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1、高考数学知识点汇总平面向量-高考生必备平面向量概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 一(向量有关概念: 1(向量的概念:既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么,(向量可以平移)。如: ,已知A(1,2)，B(4,2)，则把向量按向量,(,1,3)平移后得到的向量是_(答:(3,0) aAB2(零向量:长度为0的向量叫零向量，记作:，注意零向量的方向是任意的; 0,AB3(单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是); AB,|AB4(相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性; 5
2、(平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作:?，abab规定零向量和任何向量平行。 提醒: ?相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等; ?两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合; ,?平行向量无传递性(因为有); 0,ABC、?三点共线共线; ABAC、 ,6(相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是,。如 aa,下列命题:(1)若，则ab,。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相ab,ABCDABCDABDC,ABDC,同。(3)若，则是平行四边形。(4
3、)若是平行四边形，则。(5)若,abbc,abbc/,/ac,，则。(6)若，则ac/。其中正确的是_ (答:(4)(5) 二(向量的表示方法: 1(几何表示法:用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后; AB2(符号表示法:用一个小写的英文字母来表示，如，等; abcy3(坐标表示法:在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，ixj,xy,xy,则平面内的任一向量可表示为axiyjxy,，,，称为向量的坐标，,叫做aaa，向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 a三(平面向量的基本定理:如果e和e是同一平面内的两个不共线向
4、量，那么对该平面内的任一向12,量a，有且只有一对实数、，使a=e，e。如 ,121122,c,(1)若，则_ ab,(1,1),(1,1),(1,2),c,13(答:); ab,22(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 ,A. B. ee,(0,0),(1,2)ee,(1,2),(5,7)1212,13 C. D. ee,(3,5),(6,10)ee,(2,3),(,)121224(答:B); ,BCAC,ABCADBE,ADaBEb,BC(3)已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表ab,示为_ ,24(答:); ab，331 ,ABCBC(4)已知中，点在边上，且，则的值是C
5、D,2DBCD,rAB，sACDr，s_ (答:0) ,四(实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下:aa,当0时，的方向与的方向相同，当0 ?ab=(k?+1)/(4k) (2).解: ab=(1/4)(k+1/k)?(1/4)*2?(k*1/k)=1/2 ?当且仅当k=1/k,即k=1时，ab取最小值，最小值为1/2 则cos=ab/(|a|b|)=1/2 ?=60? 2,1k，1,abk,(0),60(答:?;?最小值为，) 4k2六(向量的运算: 1(几何运算: ?向量加法:利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如,AC此之
6、外，向量加法还可利用“三角形法则”:设，那么向量叫做与的和，即ABaBCb,ab,abABBCAC，,，,; ,?向量的减法:用“三角形法则”:设，由减向量ABaACbabABACCA,那么的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。如 ,ABBCCD，,ABADDC,(1)化简:?_;?_;?_ ()()ABCDACBD,CB0(答:?;?;?); AD,ABCD(2)若正方形的边长为1，则,_ ABaBCbACc,|abc，22(答:); ,ABC ABCOBOCOBOCOA,，,2(3)若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为_ (答:直角三角形); ,ABCBC,A
7、BCDPPABPCP，,0(4)若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，,|AP,设，则的值为_ ,|PD(答:2); 3 ,(5)若点O是?ABC的外心，且，则?ABC的内角C为_ OAOBCO，,0,(答:); 120,2(坐标运算:设，则: axybxy,(,),(,)1122,?向量的加减法运算:，。如 yy,)abxx,(1212,(1)已知点，若，则当,_时，点P在第AB(2,3),(5,4)C(7,10)APABACR,，,()一、三象限的角平分线上 1(答:); 2,1,(2)已知，则 xy，,xy,(,),ABABxy(2,3),(1,4),(sin,cos)且,222,(答
8、:或); ,26,(3)已知作用在点的三个力，则合力的终A(1,1)FFF,(3,4),(2,5),(3,1)FFFF,，123123点坐标是 (答:(9,1) ,?实数与向量的积:。 axyxy,，1111,?若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有AxyBxy(,),(,)ABxxyy,，11222121向线段的终点坐标减去起点坐标。如 ,1ADAB,3设，且，则C、D的坐标分别是_ AB(2,3),(1,5),ACAB,311(答:); (1,),(7,9),3,?平面向量数量积:。如 abxxyy,，1212,已知向量,(sinx，cosx), ,(sinx，sinx), ,(,1
9、，0)。(1)若x,，求向量、abcac33,1,的夹角;(2)若x?，函数的最大值为，求的值 f(x),a,b2841,21(1)150;(2)(答:或); 2,222222|,|axyaaxy,，,，?向量的模:。如 ,60已知均为单位向量，它们的夹角为，那么,_ |3|ab，ab,13(答:); 22AxyBxy,?两点间的距离:若，则。如 |ABxxyy,，,，11222121,如图，在平面斜坐标系中，平面上任一点P关于斜坐xOy，,xOy60,标系的斜坐标是这样定义的:若，其中分别为与x轴、yOPxeye,，ee,1212轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(,)xy。(1)若点P的斜
10、坐标为(2，,2)，求P到O的距离,PO,;(2)求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。 22(答:(1)2;(2); xyxy，,10七(向量的运算律: ,aa,abba，,，abba,1(交换律:，; ，4 ,2(结合律:，; abcabcabcabc，,，,，,ababab,，,3(分配律:，。 ,，,，,，aaaabab,abcacbc，,，,，如 ,22下列命题中:? ;? ;? a,(b,c),a,b,a,ca,(b,c),(a,b),c,|a()ab,222a,b,0a,0b,0;? 若，则或;?若则;?;ac,，2|abbaa,abcb,2222abb,22?;?
