最新高考数学第二轮复习精品资料二优秀名师资料.doc

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1、2009年高考数学第二轮复习精品资料二2009 ,2009 yx,cos(2)的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得fx()2,，而已知角是与、与，,，2,2,3 在高考数学试题三种类型中，解答题占总分的比重最大 22到？ 解答题内涵丰富，模式灵活多变其基本框架是：给出一定的题设(即已知显然已知式，应保留，单角变为复角，从而化简,2,3sin2sin1,，,的式子有弦函数，也有切函数，显然应该采用“切割化弦”的策略. 求解本例的关键是准确化简函数条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，让考生解答解答时，应把已yfx,()，在化简过程中，注意加强目标2（2）函数为；另一个已知式，应保留，将

2、复3sin22sin20,2,3sincos2,从角的差异入手：所求角是知条件(有时把结论)作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎、意识，本例最终的化简目标是yAwxB,，sin(),yAwxB,，cos(),或. 角2,变为单角，化为6sincos2sin2,，消除角度之间的差异，余下,归纳或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，,过程不难求解. 有条理、合逻辑、完整地陈述清楚 ：,，fx()1tan12sin2xx ，,4,， 解答题是考查逻辑推理能力的主战场通过考生的解答和叙述，判断考生的1122sincosxx，,sin2sincoscosxx

3、xx，,：1? ?，即思维水平，考查考生书写的准确性、表达的完整性和严密性、运用数学概念和推sinx,525112sin2cos2cos2sinxx,， ,理的数学习惯和数学素养高考解答题在结构上比较复杂，既有基本知识点的整cos44x,12sincosxx, 合，又有数学思想的组合，也有创新思维的参与但无论怎样变化，数学知识点sinx,25212sincos2cos,，xxx是不变的，只要我们把握了知识点的真正内涵和外延，就能以不变应万变在本 ，,cosx,部分中，我们从所考查知识点的角度，将解答题分为以下六种类型： ,x0sin0x,cos0x,sincos0xx,? ?， 2cossin

4、cossinxxxx,， 1三角函数、平面向量解答题 ，22立体几何型解答题 4972cos2x 2又?sincosxx,12sincos,xx，即 (sincos)xx, 3排列、组合、二项式定理及概率型解答题 255，,（1）?,，1tan12sin2xxfx()中含有 4函数与不等式型解答题 ，tanx,4,xxxx，xxxx2222 5解析几何型解答题 3sin2sincoscos,，3sin2sincoscos,，,22222222 6数列型解答题 ? ?函数kZ,fx()的定义域为（）. xk,，,cossinxx 在近三年高考全国卷中所占分值为： cottanxx，2，函数与不数

5、列三角函数与解析几立体几排列组合概?sincosxx2cos22x,fx()，函数的值域为 ,2,2，, 等式型 型 平面向量型 何型 何型 率统计型 2cossinsincos,xxxx，,令2004 12 14 12 12 12 12 2(cossin)(sincos),，,xxxx 222kxk,kZ,kZ,（）得（） kxk,22cossinxx，22005 12 12 12 14 12 12 ,1121082006 14 12 12 12 12 12 ,，?函数,kk,kZ,fx()的单调递增区间为,（） (2)(), ,附：高考解答题中几个稳定的知识点： 2,，5251251解析几

6、何中的求曲线方程与曲线方程的讨论这两个问题是解析几何中22?,3sin22sin20,； 3sin2sin1,，,故函数kZ,fx()的定义域为（），值域为，单调递增区间为,2,2,，xk，最基本的问题 ,22?6sincos2sin2,? ? 3sincos2, 2立体几何中的距离与角数学要计算推理，没有了计算和推理，不能叫,，数学解答题，立体几何中的计算就集中表现在距离和角的计算上立体几何还有,kk,. ,?0,0,sin20,02,02,， ?，2,，一个独特的考查点就是空间想象能力 22 3函数思想的考查函数是数学的重点与灵魂函数与不等式、数列紧密,（2）函数sin20, yx,cos

7、(2)可以经过以下两个变换可得到： 不可分，应注意其思维结合点3,将?相除得cot()cot2,tancot2,，即 , ?函数yx,cos(2)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到236 ,3yx,cos2的图象； ?02,，,2cos(2)，cos()，,， ?, 三角函数是中学数学的七类基本初等函数之一，具有比较完备223232?函数yx,cos2的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的的函数性质，又因系统的三角公式及其变换，使三角函数问题丰富【技巧点拨】“分析结构，消除差异”是求解三角问题的法宝，在分析结构的基多彩、层次分明、变化多端；而平面向量作为课改新增内容，是中倍，得

