最新高考理科数学讲析练精品学案第1章+集合与函数概念第2讲+函数与映射的概念优秀名师资料.doc

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1、2012高考理科数学讲析练精品学案第1章 集合与函数概念第2讲 函数与映射的概念254201790.doc 2012高考理科数学讲析练精品学案 第1章 集合与函数概念 第2讲 函数与映射的概念 ?知识梳理 1(函数的概念 (1)函数的定义: 设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，AxA、Bf在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常BAB记为 y,f(x),x,A(2)函数的定义域、值域 在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域;Axxy,f(x),x,Ay,f(x),与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合f(x)x,A称为函数的值

2、域。 xy,f(x)y(2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则 2(映射的概念 设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合ABA、Bf中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为ABf:A,B?重、难点突破 重点:掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点:求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点:1(关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1:已知函数的定义域为，求的定义域 y,f(x)a，by,f(x，2)误解因为函数的定义域为，所以，从而 y,f(x)a，ba,x,ba

3、，2,x，2,b，2故的定义域是 y,f(x，2)a，2,b，2正解因为的定义域为，所以在函数中， y,f(x)a，by,f(x，2)a,x，2,b从而，故的定义域是 a,2,x,b,2y,f(x，2)a,2,b,2- 1 - 254201790.doc 即本题的实质是求中的范围 xa,x，2,b问题2:已知的定义域是，求函数的定义域 y,f(x，2)a，by,f(x)误解因为函数的定义域是，所以得到，从而 y,f(x，2)a，ba,x，2,b，所以函数的定义域是 a,2,x,b,2y,f(x)a,2,b,2正解因为函数的定义域是，则，从而 y,f(x，2)a，ba,x,ba，2,x，2,b，

4、2所以函数的定义域是 y,f(x)a，2,b，2即本题的实质是由求的范围 a,x,bx，2即与中含义不同 xf(x)f(x，2)1( 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数222，可变为解决 y,sinx,2cosx，4y,sinx,2cosx，4,(cosx,1)，2(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数22y,log(,x，2x，3)就是利用函数和的值域来求。 u,x，2x，3y,logu11222x，1(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y,的值域 2x,2x，22x，11

5、2由y,得，若，则得，所以x,yx,2(y，1)x，2y,1,0y,0y,022x,2x，22是函数值域中的一个值;若，则由得,2(y，1),4y(2y,1),0y,03,133，133,133，13，故所求值域是 ,y,且y,0,22222cosx,3(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y,的值域，因为 cosx，12cosx,3555y,2,，而，所以，故 cosx，1,(0,2,(,cosx，1cosx，1cosx，121 y,(,23x(5)利用基本不等式求值域:如求函数的值域 y,2x，4344y,x，,2x,4当时，;当时，若，则 x,0y,0x,0x,04xx

6、x，x44433x，,(,x，),2(,x),(),4若，则，从而得所求值域是 x,0,x,x,x44- 2 - 254201790.doc 42(6)利用函数的单调性求求值域:如求函数的值域 y,2x,x，2(x,1,2)13242因，故函数在上递减、y,8x,2x,2x(4x,1)y,2x,x，2(x,1,2)(,1,)215111在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为 (,0)(0,)(,2),302228(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些分段函数的值域常用此法)。 ?热点考点题型探析 考点一:判断两函数是否为同一个函数 【例1】

7、试判断以下各组函数是否表示同一函数, 233(1)，; f(x),xg(x),xx1x,0,(2)f(x),，g(x), ,1x,0;x,21nn，122n,1*2n,1(3)，(n?N); f(x),xg(x),(x)2(4)，; x，1g(x),x，xf(x),x22(5)， f(x),x,2x,1g(t),t,2t,1解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 233解析 (1)由于f(x),x,x，故它们的值域及对应法则都不相同，g(x),x,x所以它们不是同一函数. x1x,0,f(x),g(x),(2)由于函数的定义域为，而的定(,0):(0,，,),1x,0

8、;x,义域为R，所以它们不是同一函数. 21nn，122n,1*2n,1(3)由于当n?N时，2n?1为奇数，?，f(x),x,xg(x),(x),x它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. 2,xx,0(4)由于函数的定义域为，而的定义域x，1g(x),x，xf(x),x,xx,0或x,1为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 答案(1)、(2)、(4)不是;(3)、(5)是同一函数 【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域(由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应

9、关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第(5)小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义2域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，f(x),x，1- 3 - 254201790.doc 22，都可视为同一函数. f(t),t，1f(u，1),(u，1)，1新题导练 1(下列函数中与函数相同的是( ) y,x2x3322 A .y = (); B. y = ; C. y =; D. y= xtxx33解析 B;因为y = ，所以应选择B t,tlg(2x,1)2(与函数的图象相同的函数是 ( ) y,0.111111 A.;B.;C.

