《最新（江苏专用）高考数学总复习+第四篇+三角函数、解三角形《第25讲 正弦定理和余弦定理的应用》基础达标演练（含解析）理+苏教版优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新（江苏专用）高考数学总复习+第四篇+三角函数、解三角形《第25讲 正弦定理和余弦定理的应用》基础达标演练（含解析）理+苏教版优秀名师资料.doc（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、（江苏专用）2013年高考数学总复习 第四篇 三角函数、解三角形第25讲正弦定理和余弦定理的应用基础达标演练（含解析）理 苏教版(江苏专用)2013高考数学总复习 第四篇 三角函数、解三角形第25讲 正弦定理和余弦定理的应用基础达标演练(含解析)理 苏教版 A级 基础达标演练 (时间:45分钟 满分:80分) 一、填空题(每小题5分，共35分) 1(渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120?角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)_( 答案 13.5 km/h 2(江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得
2、俯角分别为45?和60?，而且两条船与炮台底部连线成30?角，则两条船相距_m. ,tan 45?,30 (m)， 解析 如图，OMAO3ON,AOtan 30?,30,103 (m)， 3由余弦定理得， 3MN, 900，300,230103 2,300,103 (m)( 答案 103 3(某人向正东方向走x km后，他向右转150?，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好3 km，那么x的值为_( 解析 如图，在?ABC中，AB,x，BC,3， 222AC,3，?ABC,30?，由余弦定理得(3),3，x,23xcos 30?， 2即x,33x，6,0，解得x,3，x,23，经检测均合
3、题意( 12答案 3或23 4(如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD,a和?ACD,60?，?BCD,30?，?BDC,105?，?ADC,60?，则AB的长为_( 1 解析 在?ACD中，已知CD,a，?ACD,60?，?ADC,60?，所以AC,a.? asin 105?3，1在?BCD中，由正弦定理可得BC,a.? sin 45?2在?ABC中，已经求得AC和BC，又因为?ACB,30?， 所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为 222AB,AC，BC,2AC?BC?cos 30?,a. 22答案 a 215(2010?新课标全国卷)在?
4、ABC中，D为边BC上一点，BD,CD，?ADB,120?，AD,2，2若?ADC的面积为3,3，则?BAC,_. 解析 由A作垂线AH?BC于H. 113因为,?sin 60?,2?,3,3， SDADCDC?ADC222所以DC,2(3,1)，又因为AH?BC，?ADH,60?， 所以DH,ADcos 60?,1，?HC,2(3,1),DH,23,3. 1又BD,CD，?BD,3,1，?BH,BD，DH,3.又AH,ADsin 60?,3， 2所以在Rt?ABH中AH,BH， ?BAH,45?. HC23,3又在Rt?AHC中tan?HAC,2,3， AH3所以?HAC,15?.又?BAC
5、,?BAH，?CAH,60?， 故所求角为60?. 答案 60? 6(如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60?，再由点C沿北偏东15?方向走10米到位置D，测得?BDC,45?，则塔AB的高是_米( 2 解析 在?BCD中，CD,10(米)，?BDC,45?，?BCD,15?，90?,105?，?DBC,30?，BCCDCDsin 45?ABBC,102(米)(在Rt?ABC中，tan 60?,，AB,，sin 45?sin 30?sin 30?BCBCtan 60?,106(米)( 答案 106 7(2011?安徽三校联考)2010年
6、11月12日广州亚运会上举行升旗仪式(如图，在坡度为15?的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60?和30?，且座位A，B的距离为106米，则旗杆的高度为_米( AN106解析 由题可知?BAN,105?，?BNA,30?，由正弦定理得,，解得ANsin 45?sin 30?,203(米)，在Rt?AMN中，MN,203sin 60?,30(米)(故旗杆的高度为30米( 答案 30 二、解答题(每小题15分，共45分) 8(我国海军在东海举行大规模演习(在海岸A处，发现北偏东45?方向，距离A(3,1)km的B
7、处有一艘“敌舰”(在A处北偏西75?的方向，距离A 2 km的C处的“大连号”驱逐舰奉命以103 km/h的速度追截“敌舰”(此时，“敌舰”正以10 km/h的速度从B处向北偏东30?方向逃窜，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”, 解 设“大连号”用t h在D处追上“敌舰”，则有CD,103t，BD,10t，如图在?ABC中，?AB,3,1，AC,2，?BAC,120?， ?由余弦定理，得 222BC,AB，AC,2AB?AC?cos?BAC 22,(3,1)，2,2?(3,1)?2?cos 120?,6 AC232?BC,6，且sin?ABC,?sin?BAC,?,. 22BC6?AB
8、C,45?，?BC与正北方向垂直( 3 ?CBD,90?，30?,120?， 在?BCD中，由正弦定理，得 BD?sin?CBDtsin 120?101sin?BCD,， 2CD103t?,30?. BCD即“大连号”沿东偏北30?方向能最快追上“敌舰”( 9(2011?广州二测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60?方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处( (1)求渔船甲的速度; (2)求sin 的值( 解 (1)依题意知，?BAC,120?，AB,12(海里)，
9、AC,102,20(海里)，?BCA,， 在?ABC中，由余弦定理，得 222BC,AB，AC,2AB?AC?cos?BAC 22,12，20,21220cos 120?,784. 解得BC,28(海里)( BC所以渔船甲的速度为,14海里/时( 2(2)在?ABC中，因为AB,12(海里)，?BAC,120?，BC,28(海里)，?BCA,，由正弦定ABBC理，得,. sin sin 120?312ABsin 120?233即sin ,. BC281410(?)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上(在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30?且与该港口相距20海里的A处，并正以
10、30海里/时的航行速度 沿正东方向匀速行驶(假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇( (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少, (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行4 速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由( 思路分析 第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式;第(2)问建立速度与时间的函数关系式( 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 2，S,900t400,2?30t?20?cos,90?,30?, 122,900t,600t，400, 900t,，30
