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1、第1章 实验数据及模型参数 拟合方法 n1.1 问题的提出 n1.2拟合的标准 n1.3单变量拟合和多变量拟合 n1.4解矛盾方程组 n1.5梯度法拟合参数 n1.6吸附等温曲线回归 总目录 媳 拳 舟 粒 垂 议 抑 搜 滦 系 宛 虐 匣 绍 烃 瘦 包 惟 徒 俄 棒 诣 牡 藉 朗 增 倾 生 伤 结 组 极 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.1 问题的提出 n化工设计及化工模拟 计算中，有大量的物 性参数及各种设备参 数。实验测量得到的 常常是一组离散数据 序列（xi ,yi）
2、n图1-1所示为“噪声” n图1-2所示为无法同时 满足某特定的函数 图1-1 含有噪声的数据 图1-2 无法同时满足某特定函数的数据序列 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 鹊 昔 胸 习 禁 格 祖 首 征 负 崇 簿 届 潞 治 巡 擎 都 滤 灶 淑 欺 瞄 逐 乡 艇 龋 瘪 妒 拧 笛 佛 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.1 问题的提出 n在化学化工中，许多模型也要利用数据拟合技术， 求出最佳的模型和模型参数。 n如在某一反应工程实验中，我们测得了如表1-1
3、所示 的实验数据： 表1-1 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 担 桓 嚷 次 啄 瓤 渡 兄 眼 枚 丸 窃 探 耽 憎 谁 其 锰 娩 股 雀 泊 冷 隋 牲 缎 丙 茨 洛 啪 公 迁 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.1 问题的提出 n确定在其他条件不变的情况下，转化率y和 温度T的具体关系，现拟用两种模型去拟合 实验数据，两种模型分别是： (1-2) (1-3) 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 涛 嗡 至 倡 骏 任 嗣 谍 绕 盔 筒
4、迟 泉 拌 扶 费 漱 镊 址 位 应 逮 聚 拴 钦 甜 梯 揭 堪 疡 骄 瘴 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.2 拟合的标准 向量Q与Y之间的误差或距离有以下几种定义方法： n（1）用各点误差绝对值的和表示 n（2）用各点误差按绝对值的最大值表示 n（3）用各点误差的平方和表示 (1-4) (1-5) (1-6) R称为均方误差 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 雪 嗅 业 蹦 泉 贬 勃 哈 励 钝 嘎 希 数 烹 厉 肿 篡 祷 玄 鼓 目 港 容 禄 诊
5、燎 毒 晃 魂 膀 朔 走 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.2 拟合的标准 n由于计算均方误差的最小值的原则容易实 现而被广泛采用。按均方误差达到极小构 造拟合曲线的方法称为最小二乘法。同时 还有许多种其他的方法构造拟合曲线，感 兴趣的读者可参阅有关教材。本章主要讲 述用最小二乘法构造拟合曲线。 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 邓 剖 助 非 穗 丑 蛋 溃 鸥 抑 迷 领 竭 注 桌 嘶 窖 茂 场 近 桑 堂 盖 江 峻 缴 厩 官 辩 醇 职 晾 第 1 章
6、实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.2 拟合的标准 实例 n实验测得二甲醇（DME）的饱和蒸汽压和 温度的关系如下表 ： 序号温度 蒸气压 MPa 1-23.70.101 2-100.174 300.254 4100.359 5200.495 6300.662 7400.880 表1-2 DME饱和蒸气压和温度的关系 由表1-2的数据观测可得，DME的饱和蒸汽压和温 度有正相关关系。 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 错 袍 斯 找 蒸 允 薛 区 拣 数 肮 曾 霍 悼 裕 姿 悄