8、到yfx,()yx,2cos2的图象，即函数的图像. 础上，寻找已知与所求之间的差异，求解三角问题的过程实际上是一个逐步消除学数学数学的三大工具，常与函数、三角、数列、解析几何等结合【技巧点拨】 差异的过程，常常从以下三个方面着手分析： 考查.因此三角函数与平面向量型解答题备受命题者青睐，是历届高三角函数图像及其性质是历届高考的热点，这类题主要考查三角函数的最（1）函数名称之间的差异：从函数名差异出发，统一函数名称，便于进一步考的命题热点，几乎每套高考卷都有一道出现在前三个位置上的解答题，大多属值、周期性、单调区性以及对称性等查，大多属于中低档题，大多是课本例题、化简或证明，常见的函数名变换有

9、“切割化弦”，“弦切化割”，常数1的活用等； 于中低档题. 习题或复习参考题改编而来.因此在复习备考过程中应注意以下三点：一是“立（2）角度之间的差异：常常将已知角和所求角进行比较，找出它们之间差异，纵观全国各省市高考试卷以及全国各地高考模拟试卷，三角函数与平面向量足课本，着眼提高”，二是加强掌握常规题型基本解法，三是加强三角函数式化明确运算方向.如本例（2）小题采用角的变换技巧，再如化简型解答题可分以下五种类型： 简训练. sin(2,),2cos(,)2(),，注意到的角度特征即可快速sin,【调研1】（1）已知1,646【调研3】1在?ABC中，已知sincosxx，,化简； ,x0，试

10、求ACcosB,，边上的中线AB,5263,2（3）函数次数之间的差异：根据解题需要，可以通过1cos2cos，,xxxx,22sinA，求的值. BD,53sin2sincoscos,，22222在?ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，的值； ,2,1cos2sin和变形，从而达到灵活升次或降次目的. cottanxx，3222222已知sinBsinC,bcabc，,， ?求角A大小；?若，判断?ABC的（2）已知,3sin22sin20,，为锐角，且，3sin2sin1,，,4,形状. ，,cos(，,，2,)试求的值. 【调研2】已知函数,，fx()1t

11、an12sin2xx ，,3：如何利用条件4,是关键所在！求解本例有以下两条BD,5，1求解途径： 求（1）函数fx()的定义域和值域；并求出单调递增区间； 从函数名称的差异入手：已知弦函数关系sincosxx，,，所化简5途径?：建立坐标系，运用向量求解； 第 1 页 共 16 页 2009 222222BCBC途径?：设的中点为，通过解?BDE求出边，再解?ABC即可达,2,bca，,cab，,BC,，, ? AcosA,，cosB,；到求解目的. 332bc2ac求解三角形形状问题都统一成边或都统一成角的关系再进行判断. 2222,31abc，,21 ?,sinsinBC,sinsin(

12、)BB sincossinBBB，cosC, ?,常用变形结论：3222ab如图，以B为坐标原点，为轴正向建立直角坐标系，设，则BCBCx,(,0)x .在三角形ABC中, 若AB,11,3ab,，则，反之也成立（大角对大边定理） sin(2)B,， ,4325，x 2644 BD,(,)11163,.SahbhCh,b（其中，分别是边，上hhhac?ABCsin(2)1B, 即有 ? ?ABCabcBabc2226633?角是?ABC的一个内角，且 cosB,的高） 故?ABC为等边三角形. 6y 2 111A .30SabCbcAacB,sinsinsin?ABC?sinB, ,2,222

13、?BC,，, ? 6Aabc，33D ,pp,.（其中是半周长，即）Sppapbpc()()(), 4646445?ABC?12BABB,(cos,sin)(,) ?,，,cos()cos()BCBCsinsinBC，33332,x ,（） C 144325，x1122?x,x,2 ? 解之得，BD,55|()()BD,，ab,【调研4】已知空间向量，,cos()cos()ABC a,(sin,1,cos),b,(1,2cos,1),35632（舍去） ,113,(0,)sin2,sin, （1）求及、的值； ,cos()BC cos,2452224故 CA,(,)（2）设函数33fxxx()