11、;?。其中正确的是_ ,()abab,()2abaabb,，,2aa(答:?) 提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么, a(b,c),(a,b)c,22八(向量平行(共线)的充要条件:,0。如 abab/,xyyx,()(|)abab1212,(1)若向量，当,_时与共线且方向相同 abxaxbx,(,1),(4,)(答:2); ,(2)已知，uab,，2，vab,，
12、2，且，则x,_ uv/abx,(1,1),(4,)(答:4); ,(3)设，则k,_时，A,B,C共线 PAkPBPCk,(,12),(4,5),(10,)(答:,2或11) ,九(向量垂直的充要条件: .特别地abababab,，,0|,，,xxyy01212,ABACABAC。如 ()()，,ABACABAC,OAOB,(1)已知，若，则 m,OAOBm,(1,2),(3,)3(答:); 2，,:B90(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ (答:(1,3)或(3，,1); ,nm,mnm,(3)已知向量，且，则的坐标是_ nab,(,),(答:)
13、 (,)(,)baba,或十(线段的定比分点: ,1(定比分点的概念:设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使2211,，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比PPPPPPPP,121212分点; ,2(的符号与分点P的位置之间的关系:当P点在线段 PP上时0;当P点在线段 PP,2211,10,的延长线上时,1;当P点在线段PP的延长线上时;若点P分有向线段PP,2121,1,所成的比为，则点P分有向线段PP所成的比为。如 21,3ABBP若点分所成的比为，则分所成的比为_ PA47(答:) ,35 ,3(线段的定比分点公式:设、，分有向线段所成的
14、比为，Pxy(,)Pxy(,)Pxy(,)PP11122212xx，,12，,x,xx,12,x,2,1，,则，特别地，当,1时，就得到线段PP的中点公式。在使用定比分yy，,2112,yy，y,12,y,2,1，,点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在(,)xy(,)xy(,)xy1122,具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如 ,1(1)若M(-3，-2)，N(6，-1)，且,，则点P的坐标为_ MPMN37(答:(6,),); 3,1(2)已知，直线与线段交于，且，则等于_ AMMB,2AaBa(,0),(3,2
15、)，ayax,ABM2(答:,或,) ,xxh,，,十一(平移公式:如果点按向量平移至，则;曲线ahk,Pxy(,)Pxy(,)，,yyk,，,按向量平移得曲线.注意:(1)函数按向量平移与平常“左ahk,fxy(,)0,fxhyk(,)0,，加右减”有何联系,(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊如 ,1)按向量把平移到，则按向量把点平移到点_ (aa(2,3),(1,2),(7,2),(答:(,，,); ,aa(2)函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则,y,sin2xy,cos2x，1_ ,(,1)(答:) 412、向量中一些常用的结论: (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和
16、为零向量，要注意运用; ,ab、 0(2)，特别地，当同向或有 ,|ababab,，|abab，,，,ab、 ab、 0;当反向或有;当不共线,|abab,|abab,，|abab,，,(这些和实数比较类似). ,|ababab,，,ABCAxyBxyCxy,(3)在中，?若，则其重心的坐标为，112233xxxyyy，,123123。如 G,33,若?ABC的三边的中点分别为(2，1)、(-3，4)、 (-1，-1)，则?ABC的重心的坐标为_ 24(,),(答:); 33,1G,ABC,ABCPGPAPBPC,，()PAPBPCP，,0?为的重心，特别地为,3的重心; ,ABCPAPBPB
17、PCPCPAP,?为的垂心; ,ACAB,ABC，BAC,()(0)，,?向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线); |ABAC,ABC?的内心; |0ABPCBCPACAPBP，,6 ,MPMP，,12,(3)若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别MPPMP,121，,MPMP，12地为的中点; PPP,MP122,ABC、(4)向量中三终点共线存在实数使得且PAPBPC、 ,、PAPBPC,，,.如 ,，,1OC为坐标原点，已知两点,若点满足平面直角坐标系中，B(,1,3)A(3,1),C,其中且,则点的轨迹是_ OC,R,，,1,OA，,OB121212(答:直线AB) 7