10、; D. y,y,2x,1(x,)y,(x,)y,|2x,12x,1222x,11lg1lg(2x,1)lg(2x,1)2x,1解析 C;根据对数恒等式得y,0.1,10,，且函数的定y,0.12x,11义域为，故应选择C (,，,)2考点二:求函数的定义域、值域 题型1:求有解析式的函数的定义域 122例2.函数的定义域为( ) f(x),ln(x,3x，2，,x,3x，4)xA.;B.;C. ;D. (,4):2,，,)(,4,0):(0,1),4,0):(0,1,4,0):(0,1)解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 解析欲使函数有意义，必须并且

11、只需 f(x)2,x,3x，2,0,2,x,3x，4,0,故应选择 D,x,4,0):(0,1),22x,3x，2，,x,3x，4,0,x,0,【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，x实际操作时要注意:?分母不能为0;? 对数的真数必须为正;?偶次根式中被开方数应为非负数;?零指数幂中，底数不等于0;? 负分数指数幂中，底数应大于0;?若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集;?如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 题型2:求抽象函数的定义域 2，xx2

12、,fx,lg例3设，则的定义域为( ) ，f，f,2,x2x,，,4,0:0,4,4,1:1,4,2,1:1,2,4,2:2,4A. ;B. ;C. ;D. - 4 - 254201790.doc x2,解题思路要求复合函数的定义域，应先求的定义域。 f(x)f，f,2x,x,22,2，x,2解析由得，的定义域为，故 fx(),22x,0,22,x,22.,x,x2,f，f解得。故的定义域为，.选B. x,4,11,4,4,1:1,4，,2x,【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义fx(),abfgx()域是满足不等式的x的取值范围;一般地，若函数的定义域是，agxb,

13、()fgx(),ab指的是，要求的定义域就是时的值域。 xab,fx()xab,gx()题型3;求函数的值域 2例4已知函数，若恒成立，求f(a),2,aa，3的y,x,4ax，2a，6(a,R)y,0值域 解题思路应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域 af(a)32解析依题意，恒成立，则，解得,1,a,， ,16a,4(2a，6),0y,023172()2(3)()所以，从而，f(a),f(,1),4fa,aa，,a，max2431919()()，所以的值域是 f(a)fa,f,4min244【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。

14、 新题导练 x,213.函数的定义域为 ( fx(),log(1)x,2,x,2,1,0解析 ;由解得 3,)，,x,3,x,1,0,x,1,1,4(定义在R上的函数的值域为，则函数的值域为( ) yfx,(),abyfx,(1)A(;B(;C(;D(无法确定 1,1ab,ab1,1ab，解析 B;函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到，yfx,(1)yfx,()所以，它们的值域是一样的 fx(2)5(若函数的定义域是，则函数的定义域是 yfx,()1,3gx(),x,113解析 ;因为的定义域为，所以对，但故1,2x,3x,1fx()1,3gx(),1):(1,22- 5 - 2

15、54201790.doc 13 x,1):(1,22126(若函数的值域是，则函数的值域 Fxfx,，yfx,(),3，fx()3是 1210解析 ;可以视为以为变量的函数，令，则 F(x)f(x)t,f(x)2,F,t，(,t,3)3t321t,1(t，1)(t,1)12,，所以，在上是减函数，在上是增F,t，1,3,1F,1,222t3ttt10函数，故的最大值是，最小值是2 F(x)3考点三:映射的概念 】2011?福建卷 设V是全体平面向量构成的集合，若映射f:V?R满足: 【例5对任意向量a,(x，y)?V，b,(x，y)?V，以及任意?R，均有f(a，(1,)b),f(a)1122