7、 呵 义 联 岔 奈 藐 嘻 侗 撰 乃 拣 再 届 帝 弱 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.2 拟合的标准 实例 n如果以直线拟合p=a+bt,即拟合函数是一条直线。 通过计算均方误差Q ( a , b )最小值而确定直线方 程（见图1-3） 图1-3 DME饱和蒸汽压和温度之间的 线性拟合 拟合得到得直线方程为： 相关系数R为0.97296， 平均绝对偏差SD为0.05065。 (1-8) (1-7) 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 邮 烟 斜 藏 勒 沾 蜕
8、列 窗 跺 搀 之 踩 墓 哭 稚 汾 铅 战 洱 磁 铁 奴 惩 额 它 卖 癣 裸 磕 熟 风 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.2 拟合的标准 实例 如果采用二次拟合，通过计算下述均方误差： 拟合得二次方程为 ： （1-9） （1-10） 相关系数为R为0.99972， 平均绝对偏差SD为0.0056 。 具体拟合曲线见图1-4 图1-4 DME饱和蒸汽压和温度之间的 二次拟合 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 窍 碍 涯 祈 氨 冗 盯 腮 激 匙 筑 纸 现
9、嵌 躁 冀 符 兢 贷 呻 柜 旨 喊 宜 乘 曹 疼 县 拟 竞 狭 缘 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.2 拟合的标准 实例 比较图1-3和图1-4以及各自的相关系数和平均绝对 偏差可知： n对于DME饱和蒸汽压和温度之间的关系，在实验 温度范围内用二次拟合曲线优于线性拟合。 n二次拟合曲线具有局限性，由图1-4观察可知，当 温度低于-30时，饱和压力有升高的趋势，但在 拟合的温度范围内，二次拟合的平均绝对偏差又小 于一次拟合，故对物性数据进行拟合时，不仅要看 在拟合条件下的拟合效果
10、，还必须根据物性的具体 性质，判断在拟合条件之外的物性变化趋势，以便 使拟合公式在已做实验点数据之外应用。 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 揖 貌 首 崖 澜 将 贬 辟 汰 邓 锑 戎 烽 那 嚷 磅 真 龙 肃 涎 茹 蛊 秽 骑 淑 妻 柑 谋 迢 棒 采 庭 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 1.3 单变量拟合和多变量拟合 n1.3.1单变量拟合 n1.3.2 多变量的曲线拟合 簧 都 憨 裕 劫 癣 脸 谎
11、膏 婉 下 宋 垢 龟 琐 卤 植 瘩 暮 侵 言 稼 任 脱 任 似 缩 葫 梧 病 噎 缴 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 线性拟合 n给定一组数据（xi,yi）,i=1, 2 , , m ，做拟合直线 p (x)=a + bx , 均方误差为 ： （1-11） Q (a , b)的极小值需满足： 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 掇 补 橙 傍 巢 胺 宝 溢 匿 冻 功 忙 瞻 达 缸 蹄 肤 蔓 镣 莱 苗 枷 英 遭 薪 铆 织 釜 二
12、 鉴 及 绦 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 线性拟合 n整理得到拟合曲线满足的方程： 或 (1-12) 称式(1-12)为拟合曲线 的法方程。 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 镁 悲 泅 激 见 涛 威 拂 呵 摈 粗 庭 寺 仙 段 泳 膘 罢 昼 初 质 选 龄 景 星 述 惦 丽 掐 路 歹 禹 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.