14、5cos(2)cos2,，,()xR,f(x)，指出的最小正周期,?ABC,cos()1BC, ? 故?ABC为等边三角形. 880并求f(x) 取得最大值时的x的值. ,3,，314BACA,2991?cosAsinA, ?1cos,A解析：（1）?ab,， b,(1,2cos,1),a,(sin,1,cos),141680480|BACA5,3b3cbca，?,， ?sinB,，sinC, ,A,99991sinsinsinBCA32a2a?,，,，,absin112coscos1， 70533333cbbc2 ?sinBsinC,sinsinBC, ?，即abc, 211442244aa

15、a即,sincos? 2. 222225?bc, ?，即 bcabc，,，bcbc，,2124126,?设E为BC的中点，连接DE，则sin2,12sincos，即 DEAB/，且，设DEAB,?,abc, ? 故?ABC为等边三角形. A252523312【方法点拨】 26sincos, BEx,BEx,，则在?BDE中，利用余弦定理可DE,BD,51.求解三角形的形状问题大致有两条思路：?都统一成边的关系，?都统一成253角的关系，其基本依据是正、余弦定理以及三角形的内角和定理. ,得 ,(0,),? 2.求解三角形问题时常常运用到以下结论：若三角形ABC的角、分别22626622对应边b

16、，则： ac 5()2,，xx43联立方程?可得336cos,sin， A 557三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即解之得x,x,1，（舍去） 433b,c,a,b，c； （2）?cos,sinfxxx()5cos(2)cos2,，,， D 55222?BC,2，从而若三角形是直角三角形，若角Cc,a，b为直角，则； ?5cos2cos5sin2sincos2xxx,，fx() 28,222ACABBCABBCB,，,2cos 若边bB(0,，成等差（比）数列，则. ac,334sin24cos2xx，42sin(2)x， E C 422130?AC,sinB, ?，?函数

17、0T,0fxxx()5cos(2)cos2,，,的最小正周期 任意三角形的三内角之和为180A，B，C,180，即；特别地，任意6300,直角三角形的两锐角之和为C90A，B,90，若角为直角，则. 当22xk，,，,，kZ,，即（）时， fx()42,xk221max842角A、B、C成等差数列2703,【方法探究】 sinA, 故 BACAC,，,60,120120120,sinA3014函数式sincos,，sincos,sincos,，三者关系密切，常可以“知一6求二”，是高考命题的常考点.类似的数学结构还有cos(),sin(),，与abc222222.正弦定理 （2）：? ?11,

18、2R bcabc，,，bcabcA，,2cos，与余弦定理对比 ,122,22sinsinsinABCtancot,xx，xx，xx，组，、与组等. ,1222222?, 又?A是三角形的内角 ? .余弦定理 AcosA,abcbcA,，,2cosbcaacB,，,2cos， 23222,cabbcC,，,2cos 2?1 【调研5】已知向量k，、为正实数，a,(1,2)xatb,，(1)b,(2,1)t第 2 页 共 16 页 2009 ,112211?PMPMN是图象上的最高点，、是图象与轴的交点，求向量与PNxyab,，. M(,)时，MA?MB. kt的夹角. 55,3若k，求的最大值

19、； xy,3.：（1）?cosB,BABC，角是的内角 ?44,设5.已知向量?存在M（2，1）或4, ,令(1,sin),xfx()ab(sincos,23cos),xxx,是否存在kk、使？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明xy/t,2 ab,理由. 37,sin1B, ,(1)求函数的最小正周期，单调增区间； fx()：求解本例的关键是具体化第（1）小问的条件与第（2）小问的条件xy,44,(2)若函数,yfx,，(),的图象关于原点对称,求满足该条件的的最小正值. 22?b，而要完成以上具体化过程，必须先利用条件具体化和. 、成等比数列 ? 由正弦定理得 bac,sinsinsi

20、nBAC,xxy/yac ,11coscosAC：?， a,(1,2)b,(2,1),?，cotcotAC， 1,5.设向量tantanACsinsinACax,，,，且 bx,2cos,cos2,ab,2222，,? (1,2)(1)(2,1)，,t(21,3),，ttxatb，(1)244,sinAC，cossincossinACCA，14,（1）求关于111221117的方程； x2(,),，yab,，,，,(1,2)(2,1) sinB7sinsinACsinB（2）若sin,，sin,（，,均为锐角）是（1）方程的两个根，求证：，ktktkt,cos,kt4,故12217cos,也是

