2S1,，nnn1nnn1,n1nn,2，又，故. a0,SS,SS1,SS1,n1nnnn1,，n1n,，是以1为首项，1为公差的等差数列， SS
15、1,S,nn1,n故. Sn,a2n1,nn解答过程2：由已知，得当n=1时，a=1；当n?2时 2Sa1,，1nn222a1，a1a1，,nnn1因为,，所以. S,a,nn,222,2222， 4aa2aa2a,，,a2aa2a0,nnnn1n1nnn1n1,，因为， aaaa20，,a0,，nn1nn1,n所以，所以. a2n1,aa2,nnn1,4. n 对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为n1,得到另外的式子。也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3等，得到一些等式归纳证明. ,7（2006福建卷）已知数列a满足a1,a2a1,， (n?N) ,n1n1n，（?）求数列的通
16、项公式； a,nbb1b1b1b1,n312n（?）若数列满足 (n?N*),证明: 是等差数列; 4444a1，,，bb，,nnn思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！ 把递推关系式变形转化 *aanN,，,21(),1nn，解答过程： （I）解： ？，,，aa12(1),nn，1 a1，是以为首项，2为公比的等比数列。 a12，,n1n2*？，,a12.anN,21().nn 即 bb1b1b1b1,n312n （II）证法一： ， 4444a1，,，
17、n(bb.b)b，,nn12nn？,42. ？，,2(.),bbbnnb12nn ? 2(.)(1)(1).bbbbnnb，,，,，1211nnn， ? 2(1)(1),bnbnb,，,nnn，11 ?，得 (1)20,nbnb,，,nn，1 即 ? nbnb,，,(1)20.nn，21 ? nbnbnb,，,20,nnn，21 ?，得 *？,bbbbnN(),bbb,，,20,211nnnn，nnn，21 即 故是等差数列. b,n5 在等差、等比数列中，已知五个元素a,a,n,d或，S中的任意三个，运用方程的思想，q1nn便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首
18、项a和公差（或1公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 q（1）等差数列mnpq，,，a中，若，则aaaa，,，；等比数列中，若,a,nmnpqnmnpq，,，则aaaa, . mnpq（2）等差数列中，成等差数列。其中S是等差数列的aS,SS,SS,SS,nnn2nn3n2nknkn1,，前n项和；等比数列中（），成等比数列。其中q1,aS,SS,SS,SS,nn2nn3n2nknkn1,，本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！ 是等比数列的前n项和； Sn（3）在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列. aa,nn（4
19、）在等差数列中，； . S2n1a,Snaa,，a，,2n1n,2nnn1，n在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 典型例题 82006已知等差数列的前n项和为S，若，且A、OaBOAaOCan,1200nB、C三点共线（该直线不过原点O），则S（ ） 200A100 B. 101 C.200 D.201 命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。 ：依题意，aa1，故选A 12009（2007年安徽卷文、理） 某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a，以后每年1交纳的数目均
20、比上一年增加 d（d0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a, a, 是一个公12差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r0）,那么, 在第n年末，第一年所交纳的储备金n1n2就变为 a（1+r），第二年所交纳的储备金就变成 a（1+r），. 以T表示到第n12n年末所累计的储备金总额. （?）写出T与T（n?2）的递推关系式； nn1（?）求证T=A+ B，其中A是一个等比数列，B是一个等差数列. nnnnn命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型
21、的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解：（I）我们有 T,T(1，r)，a(n,2).nn,1n（II）反复使用上述关系式，得 T,a,对n,2112 T,T(1，r)，a,T(1，r)，a(1，r)，a,？nn,1nn,2n,1nn,1n,2 ? a(1，r)，a(1，r)，？，a(1，r)，a,12n,1n在?式两端同乘1+r，得 本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！ 12n,n ? (1，r)T,a(1，r)，a(1，r)，？，a(1，r)，a(1，r).121n,nn?，得 ,？rT,a(1，r)，d(1，r
22、)，(1，r)，(1，r),adnnn12,(1，r),1,r，a(1，r),a,nn1rnnnar，dar，d1d即T,(1，r),n,.r rrn11n22ar，dar，dd如果记A,(1，r),B,n,n11rrrnn22则T,A，B,nnnar，d其中|A是以|(1，r为首项)以,1，rr(,0为公比的等比数列);1n2rar，ddd1|B是以|,首项,为公差的等差数列.n2rrr2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用 6 n 等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公
23、式na1q,，aa1n11（），因此可以改写为q1,Sq,n1q1q1q,nSaqb (ab0),，,是关于n的指数函数，当时，. Sna,q1,nn1210（2007年广东卷）已知数列的前n项和S=n9n,第k项满足5a8,则k= anknA9 B8 C7 D6 思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力 解：此数列为等差数列，由52k-10a； ana,n（3）记b,（n=1,2,），求数列b的前n项和S lnnnnaa,n思路启迪：（1）注意应用根与系数关系求,的值；（2）注意先求；（3）注意利用fx()的关系 2解：（1）?fxxx
24、()1,，,，是方程f(x)=0的两个根， (),，,1515?, 22115(21)(21)aaa，,2nnn1aa，,244nn （2）aaa,， fxx()21,，nnn1，2121aa，nn51151,51,4=(21)a,0a,a，,，?，?由基本不等式可知（当且仅当a,1n211421222a，n51,51,51,a,0a,a,时取等号），?同，样，（n=1,2,） 23n222()()aaa,nnn （3）,，,1,，,1aaa,，,(1)，而，即， nnn，12121aa，nn22()a,()a,13535,，,nna,a,b,lnln2ln，同理，又 bb,2，nn111nn
25、，121a，21a，12,35,nn35，n2(21)lnS, n2一.选择题 1.已知a是等比数列，且a0，aa+2 aa+aa=25，那么a+ a的值等于（ ） nn24546353A.5 B.10 C.15. D.20 2.在等差数列a中，已知a+a+a+a+a= 20，那么a等于（ ） n123453A.4 B.5 C.6 D7. S3.等比数列a31的首项a=1,前n项和为S,若，则S等于( ) 10limn1nn,n,S325本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！ 22 C.2 D.2 A. B.,3324.已知二次函数y
26、=a(a+1)x(2a+1)x+1，当a=1，2，n，时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d,d，,d,则 (d+d+d)的值是( ) lim12n12nn,A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题 5.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0log(ab)0,S0. nn31213(1)求公差d的取值范围； (2)指出S、S、S中哪一个值最大，并说明理由. 121215.已知数列a为等差数列，公差d?0,由a中的部分项组成的数列 nnab,a,a,为等比数列，其中b=1,b=5,b=17. 123nbb12本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权
27、归原作者所有，如有侵权，来信删除！ (1)求数列b的通项公式； n3n12T(2)记T=Cb+Cb+Cb+Cb,求. nn123nnnnnlimnnn,4，b16.设a为等差数列，b为等比数列，a=b=1,a+a=b,b?b=a,分别求出a及b的前nn11243243nnn项和S及T. 101017.设数列a的前n项和为S，且S=(m+1)ma.对任意正整数n都成立，其中m为常数，nnnn且m1. (1)求证：a是等比数列； n1*(2)设数列a的公比q=f(m)，数列b满足：b=a,b=f(b)(n?2,n?N).试问当m为nn11nn13何值时，成立？ (b,lga),3(bb，bb，？，bb)limlimnn1223n,1nn,n,18.已知数列b是等差数列，b=1,b+b+b=145. n11210(1)求数列b的通项b； nn1(2)设数列a的通项a=log(1+)(其中a0且a?1),记S是数列a的前n项和，试n