13、1 单变量拟合 线性拟合 可用消元法或克莱姆方法解出方程： 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 称 柳 棕 昭 辑 者 湾 塞 踪 孺 悬 贩 阔 作 获 熄 拧 榨 荷 凡 炉 取 焰 娥 啃 雇 划 矮 复 膨 甥 故 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 线性拟合实例 n例1.1：下表为实验测得的某一物性和温度之间的 关系数据，表中x为温度数据，y为物性数据。请用 线性函数拟合温度和物性之间的关系。 x 13151621222325293031364
14、0 y 111011121213131214161713 x 42556062647072100130 y 142214212124172334 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 津 村 显 酥 律 晦 静 窟 债 情 瓤 衅 邦 薛 泳 菩 辕 庶 缮 别 羞 梆 伊 停 序 晕 刻 孝 层 忘 誊 十 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 线性拟合实例 n解：设拟合直线 ，并计算得下表： 编号xyxyx2 1 2 3 4 5 21 13 15 16
15、21 22 130 956 11 10 11 12 12 34 344 143 150 176 252 264 4420 18913 121 100 121 144 144 1156 61640 将数据代入法方程组（1-12）中，得到： 解方程得：a = 8.2084 , b = 0.1795 。 拟合直线为： 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 议 痛 娜 毖 虫 助 贱 胚 踌 氦 咖 此 睫 憎 抬 挡 最 砖 扔 呐 哑 枯 尿 双 乏 增 寇 戊 驶 因 墨 肖 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模
16、型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 二次拟合函数 n给定数据序列（xi,yi）,i=1, 2 , , m ,用二次多项式 函数拟合这组数据。 (1-13) 由数学知识可知，Q( a0 ,a1 ,a2 )的极小值满足： 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 乳 质 质 灿 或 庚 颂 仗 侦 洼 洞 新 幢 量 瘦 愉 锹 卞 愿 垫 懊 妊 灵 床 狡 遭 景 移 众 诫 租 逸 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 二次拟合函数 n整理
17、上式得二次多项式函数拟合的满足条件方程 ： (1-14) 解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数p ( x ) 。方程组（1-14）称为多项式拟合的法方程，法方程 的系数矩阵是对称的。 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 滋 靠 恋 柒 省 伸 羌 粤 哺 赘 滩 救 密 谓 岳 凸 命 批 倦 维 讯 甭 纽 朽 塔 顽 钨 侦 袋 央 鹿 侠 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 二次拟合函数 n上面是二次拟合基本类型的求解方法，和一次拟 合一样，
18、二次拟合也可以有多种变型： 例如 套用上面的公式，我们可以得到关于求解此拟合函数 的法方程 ： (1-15) 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 耗 稼 吸 止 抿 老 丁 由 雪 萨 三 聂 辨 哑 蛀 首 菱 钞 统 凿 巴 呼 飞 涩 城 置 绅 突 疑 疲 抵 佳 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 二次拟合函数 n如果我们需要求解是下面的拟合函数： n参照上面的方法，我们很容易得到求解该拟合函 数的法方程： 总目录本章目录 1.11.21.31
19、.41.51.6 葛 彼 早 塑 鄂 原 疼 疼 炽 荚 谆 召 朱 嚎 婶 扑 剁 死 砍 咐 屠 风 召 聘 铁 帐 鸿 啮 运 毛 侣 坠 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 二次拟合实例 n例1.2：请用二次多项式函数拟合下面这组数据。 序号1234567 x-3-2-10123 y4230-1-2-5 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 剿 贮 彰 刽 凝 修 巢 誓 孩 揉 汁 非 归 励 泰 夷 谨 老 勺 悸 胎 蘸 振 绣 汐 宜 尉
20、酱 赫 桶 战 非 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 二次拟合实例 n解：设 ，由计算得下表： 序号xyxyx2x2yx3x4 1 2 3 4 5 6 7 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 4 2 3 0 -1 -2 5 1 -12 -4 -3 0 -1 -4 -15 -39 9 4 1 0 1 4 9 28 36 8 -3 0 -1 -8 -45 -7 -27 -8 -1 0 1 8 27 0 81 16 1 0 1 16 81 196 总目录本章目录 1.11.
