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1、2013高考数学考前知识要点复习 六 不等式?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 高中数学第六章-不等式 考试内容: 不等式(不等式的基本性质(不等式的证明(不等式的解法(含绝对值的不等式( 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明( (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用( (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式( (4)掌握简单不等式的解法( (5)理解不等式?a?-?b?a+b?a?+?b? ?06. 不 等 式 知识要点 不 等 式知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a,b,0,a,b;a,b,0,
2、a,b;a,b,0,a,b.(2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)(对称性) a,b,b,a(2)(传递性) a,b,b,c,a,c(加法单调性) (3)a,b,a，c,b，c(4)(同向不等式相加) a,b,c,d,a，c,b，d(5)(异向不等式相减) a,b,c,d,a,c,b,d(6) a.,b,c,0,ac,bc(7)(乘法单调性) a,b,c,0,ac,bc(8)(同向不等式相乘) a,b,0,c,d,0,ac,bdab(异向不等式相除) (9)0,0abcd
3、,cd11(倒数关系) (10),0abab,abnn(11)(平方法则) a,b,0,a,b(n,Z,且n,1)nn(12)(开方法则) a,b,0,a,b(n,Z,且n,1)3.几个重要不等式 2(1) 若a,R,则|a|,0,a,0，2222(2)(当仅当a=b时取等号) 若a、b,R,则a，b,2ab(或a，b,2|ab|,2ab)ab，(3)如果a,b都是正数，那么 (当仅当a=b时取等号) ab,.2，极值定理:若则: xyRxySxyP,，,1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小; ?2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ?利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二
4、定、三相等. ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? abc，3(当仅当a=b=c时取等号) abcRabc,(4)若、则,3ba(当仅当a=b时取等号) (5)若则ab,，,0,2ab2222 (6)0|;|axaxaxaxaxaxaaxa,时，或(7) 若a、b,R,则|a|,|b|,|a,b|,|a|，|b|4.几个著名不等式 22 (1)平均不等式: 如果a,b都是正数，那么 (当仅当a=b时取2abab，,ab.1122，ab等号)即:平方平均?算术平均?几何平均?调和平均(a、b为正数):
5、 2222abab，abab，22特别地，(当a = b时，) ab,()(),ab22222222a，b，ca，b，c, ,(a,b,c,R,a,b,c时取等),33,12222幂平均不等式: ,a，a，.，a,(a，a，.，a)nn1212n22222注:例如:. ()()()acbdabcd，,，1111111常用不等式的放缩法:? ,(2)n2nnnnnnnnn，,1(1)(1)1111? nnnnn，,11(1),nnnnn，,121若,;则aaa？a,Rbbb？b,R(2)柯西不等式: 123n123n222222222)()()(ab，ab，ab，？，ab,a，a，a，？，ab，
6、b，b，？b112233nn123n123naaaa3n12当且仅当时取等号,？,bbbb123n(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有 xxxx,(),1212xxfxfxxxfxfx，()()()()12121212 ff()().,或2222则称f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化，求根，标轴，穿线(偶重根打结)，定解. 特例? 一元一次不等式axb解的讨论; 2?一元二次不等式ax+bx
7、+c0(a?0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化，则 ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? fxgx()()0,fxfx()() ,0()()0;0fxgx,gx()0,gxgx()(),(3)无理不等式:转化为有理不等式求解 ,fx()0,定义域, 1 ?fxgx()(),gx()0,fxgx()(),f(x),0,(),0fx,f(x),0 2 3 ,f(x),g(x),g(x),0?,(),(),(),0fxgxgx或,gx(),022,f(x),g(x),f(x),g(x
8、),(4).指数不等式:转化为代数不等式 fxgxfxgx()()()()aaafxgxaaafxgx,(1)()();(01)()() fx()ababfxab,(0,0)()lglg(5)对数不等式:转化为代数不等式 fxfx()0()0, log()log()(1)()0;log()log()(01)()0fxgxagxfxgxagx,aaaa,fxgxfxgx()()()(),(6)含绝对值不等式 12?应用分类讨论思想去绝对值; ?应用数形思想; 3?应用化归思想等价转化 g(x),0,|f(x)|,g(x),g(x),f(x),g(x), g(x),0,|f(x)|,g(x),g(x),0(f(x),g(x)不同时为0)或,f(x),g(x)或f(x),g(x),注:常用不等式的解法举例(x为正数): 112423? xxxxx(1)2(1)(1)(),223272222(1)(1)12423xxx,223? yxxyy,(1)()22327922111类似于，? yxxxx,sincossin(1sin)|()2xxx，,，,与同号，故取等xxx? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ?