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1、5重庆高考数学题 理科导数及其应用重庆高考数学题 理科 导数及其应用 11,231(2004年14)曲线在交点处切线的夹角是_yxyx,22与424(用幅度数作答) 2(2004年20题12分) 设函数 fxxxxaa()(1)(),(1),/(1) 求导数; 并证明有两个不同的极值点; xx,fx()fx()12新疆王新敞奎屯(2) 若不等式成立，求的取值范围 fxfx()()0，,a122,解:(I) f(x),3x,2(1，a)x，a.,令f(x),0得方程23x,2(1，a)x，a,0.2因,4(a,a，1),4a,0,故方程有两个不同实根x,x12,不妨设x,x,由f(x),3(x,
2、x)(x,x)可判断f(x)的符号如下: 1212,当x,x时,f(x),0;1,当x,x,x时,f(x),0;12,当x,x时,f(x),02因此x是极大值点，x是极小值点. 12(II)因f(x)，f(x),0,故得不等式 123322x，x,(1，a)(x，x)，a(x，x),0.121212 22即(x，x)(x，x),3xx,(1，a)(x，x),2xx，a(x，x),0.121212121212又由(I)知 2,xxa，,(1，),12,3 ,a,xx,.12,3,1 代入前面不等式，两边除以(1+a)，并化简得 22a,5a，2,0.1解不等式得a,2或a,(舍去) 2因此,当a
3、,2时,不等式f(x)，f(x),0成立.12333(2005年12)曲线处的切线与x轴、直线所围成的x,ay,x在点(a,a)(a,0)1新疆王新敞奎屯三角形的面积为= ,1,则a64(2005年19题13分) x2新疆王新敞奎屯a,R 已知，讨论函数的极值点的个数 f(x),e(x，ax，a，1)2xx,解:f(x),e(x，ax，a，1)，e(2x，a)2x,ex，(a，2)x，(2a，1), 2,令f(x),0得x，(a，2)x，(2a，1),0.22(1)当 ,(a，2),4(2a，1),a,4a,a(a,4),0.2即a,0或a,4时,方程x，(a，2)x，(2a，1),0有两个不
4、同的实根x,x,不妨设x,x, 1212x,于是f(x),e(x,x)(x,x),从而有下表:12x x (,x)(x,x)(x,，,) x1 11222, f(x)+ 0 , 0 + f(x)为极大值 为极小值 f(x)f(x)? ? ? 12即此时f(x)有两个极值点. 2(2)当有两个相同的实根,0即a,0或a,4时,方程x，(a，2)x，(2a，1),0x,x 12x2,于是 f(x),e(x,x)1,故当x,x时,f(x),0;当x,x时,f(x),0,因此f(x)无极值. 122 2(3) 当,0,即0,a,4时,x，(a，2)x，(2a，1),0,x2,为增函数，此时无极值. f
5、(x)f(x),ex，(a，2)x，(2a，1),0,故f(x)因此当无极值点. a,4或a,0时,f(x)有2个极值点,当0,a,4时,f(x)5.(2006年20题13分) 2x已知函数, 其中为常数( b,c,Rf(x),(x，bx，c)e2(?)若, 讨论函数的单调性; f(x)b,4(c,1)fxc(),2,6,b,2lim,4,(?)若, 且 试证:( b,4(c,1)x,0x22, 解:(?)求导得 f(x),x，(b，2)x，b，cc22, 因有两根; b,4(c,1), 故方程f(x),0即x，(b，2)x，b，c,0224(1)4(1)b,c,b,c,22b，b， x,x,
6、，122222, 令; f(x),0, 解得x,x或x,x12, 又令， f(x),0, 解得x,x,x12故当是增函数;当是增函x,(,x)时, f(x)x,(x,，,)时, f(x)12数;但 当是减函数. x,(x,x)时, f(x)12, (?)易知，因此 f(0),c, f(0),b，cf(x),cf(x),f(0),lim,lim,f(0),b，c. n,0n,0xx所以，由已知条件得 ，,4,bc, ,2b,4(c,1),2b，4b,12,0. 因此 ,6,b,2 解得. 3 446.(2007年20题13分)已知函数(x0)在x = 1处取得极值-3-c，f(x),axlnx，
7、bx,c其中a,b,c为常数。 (1)试确定a,b的值; (2)讨论函数f(x)的单调区间; 2(3)若对任意x0，不等式恒成立，求c的取值范围。 f(x),2cbcc,3b,3解:(I)由题意知，因此，从而( fc(1)3,13433,又对求导得( fxaxxaxbx()4ln4,， fx(),，xaxab(4ln4)x,ab，,40a,12由题意，因此，解得( f(1)0,3,x,0x,1(II)由(I)知()，令，解得( fx()0,fxxx()48ln,01,x当时，此时为减函数; fx()fx()0,x,1当时，此时为增函数( fx()fx()0,因此的单调递减区间为，而的单调递增区