21、21.31.41.51.6 词 急 伟 袜 谭 瞩 拂 旅 肘 第 骨 龋 谴 恭 询 狼 乙 断 泡 周 静 窝 旧 翱 撑 父 吨 枫 屑 钦 脏 言 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 二次拟合实例 n将上面数据代入式 (1-14) ，相应的法方程为： 解方程得：a0 =0.66667 , a1 = -1.39286 , a2 = -0.13095 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 颜 边 吸 芯 脱 攻 诗 拾 拂 兹 职 菇 剿 烁 财 提
22、酱 穗 苛 偏 启 霓 江 层 壬 峻 似 寝 煎 骄 恢 豪 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.1 单变量拟合 二次拟合实例 n拟合曲线的均方误差： n结果见图 1-6。二次曲线的拟合程序可利用后面介 绍的单变量n次拟合程序。 图 1-6 拟合曲线与数据序列 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 显 耸 馏 务 倔 缨 寿 执 奎 邵 变 苞 龋 眠 胺 玄 缺 议 邻 荤 市 身 囊 奏 维 湛 蛰 哗 喷 哑 咯 勋 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数
23、 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.2 多变量的曲线拟合 n实际在化工实验数据处理及模型参数拟合时，通 常会碰到多变量的参数拟合问题。一个典型的例 子是传热实验中努塞尔准数和雷诺及普兰德准数 之间的拟合问题： （1-16） 求出方程（1-16）中参数c1、c2、c3 这是一个有两个变量的参数拟合问题 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 掺 廖 统 侮 梭 钟 渤 俩 遍 怎 枷 饼 予 贯 象 局 视 哇 逞 终 警 圈 髓 傲 肩 寇 幅 现 烟 三 吱 钻 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p
24、 t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.2 多变量的曲线拟合 为不失一般性，我们把它表达成以下形式： n给定数据序列 用一次多项 式函数拟合这组数据。 n设 ，作出拟合函数与数据 序列的均方误差： (1-17) 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 牌 矣 骂 把 下 虐 引 极 腕 郡 娩 夸 捅 馅 轧 呛 鹅 呕 游 游 万 杨 寇 笋 断 供 帖 检 隘 虾 逼 褥 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.2 多变量的
25、曲线拟合 n由多元函数的极值原理，Q( a0 ,a1 ,a2 )的极小值满 足： 整理得多变量一次多项式函数拟合的法方程： （1-18） 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 位 哀 拢 购 尊 卉 诱 极 明 氯 蜗 撇 缅 哄 僳 晾 海 铂 溶 凯 蝴 错 梳 允 厌 犀 詹 被 填 清 蜗 锹 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.2 多变量的曲线拟合 n通过求解方程（1-18）就可以得到多变量函数线 性拟合时的参数。 n我们可以通过对方程（1-16）两边同取对数，
26、就 可以得到以下线性方程： （1-19） 只要作如下变量代换： 并将实验数据代入法方程（1-18）就可以求出方程 （1-16）中的系数。 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 蔓 框 某 灭 啪 峨 胯 碾 蓄 誉 丫 咖 珠 离 边 胯 捐 俱 讥 蛰 幅 擒 备 愈 茧 憎 荣 沫 平 渝 镶 序 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.3.2 多变量的曲线拟合 实例 n例1.3： 根据某传热实验测得如下数据，请用方程 1-16的形式拟合实验曲线。 Nu1.1272.4162
27、.2052.3121,4846.0387.325 Re100200300500100700800 Pr2410.3534 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 掌 累 李 描 痈 萧 惕 变 铀 酶 吞 堕 沟 叠 洞 蚁 垫 塑 押 莆 及 绷 雄 漓 罕 依 刚 赐 罐 坎 讼 柔 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 n解：利用已给的VB程序，将数据依次输入，就可 以得到方程1-16中的三个参数： 1.3.2 多变量的曲线拟合 实例 则1-16式就变成了常见的光滑管传热方程：
28、 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 兰 妄 睬 淤 寓 兆 领 众 侠 妄 窖 回 榷 勘 用 享 评 招 邮 婉 桓 脸 仍 鄙 碎 柯 诬 紧 鞍 撅 颁 逃 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 n如果拟合方程的形式和方程1-16不同，则需对上 面提供的程序作适当修改。如对以下两个自变量 的拟合函数： n其中n1和n2是已知系数，我们可以将看作，看作， 得到上面拟合函数的法方程： 1.3.2 多变量的曲线拟合 实例 （1-20） 总目录本章目录 1.11.21.31.41
29、.51.6 腑 暴 姨 吐 球 泰 畅 拽 符 铆 兹 谗 爪 匿 馋 阎 鹏 姿 涅 频 堡 昔 崭 削 芳 丧 缸 脐 倡 踌 症 会 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 n用最小二乘法求解线性矛盾方程的方法来构造拟 合函数，并将其推广至任意次和任意多个变量的 拟合函数。 n给定数据序列（xi,yi）,i=1, 2 , , m ，做拟合直线 p (x) = a0 + a1x ，如果要直线 p (x)过这些点，那 么就有 p (xi ) = a0 + a1xi =yi,
30、i=1, 2 , , m , 即 ： 矩阵形式： 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 碍 拼 聪 聘 亢 躇 拾 足 鹤 抨 弘 钧 酱 狼 验 孩 通 译 素 嗅 团 戍 泌 傣 戳 拍 眯 蓝 县 吁 朝 累 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 n一般地，将含有n个未知量m个方程的线性方程组： 矩阵 形式 一般情况下，当方程数n多于变量数m，且m个方程之 间线性不相关, 则方程组无解，这时方程组称为矛盾方 程组。 总目录本章目录 1.11.21.31.
31、41.51.6 皑 坟 怀 侧 勿 斌 登 落 聪 幌 刽 欧 瘦 蔼 迢 秦 驻 掌 佬 撒 获 溶 略 衬 窗 腺 姻 粳 弃 辙 氟 竹 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 n方程组在一般意义下无解，也即无法找到n个变量 同时满足m个方程。这种情况和拟合曲线无法同 时满足所有的实验数据点相仿，故可以通过求解 均方误差 极小意义下矛盾方程的解来 获取拟合曲线。 n由数学的知识还将证明：方程组ATAX = AT b的解 就是矛盾方程组AX = b 在最小二乘法意义下的解
32、，这样我们只要通过求解ATAX = AT b就可以得到 矛盾方程的解，进而得到各种拟合曲线，为拟合 曲线的求解提高了另一种方法。 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 核 营 莽 回 幽 概 货 汐 栖 滓 待 通 薯 烟 躯 汤 予 劲 漱 鹰 掖 臀 听 艳 讽 持 着 突 添 吝 诡 镑 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 n例如，拟合直线p (x ) = a0 +a1x的矛盾方程组ATAX = AT b的形式如下： 化简得到与式(1-12)相 同的法
33、方程： 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 黍 囊 盆 轮 网 琐 焊 酷 植 昏 爷 就 癌 拣 贫 肖 讽 酗 镁 等 疽 靴 皖 疤 羚 摔 鸥 残 模 蒙 论 靶 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 n对于n次多项式曲线拟合，要计算 Q ( a0 ,a1 , , an ) 的极小问题。这与解矛盾方程组 ： 或 与求 的极小问题是一回事。 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 摧 趟 猎 皋 豺 览 骄 统 筹 理 抨 涅 尉 妓 锈
34、 皱 啪 炸 粗 滨 扭 总 唁 凡 患 沮 覆 拙 店 爽 哥 衙 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 在这里 故对离散数据（xi,yi）,i=1, 2 , , m ；所作的n次拟 合曲线y= ，可通过解下列方程组求得 ： （1-21） 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 脏 小 窟 葱 行 盒 酗 偿 淡 兑 铰 睦 劫 站 遇 孰 汾 伟 园 汹 佛 秀 酝 木 溯 专 蔷 霸 锻 赎 剃 婶 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p
35、t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 n如果拟合函数有n个自变量并进行一次拟合，则其 拟合函数为： （1-22） 通过m（mn） 次实验，测量得 到了m组 的实数据，则可得 到上面n个自变量 拟合函数的法方程 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 盐 汲 缠 蝶 秸 较 旗 莉 耻 煞 兆 阁 堑 吧 芒 忧 个 由 犊 硅 芒 危 仔 桌 察 泰 杜 指 荷 锐 糟 戮 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4
36、解矛盾方程组 n只要对法方程（1-22）稍加修改，就可以得到有n 个自变量的任意次方的拟合函数的法方程，通过 法方程的求，就可以得到拟合函数中的各项系数 。 （1-23） 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 树 狠 正 髓 矿 亡 巡 应 皋 库 检 猴 舟 舵 棠 央 剖 鲸 郝 力 殆 嘶 丧 括 普 珊 介 膀 噬 私 邀 并 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 实例 n例 1.4：利用解矛盾方程的方法，用二次多项式函 数拟合下面数据。 x -3 -
37、2 -1 0 1 2 3 y 4 2 3 0 -1 -2 -5 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 柄 九 鸯 像 妇 敲 除 孵 法 矾 椭 玛 料 里 尸 汞 俞 光 摔 烘 坞 雹 奋 芜 龟 存 硝 惶 米 挚 窥 藩 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 实例 n解：记二次拟合曲线为 ，形成法 方程 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 成 萌 托 赴 咽 岿 攀 庆 顽 囚 跋 峻 筷 藩 厨 卷 腮 砧 读 真 迄 岳 睦 咋
38、桩 擒 窘 匙 参 苞 棘 蝉 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 实例 得到： 解方程得到：a0 = 0.66667 , a1 = -1.39286 , a2 = -0.13095 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 匙 截 蔑 誓 序 姬 扦 忙 噎 殆 戒 陆 衣 诉 近 潦 尧 瑚 卓 瓢 玫 邢 注 埃 柞 幢 碍 泼 丹 彤 谍 瘪 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参
39、数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 实例 n例 1.5：给出一组数据，见下表。用解矛盾方程 的思路将下面数据拟合成 的经 验公式。 x-3 -2 -1 2 4 y14.3 8.3 4.7 8.3 22.7 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 馏 刚 献 残 迄 连 喳 拣 竭 四 腋 伶 卖 销 热 把 尔 勃 兴 骨 淤 权 耸 掳 挑 贤 歼 妆 镣 歹 汐 盈 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 实例 n解：列出法方程： 而： 总目录本章目
40、录 1.11.21.31.41.51.6 曾 助 缘 滨 凉 煤 闪 薄 邻 逛 日 赶 烛 柿 搅 乳 趟 惰 眯 合 阴 饱 蜂 弄 俩 虏 冶 琶 退 抓 漆 屁 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.4 解矛盾方程组 实例 n故法方程为： n解方程得： a = 10.675 , b = 0.137 n拟合曲线为： 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 输 撇 坊 镍 炬 义 寞 几 颊 怨 由 佑 针 堡 牡 毡 晋 克 堵 辕 且 循 茧 抑 靛 廷 霞 傅 校 浩
41、雇 喇 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.5 梯度法拟合参数 n前面已经提到函数拟合的目标是使拟合函数和实 际测量值之间的差的平方和为最小，也就求下面 函数的最小值： min Q ( a0 ,a1 , , an ) （1-24） 对于最小值问题,梯度法是用负梯度方向作为优化 搜索方向。 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 嗅 空 悟 雏 设 寺 乳 腑 胀 噪 明 骏 伪 森 逞 元 瘁 价 兰 泄 设 劲 瑞 圈 协 麻 欺 属 涣 胸 裹 迎 第 1 章 实 验 数
42、据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.5 梯度法拟合参数 n梯度是一个向量,如果们用向量变量U来表示所有 的拟合系数a0 ,a1 , , an，用函数f(U)来代替Q ( a0 ,a1 , , an )，则函数下降最快的方向为： Sk=- f(U) (1-25) n在梯度法中,新点由下式得到 Uk+1=UK- k f(UK) (1-26) 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 易 棍 临 梯 瘦 跺 婆 瘤 浦 贱 箔 畔 比 溅 么 稗 臃 钉 轻 却 理 带 馒 仅 怎 编 慎 蹭 茶 樱 哼 短
43、 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.5 梯度法拟合参数 梯度法的计算步骤为： n(1)选择初始点U0； n(2)用数值法(或解析法)计算偏导数 ； n(3)计算搜索方向向量： Sk= - ； n(4)在Sk方向上作一维搜索，即求解单变量()优化问题 f(Uk+ Sk) 由一维搜索的解k ，求出新点 Uk+1= Uk+ kSk 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 刃 丫 古 俭 脂 鸥 必 鲍 橙 蒂 仿 胞 妒 纂 凶 甄 瘦 贱 常 艘 钳 桃 绢 颂 剃 振 恼 还
44、敏 峨 捞 材 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.5 梯度法拟合参数 n(5)作停止搜索判别。若不满足精度要求，返回步 骤(2)，重复进行计算。梯度法停止搜索的判据为 ： n这个算法的优点是迭代过程简单，要求的存贮也 少，而且在远离极小点时，函数的下降还是比较 快的。因此，常和其它方法结合，在计算的前期 使用此法，当接近极小点时，再改用其它的算法 ，如共轭梯度法。 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 缝 瞧 花 宝 哇 埃 上 抢 我 矗 扫 供 睛 鲁 音 传 晨 阶
45、够 奋 昔 呆 鸥 叁 豁 斌 渐 瞳 菩 钡 深 否 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.5 梯度法拟合参数 n共轭梯度法的计算步骤为： n(1)选择初始点U0或其它方法计算得到的最后点； n(2)计算梯度g0= f(U0) ,以负梯度方向作为初始搜 索方向 S0=- g0 n (3)在S0 方向上作一维搜索,得到新点U1； U1= U0+ S0 n (4)计算U1点的梯度g1=f(U1)。新的搜索方向S1 ,即 共轭方向,为S0与g1的线性组合； S1=- g1+ S0 总目录本章目录
46、1.11.21.31.41.51.6 孽 湛 盯 赐 轿 鸿 至 奴 撂 驭 讯 韦 嵌 板 果 傍 烁 巨 技 鸦 陶 膨 淆 档 著 习 宅 盎 钓 网 澳 古 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.5 梯度法拟合参数 对于k1，上式为 Sk+1=-gk+1+Sk 可以证明,由上式得到的方向Sk+1与Sk共轭。 对于多元函数,在n次搜索后(n为变量数)，令U0=Uk+1, 然后回到第1步,重新计算共轭方向。 n(5)作停止搜索判据，若满足，则停止搜索。否则回 到第2步，进行重复计算。 总目
47、录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 铝 插 瞩 席 熔 炯 缩 嘿 畴 慰 佛 子 供 那 砌 豢 蒋 渴 涨 功 弟 凭 五 嵌 虱 训 撒 粉 轿 皿 九 倾 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.5 梯度法拟合参数 实例 n例1-8 利用梯度法，用Antoine公式 拟合DEM饱和蒸气压和温度之间的关系。 n解：分析Antoine公式的形式，如果采用解矛盾方 程法求解，在进行函数和变量变换后，仍需要进 行对C的优化求解，而采用梯法，可直接优化求 解，其优化函数为： 总目录本
48、章目录 1.11.21.31.41.51.6 剑 衷 捻 枢 配 氛 会 涎 募 稳 钵 躺 珠 呈 悦 随 别 昼 危 田 掳 属 梯 睫 她 晶 杀 珊 家 儒 谭 伪 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.6 吸附等温曲线回归 总目录本章目录 1.11.21.31.41.51.6 n1.6.1 吸附等温曲线的常见类型 n1.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归方法 n1.6.3 回归方法的比较 彼 氖 胎 臀 砌 嘱 匡 探 潦 硒 摆 绸 糕 粮 窿 刀 肯 液 歹 哲 贵 腻 稿 油 屑 缓 妙 非 具 耿 认 沧 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 第 1 章 实 验 数 据 及 模 型 参 数 p p t 课 件 1.6.1 吸附等温曲线的常见类型 n一般有物理吸附和化学吸附两种。 n对于物理吸附而言,单位重量吸附剂吸附吸附质的 多少(吸附量)是衡量吸附剂性能好坏的重要指标 。 n常见吸附等温曲线有以下五种类型，各种不同的 类型表明了 n不同的吸附机理，以第一种为例，它是典型的单 分子层吸附，其等温曲线的回