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1、2012高考数学总复习 第8单元第2节 两条直线的位置关系课件 文 苏教版（可编辑）第 二 节 两 条 直 线 的 位 置 关 系基础梳理 1.两条直线平行与垂直的判定 1 两条直线平行 对于两条不重合的直线l ,l ,其斜率 1 2 k =k 分别为k ,k ,则有l l ?_. 1 2 特别 1 2 1 2 地,当直线l ,l 的斜率都不存在时,l 1 2 1 垂直 与l 都与x 轴_ . 22 两条直线垂直 如果两条直线l ,l 的斜率都存在,分别设 1 2 k k =-1 为k ,k ,则l ?l ?_. 1 2 1 2 1 22. 三种距离 1 两点间的距离 平面上的两点P x ,y
2、 ,P x ,y 间的距 1 1 1 2 2 2 离公式 2 2 xxyy2 1 2 1 P P =_. 1 2 特别地,原点0,0 与任一点Px ,y 的距离 2 2 xy OP =_.基础达标 1. 2011?西安调研 已知两条直线y =ax -2和 y =a +2x +1互相垂直,则a 等于_-1 解析:? 两条直线互相垂直, ?aa+2-1, ?a-1. 2. 必修2P 习题2.12 第1 题改编 直线l 过点 84 -1,2 且与直线2x -3y +4 =0垂直,则l 的方 3x +2y -1 =0 程是_3 解析:由题意知,直线l 的斜率为- , 2 3 因此直线l 的方程为y-2
3、-x+1 ,即 2 3x+2y-10.3. 2011? 苏州质检 直线x +ay +3=0与直线ax + 4y +6=0平行的充要条件是a =_. -2 24a0解析:由两条直线平行可知 63a?a-2. 4. 若点Pa,3 到直线4x -3y +1=0 的距离为4 ,且点P 在不等式2x +y -30表示的平面区域 -3 内,则实数a的值为_| 4a9 ?1| 解析:由 4得a7或-3 ,又 5 2a+3-30 ,得a0,?a-3.5. 必修2P 习题2.13 第6题改编 若点 94 Pa,b 在直线x-y+20上,则的最小值 2 是_ 2 . 2 2 解析: 的最小值,就是原点 ab |
4、002 | O 到直线x-y+20的距离d 2 2经典例题 题型一 两条直线位置关系的判定和应用 【例1】 已知直线l 经过点A3,a ,Ba-1,2 , 1 直线l 经过点C1,2 ,D -2 ,a+2 . 2 1 若l l ,求实数a的值; 1 2 2 若l ?l ,求实数a的值. 1 2 分析:由C ,D 两点的横坐标可知l 的斜率一 2 定存在,由A ,B 两点的横坐标可知l 的斜率 1 可能存在也可能不存在,因此要注意对a的 取值进行讨论.在1 中首先考虑斜率是否 存在,还要排除两直线重合的情况;在2 中,既要考虑斜率是否存在,又要考虑斜率 是否为0.2a2? a 解:设直线l 的斜
5、率为k ,则k =? 2 2 2 1?2 3? a 1 若l l ,则l 的斜率存在,且k =k = .又 1 2 1 1 23 2a a 2a 2a k ,所以 1 a ?13 a4? a4 3 解得a =1或a=6.经检验,当a=1或a=6 时, l l 1 2 都成立. 2 若l ?l ,?当k =0时,此时k 也存在,且a =0,k = 1 2 2 1 1 1 2 ,当k =0时,a=2,k =,均不符合题意;? 1 2 2 3变式1-1 已知直线l :3mx +8y +3m -10=0和l x +6my - 1 2: 4=0 ,问:m 为何值时,1l 与l 相交;2l 与l 平 1
6、2 1 2 行;3l 与l 垂直. 1 2 解:当m =0 时,l :8y -10 =0 ,l :x -4=0 , 1 2 l 与l 垂直; 1 2 1 2 3m 10 ?3m y? x. y? x; 当m ?0时,l : l : 1 2 6m 3m 8 8 3m 1 2 10 ?3m 2 2 8 ?m? ,?m或 由8 6m 3 8 3m 3 3 3m 11 而 无解. 8 6m? 2 综上所述,1m ? 时,l 与l 相交;2m = 1 2 3 2 - 时,l 与l 平行;3m =0时,l 与l 垂直. 1 2 1 2 3题型二 距离问题 【 例2】 2011?江苏镇江模拟 已知两条直 线
7、l :2x -y +a=0a0 ,直线l :-4x +2y 1 2 7 5 +1 =0,且l 与l 的距离是 .求a 的值. 1 2 10 分析:直接利用两平行直线间的距离公 式求解即可.解:?l :-4x +2y +1=0,?l :2x -y 2 2 1 1 a- =0,?l 与l 距离为d= 2 1 2 2 5 7 5 =,解得a=3或a=-4.又a0, 10 ?a=3.变式2-1 已知A4,-3 ,B2 ,-1 和直线l :4x + 3y -2=0,求一点P 使|PA| =|PB| ,且点P 到l 的 距离等于2. 解:设点P 的坐标为Pa,b ,?A4,-3 ,B2, -1 , ?AB
8、 的中点M 的坐标为3,-2 ,AB 的斜率 ?3 ?1 k = =-1 ,所以AB 的中垂线方程为y +2 AB 42 =x -3,即x -y -5=0.而点Pa,b 在直线x -y -5=0上,故a -b -5=0.? 又已知点P 到l 的距离为2,得 4a3b2 =2. ? 解 ?,? 组成的方 2 2 43 27aa ?1 7 程组,得 或于是P1,-4? b?4 8? b7 和P 为所求的点.题型三 交点及直线系问题 【例3】 求经过直线l :3x +2y -1=0 和l :5x 1 2 +2y +1=0的交点且垂直于直线l :3x -5y +6 3 =0的直线l 的方程. 分析:本
9、题可以先求交点坐标,然后由直线间 的位置关系求解,也可以先设出直线系方程, 后代入点具体求解.3x2y ?10解:方法一:由 ,得l ,l 的 1 25x2y ?10交点P -1,2 . 5 3 又l 的斜率k = ,?l 的斜率k =- , 3 3 3 5 ?l :y -2=-x +1 ,即5x +3y -1 =0.方法二:?l ?l ,故设l :5x +3y +C =0. 3 又?l ,l 的交点可以求得为P -1,2 . 1 2 ?5 -1 +32+C =0,?C =-1, ?l :5x +3y -1=0.方法三: ?l 过l ,l 的交点, 1 2 故设l :3x +2y -1+ 5x
10、 +2y +1 =0 , ? R , 不包含l ,化简得3+5 x +2 +2 y + -1 + 2 1 355 =0.?l ?l ,? ,解得 =, 代 3 223 5 入上式整理,得l :5x +3y -1=0. 经检验l 不符合 2 所求直线l 的条件.变式3-1 已知直线l :2a+bx +a+by +a -b =0. 证明直线l 过某定点,并求该定点的坐标. 解:将直线l 的方程化为:a2x +y +1 +bx +y -1 =0, ? 无论a,b如何变化,该直线系都恒过直线 2x +y +1=0与直线x +y -1 =0的交点, 由得? 直线l 过定点Q -2,3 .题型四 对称问题
11、 【 例4 】 已知直线l :2x -3y +1=0,点A -1 ,- 2 ,求: 1 点A 关于直线l 的对称点A 的坐标; 2 直线l 关于点A 对称的直线l 的方程. 分析:求对称直线的方程,一是转化为点对 称问题,二是用相关点转移法解决.解:1 设点A 关于l 的对称点是Ax ,y , y2 2 33? x?1 13x ?1 3?解得, 4yx ?1 y2? 132? 3?10? 2 2 33 4? ?A? ,? 13 13? 2 设点Qa,b 是直线l 上任意一点,点Qa ,b 关于点A -1,-2 的对称点为Qx , ax1a?2x 2 y ,则解得 by b?4y ?2? 2 因
12、为点Qa,b 在直线l 上,即2 -2 -x -3 -4 -y +1 =0, 化简得:2x -3y -9=0 ,即为直线l 的方程.变式4 -1 光线通过点A -2,4 ,经直线l :2x -y -7 =0反射,若反射线通过点B5,8 .求入射线 和反射线所在的直线方程解:如图所示,已知直线 l :2x -y -7 =0, 设光线 AC 经l 上点C 反射为BC ,则?1=?2 再设 A 关于l 的对称点为Aa,b ,则?1 = ?3 , ? ?2=?3,则B ,C ,A 三点共线. a2 b42 70? 2 2b4 ? AA ?l 且AA 的中点在l 上, ? 2? 1? a2 a10解得即
13、A10,-2.?直线ABb?2的方程为y +2 =x -10 ,即2x +y -18=0. ?直线 25 11? , AB 与l 的交点为C,?入射线AC 的方? 4 2? 11 4程为y -4= x +2 ,即2x -11y +48=0 2 25 ?24 ? 入射线方程为2x -11y +48 =0,反射线方程为2x +y -18=0.易错警示 【 例 】 讨论直线ax +y -2=0 与x -ay +3 =0 的 位置关系. 1 错解 ? 两直线的斜率分别是k =-a ,k = , 1 2 a 1 ?k k =-a=-1. ? 两直线垂直. 1 2 a正解:若a=0,则两直线方程分别为y =2 和x = -3,显然两直线垂直; 1 若a?0 ,由k k =-a =-1知两直线垂 1 2 a 直.综上可知,题目中的两直线垂直.