16、，(1,)f(b)( 则称映射f具有性质P. 现给出如下映射: ?f:V?R，f(m),x,y，m,(x，y)?V; 112?f:V?R，f(m),x，y，m,(x，y)?V; 22?f:V?R，f(m),x，y，1，m,(x，y)?V. 33其中，具有性质P的映射的序号为_(写出所有具有性质P的映射的序号) 【答案】 ? 【解析】 设a,(x，y)?V，b,(x，y)?V，则 1122a，(1,)b,(x，y)，(1,)(x，y),(x，(1,)x，y，(1,)y)， 11221212?f(a，(1,)b),x，(1,)x,y，(1,)y 11212,(x,y)，(1,)(x,y),f(a)

17、，(1,)f(b)， 112211?映射f具有性质P; 12?f(a，(1,)b),x，(1,)x，y，(1,)y， 2121222f(a)，(1,)f(b),(x，y) ， (1,)(x ， y)， 221 1 2 2 ?f(a，(1,)b)?f(a)，(1,)f(b)， 222- 6 - 254201790.doc ? 映射f不具有性质P; 2?f(a，(1,)b),x，(1,)x，(y，(1,)y)，1 31212(x，y，1)，(1,)(x，y，1),f(a)，(1,)f(b)， ,112233? 映射f具有性质P. 3故具有性质P的映射的序号为?. 实战演练为确保信息安全，信息需加密

18、传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密,文明文(解密)，已知加密规则为:明文对应密文例,abcd,abbccdd，2,2,23,4.如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文1,2,3,45,7,18,16.14,9,23,28为( ) A(;B(;C(;D( 7,6,1,46,4,1,74,6,1,71,6,4,7解题思路 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。 9，23，28时， 解析 当接收方收到密文14，ab，,214a,6,29bc，,b,4,有，解得，解密得到的明文为C( ,2323cd，,c,1,428d,d,7,【名师指引】理解映射的概念，应

19、注意以下几点: (1)集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统; (2)对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的; (3)集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一(般对应的本质特征; (4)集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个; (5)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象. 新题导练 7(集合A=3，4，B=5，6，7，那么可建立从A到B的映射个数是_，从B到A的映射个数是_. 解析 9 , 8;从A到B可分两步进行:第一步A中的元素3可有3种对应方法(可对应5或6或7)，第二步A中的

20、元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N,133,9.反之从B到A，道理相同，有N,222,8种不同映射. 2428(若f :y=3x+1是从集合A=1，2，3，k到集合B=4，7，a，a+3a的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B. 解析 a=2，k=5，A=1，2，3，5，B=4，7，10，16; ?f(1)=31+1=4，f(2)=32+1=7，f(3)=33+1=10，f(k)=3k+1，由映射的定义知(1)42,a,10,a，3a,10,或(2) ,24,a，3a,3k，1,a,3k，1.,- 7 - 254201790.doc ?a?N，?方程组(1)无解. 解方

21、程组(2)，得a=2或a=,5(舍)，3k+1=16，3k=15，k=5. ?A=1，2，3，5，B=4，7，10，16. 备选例题:已知集合是满足下列性质的函数的全体:存在非零常数，对任意MTf(x)，有成立。 x,Rf(x，T),Tf(x)(1)函数是否属于集合,说明理由; Mf(x),xx(2)设函数的图象与的图象有公共点，证明:f(x),a(a,0,a,1)y,xx f(x),a,M解析(1)对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x?R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)= x,M.x(2)因为函数f(x)=a(a0且a?1)的图象与函数y=x的图象

22、有公共点， x,y,ax有解，消去y得a=x, 所以方程组:,y,x,xT显然x=0不是方程a=x的解，所以存在非零常数T，使a=T. x，TTxxxx于是对于f(x)=a有 故f(x)=a?M. f(x，T),a,a,a,T,a,Tf(x)?抢分频道 基础巩固训练: 1f(x),1( 已知函数的定义域为，的定义域为，则 MNM:N,g(x),ln(1，x)1,x解析 ;因为,故 M:N,R(,，,)MN,，,(1,),(,1)2(函数的定义域是 y,log(3x,2)1322(,1解析 ;由得到 0,3x,2,1,x,133x2,13(函数,的值域是 yx2，1xy，12,1y，1xx2,解