21、这个方程的两个根； cotcotAC， 22若(21)()(3)()0,，,，,tt，则，即，即xy,0xy,7（3）当上述方程有二个相等实根时，求,，,，的值. ,ktkt,333,22（2）?tBABC,acB,coscosB, ? ? ?bca已知向量，若函数fx()在区间（1，1）ab,axx,，(,1)bxt,(1,)k, 2242t，1上是增函数，求的取值范围. t2 t111【参考答案】 222222?,t,k,t,1（当且仅当，即时取等号） 由余弦定理2cosacB,2cosacB,得5 bacacb212tt，13222t，1：?,sin为第二象限角 ,?ac，54，9 ac

22、ac，2，t511514sin,324.：（1）由函数图像可知振幅?当T,2()2A,2，周期 k,t,1k时，的最大值为. ?,tan,， ?cos,1sin,max6625cos4,22,假设存在正实数2tan24,k、，使，则 xy/t?w,2sin1, ?函数图象过点（0，1） ?，即,tan2, 2T22,1tan7,2112t，1123(21)()(3)()0,，,，,tt，,0，化简得 ?1512122sin, ktktkt?costan1cos,sin,为第一象限角， ?， 2313135 ttk，,0,32412?0, ? 故函数yfx,()的解析式为?kk、为正实数 故满足

23、上式ttk，,0的、不存在. tt,26tan2tan,20475?tan(2), ?不存在这样的正实数k、，使 xy/t,24122531tan2tan，,yx,，2sin() ,1()，,，【技巧点拨】具体化策略是最常用的解题策略之一，求解数学解答题往往是一系6,75列具体化的过程，如本例根据题设条件，先后具体化、与，xyxy/xy,115342（?）由函数M(,0),P(,2)N(,0)：?yx,，2sin(),及其图象，得， ,sin为第二象限角 ? cos,1sin,分别转化为常规的最值问题和解方程问题. 636655除此以外，常用的数学解题策略还有简单化策略、熟悉化策略、目标化策略

24、、,112472?正难则反策略等，在复习备考过程中，注意有意识地整理并加以理解与运用！ PN,(,2)PM,(,2,)， ?,sin22sincoscos212sin， 222525 ,51215PMPN,23?cos1cos,sin,已知为第一象限角， ? , cos,PMPN,sin,b为第二象限的角，为第一象限的角，,1313175PMPN,2045?,sin(2)sin2coscos2sin ,tan(2),，求的值 cosb,15故向量32513PM,PMPN,arccos与的夹角. PN17?253设OA=（2，5），OB=（3，1），OC=（6，3），在OC上是否存在点M，使MA

25、?MB，,，,cos(2)cos2cossin2sin 若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 325,44： ?(1,sin),x, ab(sincos,23cos),xxx,3.?sin(2)204,ABABCCbb中，内角、的对边分别是、，已知、成等acac,?tan(2), 44?fx()(1,sin),x? ab,(sincos,23cos),xxx,3cos(2)253,比数列，且cosB, ,4442.：设存在点M，且 sincos23cossin,xxxx,，01,(6,3),（） OMOC,（1）求cotcotAC，的值； （2）2222 (sincos)(sinco

26、s),xxxx,，3sin2,x?， MA,(26,53),MB,(36,13),3设?BABC,11，求的值. ac，2?MA?MB ?(26)(36)(53)(13)0,，, 2sin(2)x, ,，cos23sin2,xx 2 66,函数111yAwx,，sin(),（其中2?,4548110,，, 解之得或，即或OM,(2,1),?3152sin(2)x,fx()的最小正周期T1. ,5xR,0,，）的图象如图所示. 6, 221126OM,(,) 求yfx,()的解析式； 55第 3 页 共 16 页 2009 ,11 O、分别是、的直径.与两圆所在的平 OAFDEAD,1222kx

27、k,，kZ,kZ,令,（），则kxk,，（） coscossin,，,x 1,面均垂直，26263AD,8BC OABAC,6OEAD/,是的直径， ，. 44,【】如图所示，,11(?)求二面角BADF,?的大小； ，也是这个方程的两个根. cos,cos,故函数2sin(2)x,kZ,的单调增区间为,kk,，（）. fx()ab, (?)求直线与所成的角. BDEF6631223?方程,，,xx2coscos0有二相等实根 本例以平面图形构建空间几何图形，比较新颖，不落俗套. 解法一：?的图象关于原点对称，则 yfx,，(),fxfx()(),，,，,2 抓住BCABAC,6OE可得出直径

28、与垂直，易推证它们同时与垂AF,122又?2sin2()x，, ?fx()，,fx(),，,直，所以本例可以建立空间直角坐标系，运用空间向量求解. ?判别式?,(2cos)4(cos)0 62? 在 OABAC,6AFBC,中， ? ,又?2OEAD/与两圆所在的平面均垂直， 2sin2(),，,x, AD?,0, ?, ?， sin0,6 ?4OE44与两圆所在的平面均垂直 ,?2OEAF,OEBC,且 ?z 解法一：?2sin2(),，,x,，,2sin2()x,，整理得， axx,，(,1)bxt,(1,)66以,OBCOE为原点，、所在AF O3212?,fx() ?fx(),，xxt

29、xtab,xxtx(1)(1),，直线为坐标轴，建立如图的空间直角坐,sin(2)cos20,x, 2标系，则 ,，32xxtE 6D ,?O(0,0,0)，A(0,32,0),fx()在（1，1）上是增函数 ab,?sin(2)cos20,x对一切实数都成立 ,226?, x,(1,1)恒大于0，即恒大于0 txx,32fxxxt()32,， B(32,0,0)y ,k12令? x,(1,1)，则 gxxx()32,，E(0,0,8)，sin(2)0,2,kkZ,，kZ,，即（） 解之得（） D(0,32,8),C 66212x 12 F(0,32,0)?函数x,(1,1) 的开口向上，且对

30、称轴为 gxxx()32,1x,A 故O ,的最小正值为. F 31，ADOE,(0,0,8)12B ? gxg()(1)5,max解法二：?xR,yfx,，(),yfx,，(),的图象关于原点对称, ?是奇函 AB,(32,32,0)?当,t,5fx()x,(1,1)yfx,()x,(1,1)时，在时恒成立，即在上是增函,数. 不妨设面BAD的法向量为，则 nxyz,(,)数. 1,则故sin(2)0,2,kkZ,f(0)0，,，即 ? （） t,5的取值范围为. t,ABnxy,，,32320,661,2 解法二：?,， axx,，(,1)bxt,(1,),k11,ADnz,80?,，kZ

31、,（） 故的最小正值为.3221,?,fx()fx() ?,，xxtxtab,xxtx(1)(1),，12212,令2ADFyozx,1得，显然面也为平面，其法向量为n,(1,1,0) 1 ,，32xxt,5.第（1）小问比较简单，具体化条件若,yfx,()(1,1),(1,1),fx()0,在上是增函数，则在上恒有. 即可求出ab, n,(1,0,0)22,1?函数,22fx(),，32xxt的图象是开口向下的抛物线 ,，,xx2coscos0；第（2）小问在第（1）问基础上，该方程是一nn,1212? ,BADF,2cos,nn即二面角的大小12,ft(1)10,2|nn,21，?12t,

32、5 解之得 元二次方程，最多只有两根，现欲证cos,，也是该方程的两根，只需证,cos,ft(1)50,明这两对根是同一关系；第（3）小问该方程有等根的充要条件是?0.具体求,为. ?当,t,5(1,1),yfx,()x,(1,1)时，fx()在时恒成立，即在上是增函数. 解过程如下： 4,故t,5的取值范围为. t,1,2 BD,(0,32,8)(32,0,0)(32,32,8)1?ax,，bx,2cos,cos2,，且 ab,，,2, EF,(0,32,0)(0,0,8)(0,32,8)立体几何型解答题是每年必考的题型之一，属于中等难度.这类题,11222?,目主要包括空间线面的判断与证明

33、、空间角的求法与空间距离的求法,，,，,xx2coscos0xx2coscos0，即 BDEF,0186482，? , cos,BDEF22三大热点，最近几年高考出现立体几何综合化的新趋势，常与函数、10|BDEF10082，导数、数列等知识结合. 122222?,，,xx2coscos0x,cossin, ? ,从解题思维来看，主要有两大体系： 又?异面直线,(0,与所成角为 BDEF222 立体几何中的定义、公理、定理、推论等构2,2222,建立体几何的公理化体系网络，通过“作”、“证”、“求”三环节，进行线面关系,?，,cossinsincossin,，,x x82,12E ? 的论证与

34、空间数量关系的计算；求解过程中注重论证推理与计算相结合，同时注cos|cos,|,BDEFD ，即异面直线与所成角为BDEF42222,10意整体思想、割补思想、等积变换等技巧,O ,sin 的运用. 182,arccos. 4,建立空10间直角坐标系，引入空间向量，通过将空,C 本例易忽略异面直线与所成角的范围，而误答为BDEF设sin,sin,，sin,sin,， ,间元素位置关系转化为数量关系，将形式44,8282逻辑证明转化为数值运算，使几何问题代A O ,arccos,arccos或. F ,数化，降低思维的难度，以算代证，思路?10100,，,0,，,， ?， B 424244清晰

35、，方法简捷规范，易于把握.其中建立本例的第（1）问也可采用以下方法求解： 合理的坐标系是难点，求准点或向量的坐?AD与两圆所在的平面均垂直 ,?,，,coscossinx，2,标是关键，结合定义求空间角是易错点. ?AD?AB, AD?AF,故?BAF是二面角BADF的平面角. 44,第 4 页 共 16 页 2009 0依题意可知ABCD是正方形 ? ?BAD45，即二面角BADF的大小为,0E与平面ABP所成角的大小为. 1145. 3, 相比之下，这种方法比向量法更简洁.因而我们在解题的过程中，应不拘泥向3由（2）问可知平面ABP的法向量，AF,(0,3,1)n,(3,3,6)1生得分为

36、“0”分！主要存在以下几个问题： 量法或公理化法，常常两种方法“联合作战”，提高解题的效率. 11,故直线A【】在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足?相当部分的学生对平面几何的常用结论不熟悉，不会求正六边形的面积； FP,(1,0,0),AE,?部分同学不熟悉对柱体、锥体体积公式，这些公式在高中数学立体几何板块 ,AFnyz,3012,EB设平面AEP的法向量，则 nxyz,(,),2中未作专门推导，在初中数学与高考数学衔接处有存在空白，有待于进一步加强； CFCP1BPnx,0,1,（如图1）.将?AEF沿EF折起到,AEF的位置，使二面角A11,?设未知数时方

37、向不对，以底面边长为未知数，函数式带有根号，学生不能够FAPB2,nn,21712令,EFB成直二面角，连结AB、AP（如图2） 得 故 y,3n,(0,3,3)cos,nn11212灵活处理，用换元法或者把根号外的表达式移到根号内，从而在求最值的时候出8|nn,4323，（1）求证：AE?平面BEP； （2）求直线AE与平面ABP所成角的大小； 12111现了问题； （3）求二面角BAPF的大小（用反三角函数表示） 71A显然二面角BAarccos,1PF为钝角 故二面角BAPF为. ,A,l,:,l，,B,点在直线上的射影A11 A8?对应用题解题的规范认识不够，最后没有作答，扣一分. 为

38、AB,2l, 点在的射影为,已知, ABAA,1BBB,2本例属于翻折问题，这是高考的热点题型. 求解翻折问题的策略是1111 1.如图,，一般地有： 求: (?) 直线EAB分别与平面,所成角的大小； , （1）分析翻折前后点的变化，注意点与点的重合问题以及点的位置的改变； (?) 二面角的大小. AABB,11（2）分析翻折前后长度与角度的变化，注意利用平面图形解决空间的线段长 F 如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，度以及空间角的大小； F为CE上的点，且BF?平面ACE. （3）若翻折后，线与线仍同在一个平面内，则它们的位置关系不发生任何变 （1）求

39、证AE?平面BCE； （2）求二面角BACE的大小； 化；若翻折后，线与线由同一平面转为不同平面，则应特别注意点的位置变化. （3）求点D到平面ACE的距离. BC本例属于翻折问题，在翻折前的图中易证E?AB，而翻折后保持这P 请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1米的正六棱柱，上部的形 如图，已知两个正四棱锥一垂直关系，并且易证状是侧棱长为3米的正六棱锥（如右图所示）.AB,4PABCD,与QABCD,的高都是2， . 图2 图1 ，从而有“三条直线两两垂直”，所以本例可AEBE,1 试问当帐篷的顶点 （1）证明BPPQ,平面ABCDAQ； （2） 求异面直线与所成的角； 以建立坐标系，利用