11、0. ,3,1故当t,时，S,103(海里)， min3103此时v,303(海里/时)( 13即，小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小( 222(2)设小艇与轮船在B处相遇，则vt,400，900t,2?20?30t?cos(90?,30?)， 2故v,900,，?0,v?30，?900,，?900，即,?0，解得t?. 222tttttt32,时，,30海里/时( 又tv32故v,30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于. 3此时，在?OAB中，有OA,OB,AB,20海里，故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30?，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船
12、相遇( 【点评】 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式，利用函数的有关知识解决问题，充分体现了函数与方程思想的重要性. B级 综合创新备选 (时间:30分钟 满分:60分) 一、填空题(每小题5分，共30分) 1(据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆(台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断(某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45?角，树干也倾斜为与地面成75?角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是_米( 解析 如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则?ABO,45?，?AOBAO20,75?
13、，?OAB,60?.由正弦定理知，,， sin 45?sin 60?5 206?AO,(米)( 3206答案 32(2011?贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30?，经过1 min后又看到山顶的俯角为75?，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)_( 150 000解析 AB,1 0001 000, (m)， 603AB50 000,?BC?sin 30?, (m)( sin 45?3250 000?航线离山顶h,sin 75?11.4 (km)( 32?山高为18,11.4,6.6 (km)
14、( 答案 6.6 km 3(如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105?，进行10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135?后继续前行回到出发点，那么x,_. 解析 由题知，?CBA,75?，?BCA,45?，?BAC,180?,75?,45?,60?，?x10,. sin 45?sin 60?106?x,(m)( 3106答案 m 36 4(2011?合肥一检)如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现
15、该船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险( I BMm解析 由题可知，在?ABM中，根据正弦定理得BM,，解得sin,90?,sin,mcos mcos cos ,，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90?,),n，sin,sin,所以当与的关系满足mcos cos ,nsin(,)时，该船没有触礁危险( 答案 mcos cos ,nsin(,) 5(某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30?角的直线上，1分钟后，他看这宝塔在与火车前进方向成45?角的直线上，设火车的速度是100 km/h，则宝塔到铁路线的垂直距离等于_km. 解析 如图，?BCA,45?,
16、30?,15?， AB1005AB,(km)，AC,? 603sin?BCA5sin?ABC,(3，1)(km)， 35所以宝塔到铁路线的垂直距离,AC?sin 30?,(3，1)(km)( 65答案 (3，1) 66(2011?南通调研)已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是_( 解析 如图，设AB,AC,2x， 2x,35222则在?ABD中，由余弦定理，得3,x，4x,4xcos A，所以cos A,. 24x42,9x，30x,92所以sin A,1,cosA,， 24x7 11242所以S,(2x)sin A,9x，30x,9. ?ABC2252故当x,时， 35
17、115,2(), ,9S，30,9,16,2. max?ABC,2332答案 2 二、解答题(每小题15分，共30分) 7(如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救(甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30?相距10海里C处的乙船，接到信号后乙船朝北偏东方向沿直线前往B处救援，问的正弦值为多少, 解 如题干图，在?ABC中，AB,20海里，AC,10海里，?BAC,120?， 122222,?cos 120?,20，10,22010,700. 由余弦定理知BC,AB，AC,2ABAC,2,?BC,107海里( ABBC由正弦定理,， sin?A
18、CBsin?BACAB?sin?ACB,?sin?BAC BC2021,?sin 120?,. 710757?sin ,sin(30?，?ACB),sin 30?cos?ACB，cos 30?sin?ACB, 1457?乙船应沿北偏东sin ,的方向沿直线前往B处救援( 148(2010?陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3，3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45?，B点北偏西60?的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60?且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间, 8 解 由题意知AB,5(3，3)海里
19、，?DBA,90?,60?,30?，?DAB,90?,45?,45?， 所以?ADB,180?,(45?，30?),105?， DBAB在?ADB中，由正弦定理得,， sin?DABsin?ADBAB?sin?DAB5,3，3,?sin 45?所以DB, sin?ADBsin 105?5,3，3,?sin 45?,103(海里)， sin 45?cos 60?，cos 45?sin 60?又?DBC,?DBA，?ABC,30?，(90?,60?),60?， BC,203(海里)， 中，由余弦定理得 在?DBC222CD,BD，BC,2BD?BC?cos?DBC 1,300，1 200,2103203,900， 2所以CD,30(海里)， 30则需要的时间t,1(小时)( 30所以救援船到达D点需要1小时( 9