23、析;由知，从而得，而，所以,0，即y(,1,1)y,12,0x1,y1,y2，1,1,y,14(从集合A到B的映射中,下列说法正确的是( ) abA(B中某一元素的原象可能不只一个;B(A中某一元素的象可能不只一个 C(A中两个不同元素的象必不相同; D(B中两个不同元素的原象可能相同 解析A;根据映射的定义知可排除B、C、D - 8 - 254201790.doc 5(下列对应法则中，构成从集合A到集合的映射是( ) Bf2 A( A,x|x,0,B,R,f:x,|y|,x2 B( A,2,0,2,B,4,f:x,y,x1 C( A,R,B,y|y,0,f:x,y,2xxA,0,2,B,0,

24、1,f:x,y, D( 2解析D;根据映射的定义知，构成从集合A到集合的映射是D B2526(若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是( ) yxx,34m0,m4,，4333;B(; C(;D( A(，,0,4，43，)，,222325322解析B;因为函数即为()，其图象的对称轴为直线， yxx,34y,x,x,24225其最小值为,，并且当及时，若定义域为，值域为x,0x,3y,40,m4325，则 ,m,34,，24综合提高训练: 2，xx18(设函数f(x),ln，则函数的定义域是 g(x),f()，f()2,x2xx,2,2,112，x,2解析 ;由得，的定义域为。故 fx(),2

25、,x,2(,4,):(,4),0,12,x22,2,2,x,11,4,x,解得或。 ,x,42212()9(设函数的定义域是(是正整数)，那么的值域中共有 nn,n，1f(x)fx,x，x，2个整数 11122()()解析;因为，可见，在(是正n2n，2f(x)n,n，1fx,x，x，,x，2241122整数)上是增函数，又 f(n，1),f(n),(n，1)，(n，1)，,(n，n，),2n，222所以，在的值域中共有个整数。 2n，2f(x)- 9 - 254201790.doc 2012高考理科数学讲析练精品学案 第1章 集合与函数概念 第3讲 函数的表示方法 ?知识梳理 一、函数的三种

26、表示法:图象法、列表法、解析法 用函数图象表示两个变量之间的关系; 1(图象法:就是2(列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; 3(解析法:就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 ?重、难点突破 重点:掌握函数的三种表示法-图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点:分段函数的概念，求函数的解析式 重难点:掌握求函数的解析式的一般常用方法: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法; (2)若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法; fg(x)2问题1(已知二次函数满足，

27、求 f(2x，1),4x,6x，5f(x)f(x)方法一:换元法 t,1t,1t,122令，则，从而 x,2x，1,t(t,R)f(t),4(),6,，5,t,5t，9(t,R)2222所以 f(x),x,5x，9(x,R)方法二:配凑法 222因为 f(2x，1),4x,6x，5,(2x，1),10x，4,(2x，1),5(2x，1)，92所以 f(x),x,5x，9(x,R)方法三:待定系数法 22因为是二次函数，故可设，从而由可f(x),ax，bx，cf(2x，1),4x,6x，5f(x)2求出，所以 a,1、b,5、c,9f(x),x,5x，9(x,R)(3)若已知抽象函数的表达式，则

28、常用解方程组消参的方法求出 f(x)1问题2:已知函数满足，求 f(x)f(x)f(x)，2f(),3xx- 10 - 254201790.doc 1因为? f(x)，2f(),3x？x111以代得? xf()，2f(x),3,？xxx21由?联立消去得 f()f(x),x(x,0)xx?热点考点题型探析 考点1:用图像法表示函数 例1一水池有个进水口, 个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天点210到点,该水池的蓄水量如图丙所示(给出以下个论断: 36进水量 出水量 蓄水量 651200036411时间时间时间 甲 乙 丙 (1)点到点只进水不出水;(2)点到点不进水只出水;(

29、3)点到点不进水不出443306水( 则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . (解题思路根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。 解析由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知?正确;而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故?错误;由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故?不一定正确。从而一定不正确的论断是(2) (【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，

30、善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。 新题导练 1(一给定函数的图象在下列图中，并且对任意a,(0,1)，由关系式y,f(x)1*得到的数列满足，则该函数的图象是( ) a,f(a),0aa,a,0(n,N)n，1nnn，n1- 11 - 254201790.doc A B C D ax,n解析 A.;令，则等价于，是由点组 a,f(a)(,)aayfx,()yfx,(),n，1nnn，1ay,n，1,成，而又知道，所以每各点都在y=x的上方。 aa,nn，1|lnx|2(函数的图象大致是( ) y,e,|x,1|31解析 D;当时，可以排除A和C;又当时，可

31、以x,1y,x,(x,1),1x,y,22排除B 考点2:用列表法表示函数 例2已知函数，分别由下表给出 fx()gx()xx1 2 3 1 2 3 fx()gx()1 3 1 3 2 1 则的值为 ;满足的的值是 xfg(1)fgxgfx()(),解题思路这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。 解析由表中对应值知=; fg(1)f(3)1,当时，不满足条件 x,1fggfg(1)1,(1)(1)3,当时，满足条件， x,2fgfgfg(2)(2)3,(2)(3)1,当时，不满足条件， x,3fgfgfg(3)(1)1,(3)(1)3,?满足的的值是 xx,2fgxgfx()

32、(),【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。 - 12 - 254201790.doc 新题导练 3(设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下): 映射f的对应法则是表1 1 2 3 4 原象 3 4 2 1 象 映射g的对应法则是表2 1 2 3 4 原象 4 3 1 2 象 则与相同的是( ) fg(1)A(;B(;C(;D( gf(1)gf(2)gf(3)gf(4)解析 A;根据表中的对应关系得， fg(1),f(4),1gf(1),g(3),124(二次函数(?R)的部分对应值如下表: y,ax，bx，cxx

33、,3 ,2 ,1 0 1 2 3 4 y6 0 ,4 ,6 ,6 ,4 0 6 2则不等式的解集是 ax，bx，c,02解析 ;由表中的二次函数对应值可得，二次方程的两根为,2和(,2,3)ax，bx，c,03，又根据且可知，所以不等式 f(0),f(,2)f(0),f(3)a,02的解集是 (,2,3)ax，bx，c,0考点3:用解析法表示函数 题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式 21，x1,x例3已知=，则的解析式可取为 f(x)f()21，x1,x解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 t,12t2x1，xx,f(t),f(x),解析 令，则，? .?.

34、 ,t22t，1t，1x，11,x2x故应填 21，x【名师指引】求函数解析式的常用方法有:? 换元法( 注意新元的取值范围);? 待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等);?整体代换(配凑法);?构造方程组(如自变量互为倒数、已知为奇函数且为偶函数等)。 f(x)g(x)题型2:求二次函数的解析式 - 13 - 254201790.doc 例4二次函数满足，且。 f(x)f(x，1),f(x),2xf(0),1的解析式; ?求f(x)?在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围。 m,1,1y,f(x)y,2x，m解题思路(1)由于已知是二次函数，故可应用待定系数法求

35、解;(2)用数表示形，f(x)可得求对于恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。 2x，m,f(x)x,1,12解析?设，则fxaxbxca()(0),，,22fxfxaxbxcaxbxc(1)()(1)(1)()，,，,， ,，2axab22,a,a,1,与已知条件比较得:解之得，又， fc(0)1,b,1ab，,0,2 ？,，fxxx()122?由题意得:即对x,1,1恒成立， xxxm,，,，12mxx,，31,2易得 mxx,，,(31)1min【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解;通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。 新题导练 ,5(若，

36、则 f(sinx),3,cos2xfsin(,x),2,22解析 ; 3，cos2xfxxxx(sin)3cos23(12sin)2sin2,，fsin(,x),2222所以,因此 fxx()22,，fxxxx(cos)2cos2(2cos1)33cos2,，,，,，f01,fff1,4,136(设是一次函数，若且成 yfx,()，fffn242，,等比数列，则 ; ，解析;设，由得，从而 n(2n，3)f(x),kx，bf(0),1b,1f(x),kx，12fff1,4,13又由成等比数列得，解得 (k，1)(13k，1),(4k，1)k,2，所以， f(x),2x，1fffn242，, 2

37、，2，1，2，4，1，？，2，n，1,n(2n，3)，1，x7(设 ，又记 fx,，1,xfxfxfxffxk,1,2,fx,则 ( ) ，11kk，2008- 14 - 254201790.doc 1，xx,11A(;B(;C(;D(; x,1,xx，1x1x，1，1f(x)，11x1,解析 C;由已知条件得到， f(x)ff(x),211x，1f(x)x,11,1x,11,1，f(x)x,1x1，f(x),ff(x),3211,f(x)x，111，xx,11，1，f(x)1，xx，13， f(x),ff(x),f(x),ff(x),x4354x,11,x1,f(x)31,x，1可见，是以4