40、空间向量求解.O到底面中心的距离为O1（3）求点PQAD到平面的距离. 不妨设正三角形ABC的边长为3，则 多少时，帐篷的体积最大？ （1）在图1中，取BEDDF：本例主要考查利用导数研究函数的最大中点，连结，则 P 值和最小值以及正六棱柱、正六棱锥等基础知AECFCP1 0?AFAD,2ADF , ?而，即?是正三，,A60A 识，从而考查运用数学知识解决实际问题的能EBFAPB2 力.求解本题有两个关键点： 角形 D C B 1? 利用正六边形、正六棱柱的性质，寻找边长与高的关系以及建立体积的函l 又?AEED,1EFAD, ? A 1 A 数关系式； B ?在图2中有BEEF, AEEF

41、, ? 用导数求函数最值. 1 B A ：设?为二面角的平面，AEBAEFB,111为米,则由题设可得正六棱锥底面边长为OOx1 Q 角 222AB,6BC,5长方体中，,，一只蚂蚁从出CC,4AABCDABCD,3(1)82，,，,xxx米，于是底面正六边形的面积为111111第3题 ?二面角 为直二面角 AEFB,第2题 1发，沿长方体表面到达C处，求蚂蚁爬过的最短距离. 32222? AEBE, 13(1)6(82)，,，,xxx 【参考答案】 4 1. 又?BEEFE:, ?平面AE1 3313，23建立如图的坐标系，则 ? 帐篷的体积：， ， ， A(0,0,0)A(0,0,1)B(

42、0,1,0)B(2,1,0)BEFBEP Vxxxxxx()(82)(1)1(1612),，,，,，,即?平面. AE 111,232， （2）由（1）问可知AE?平面BEP，BE（1） 1,，不难看出平面,的法向量分别为AB,(2,1,1), ,3?EF 2此时,x,2x,2Vxx()(123),Vx()0,，不妨令 ?或(不合题n,(1,0,0)n,(0,0,1), 11建立如图的坐标系，则（0，0，0），A（0，0，1） 21? 意，舍去) AB与平面所成角： ,（2，0，0），F（0，0，1）. 3,? 当z ,12,x24,xVx()0,Vx()0,时有，当时有 在图中，不难得到F/

43、P且FP；/ FP且FP ,nAB221,cos|, 1故点的坐标（1，3，0） 33 122，|nAB,即Vxxx()(1612),，,(1,2)(2,4)在上是增函数，在上是减函数. ,1A 2?， BP,(1,3,0)AB,(2,0,1)EA,(0,0,1)11AB,与平面所成角,： 2,3,3 By A1 1? 当,x,2Vxxx()(1612),，,ABnxz,20时, 最大. ,l 11,nAB,112不妨设平面A2BP的法向量，则 nxyz,(,),1,cos|, 12BPnxy,30答：当122，|nAB,OO为2米时，帐篷的体积最大. ,1x 2,1B ,【误点警示】本题是0

44、6年江苏卷的第20题，立意新，背景熟悉，是高考命题者,令得 ?y,3n,(3,3,6)?1AB0,与平面所成角的范围为 ,2最看好的题目之一；但从江苏高考阅卷场反馈信息来看，本题竟成为意想不到的,nEA,6311,cos,nEA 11难题，10分以上的同学仅仅只有25?，更让命题者吃惊的是本题有近57?的考?直线AB,与平面,所成角的大小分别为，. ,2|nEA,143，1143第 5 页 共 16 页 2009 ,（2） BB,(2,1,0)(0,1,0)(2,0,0)1，BGF是二面角BACE的平面角 ,， ， O(0,0,0)Q(0,0,2), AB,(0,1,0)(0,0,1)(0,1,1)由（1）AE?平面BCE 又？AE,EB 1,面ABCD 由三垂线定理的逆定理得FG?AC 设平面?在等腰直角三角形AEB中，BE=， P(0,0,2)的法向量为，则 . A(22,0,0)B(0,22,0)2ABBnxyz,(,)11?建立如图的坐标系，则,22,又,BCE直角中， ？ECBCBE,，,6,nBBx,