38、为周期的函数，而，所以， f(x)f(x),f(x),x2008,502，4n200848(设二次函数满足,且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截f(x)f(x,2),f(,x,2)得的线段长为，求的解析式。 2f(x)2822解析 ;设f(x)=ax+bx+c， f(x),x，x，177,b由f(x)满足f(x,2)=f(,x,2)，可得函数y=f(x)的对称轴为x=,2，所以 ,22a由y=f(x)图象在y轴上的截距为1，可得，即c=1 f(0)1,由y=f(x) 图象在x轴上截得的线段长为，可得 2bc22|()4()42xxxxxx,，, 121212aa2,bca,2,()42,7a

39、a,8,b,c,1所以联立方程组，可解得 ,7,bc,1,22a,282所以f(x)=x，x，1. 77考点4:分段函数 题型1:根据分段函数的图象写解析式 例5为了预防流感，某学校对教室用药 - 15 - 254201790.doc 物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y(毫克)与时间t1,a1,(小时)成正比;药物释放完毕后，y与t的函数关系式为(a为常数)，如图y,16,所示，根据图中提供的信息，回答下列问题: (?)从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 ; (?)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以

40、下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。 思路点拨根据题意，药物释放过程的含药量y(毫克)与时间t是一次函数，药物释放完毕后，y与t的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决(?) 时是直线，故;当时，图象过 解析 (?)观察图象，当0,t,0.1y,10tt,0.1(0.1,1),10t,0t0.1,0.1,a1,所以，即，所以 1,a,0.1y,1t,0.116,(),t0.1,16,0.1,a0.1,a0.5111,(?)，所以至少需要经过小时 ,0.25,t,0.60.6,161616,【名师指引】分段函数的每一

41、段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。 题型2:由分段函数的解析式画出它的图象 2例6设函数，在区间上画出函数的图像。 f(x),x,4x,5f(x),2,6思路点拨需将2来绝对值符号打开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。 x,4x,5,02,xxxx,452156或,2解析 ,如右上图. fxxx()45,2,(45)15xxx,【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。 新题导练 23(0)xx,9(已知函数，则ff1, ，fx() ,，,，2xx

42、，,1 (0),- 16 - 254201790.doc 2解析 2;由已知得到 ff(1),f(2，1,3),f(,1),(,1)，1,21x,2,x,2.,10(设则不等式的解集为 f(x),f(x),2,0,2,log(x1),x2,2x,1解析 ;当时，由得，得 x,2f(x),2,01,x,2(1,2):(5,，,)2,22当时，由得，得 log(x,1),2x,5x,2f(x),2,022x备选例题1:已知函数(a，b为常数)且方程f(x),x+12=0有两个实根为x=3, fx,()1ax，bx=4. 2(k，1)x,kf(x),(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k1，解关于

43、x的不等式; 2,x2x解析(1)将得 x,3,x,4分别代入方程,x，12,012ax，b9,92,a,1,x,3ab， 解得所以,()(2).fxx,162b,2,x,8,4ab，,22x(k，1)x,kx,(k，1)x，k(2)不等式即为 ,可化为,02,x2,x2,x即 (x,2)(x,1)(x,k),0.?当 1,k,2,解集为x,(1,k),(2,，,).2?当 k,2时,不等式为(x,2)(x,1),0解集为x,(1,2),(2,，,);?. 当k,2时,解集为x,(1,2),(k,，,)备选例题2:已知定义域为R的函数满足 fx()22 ffxxxfxxx()().,，,，(I

44、)若，求;又若，求; f(2)3,f(1)fa(0),fa()(II)设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式 xfxx(),fx()00022解:(I)因为对任意xR,，,，有f(f(x)-xxfxxx)()22 2)(2)22所以f(f(2)-2，,，f 22 2322,(1)1又由f(2)=3,得f(3-2，,，,)即f22 f(0)=a,f(00)00,()若则即aafaa,，,，,- 17 - 254201790.doc 22(II)()().因为对任意，有xRffxxxfxxx,，,，()又因为有且只有一个实数，使得xfxx,0002 ,()所以对任意有xRfxxxx,，,02 ()在上式中令，有xxfxxxx,，,000002 ()0又因为，所以，故fxxxxxx,=0或=100000022,x 若xfxxxfxx=0，则，即()0(),，,02 0但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故xxxx,022 ()1,()1.若xfxxxfxxx=1，则有即易验证该函数满足题设条件。,，,，02 ()1 ()综上，所求函数为fxxxxR