8、间为( fx()fx()(01)，(1)，?，x,1(III)由(II)知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使fx()fc(1)3,22x,0,32cc?()恒成立，只需( fxc()2?,32c?,1c?230cc,?即，从而，解得或( (23)(1)0cc,，?23，,所以的取值范围为( c(1,，,，:,2，,7.(2008年20题13分.(?)小问5分.(?)小问8分.) 2 设函数曲线y=f(x)通过点(0，2a+3)，且在点(-1，f(-1) fxaxbxca()(0),，,处的切线垂直于y轴. (?)用a分别表示b和c; -x(?)当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(
9、x)e的单调区间. 2,解:(?)因为 fxaxbxcfxaxb(),()2.,，,，所以又因为曲线yfx,()通过点(0，2a+3), fafcca(0)23,(0),23.,，,，而从而 故 ,yfx,()f(1)0, 又曲线在(-1，f(-1)处的切线垂直于y轴，故 4 即-2a+b=0,因此b=2a. 392 (?)由(?)得 bcaaa,，,，,2(23)4(),4439bc 故当时，取得最小值-. a,4433 此时有 bc,.22333332, 从而 fxxxfxx(),(),，,42222333,xx2 gxfxcxxe,，,()()(),4223,xx2, 所以 gxfxfx
10、exe,()()()(4).4, 令，解得 xx,2,2.gx()0,12, 当 xgxgxx,(,2),()0,()(,2)时故在上为减函数;, 当 xgxgxx,，,(2,2)()0,()(2,).时，故在上为减函数, 当 xgxgxx,，,，,(2,)()0()(2,)时，故在上为减函数.由此可见，函数的单调递减区间为(-?，-2)和(2，+?);单调递增gx()区间为(-2，2). 8(2009年18题13分，(?)问5分，(?)问8分) 2x,0设函数在处取得极值，且曲线在点yfx,()(1,(1)ffxaxbxkk()(0),，,处的切线垂直于直线( xy，,210(?)求ab,的
11、值; xe(?)若函数gx(),，讨论gx()的单调性( fx()2,解(?)因 fxaxbxkkfxaxb()(0),()2,，,，故,b,0fx()又在x=0处取得极限值，故fx()0,从而 fx()由曲线y=在(1，f(1)处的切线与直线xy,，,210相互垂直可知 ,f(1)2,有2a=2,从而a=1该切线斜率为2，即 5 xe(?)由(?)知， ()(0)gxk,2xk，x2exxk(2),，, gxk()(0),22()xk，2,令 gxxxk()0,20,，,有,(1)当 ,440,k即当k1时，g(x)0在R上恒成立，故函数g(x)在R上为增函数 x2ex(1),(2)当 ,4
12、40,k即当k=1时，gxx()0(0),22()xk，K=1时，g(x)在R上为增函数 2(3)方程xxk,，,20有两个不相等实根 ,440,k即当0k1时，xkxk,，,11,1112,当函数 xkgxgxk,(,11)()0,(),11)是故在(上为增,当时，故上为减函数 gx()0,xkk,，,()11,11gxkk()11,11在(),，,xk,，,(，11+)时，故上为增函数 gx()0,gxk()11在(，,+)9.(2010年18题13分，(?)小问5分，(?)小问8分.) x,1a,1f(x),，ln(x，1) 已知函数，其中实数. x，aa,2 (?)若，求曲线在点处的切
13、线方程; y,f(x)(0,f(0)x,1 (?)若f(x)在处取得极值，试讨论f(x)的单调性. x，a,(x,1)1a，11/f(x),，,，解:(?). 22x，1x，1(x，a)(x，a)2117，1/a,1(0)f(0),f,，, 当时，而，因此曲线22014(02)，17y,(,),(x,0)y,f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为即7x,4y,2,0. 241111a，/a,1()fx,，,， (?)，由(?)知， 21112(1)，a，a6 11a,3 即，解得. ，,0a，12x,1 此时，其定义域为，且 f(x),，ln(x，1)(,1,3):(3,，,)x,3,21(
14、x,1)(x,7)/ ，由得.当 f(x),，,x,1,x,7f(x),01222x，1(x,3)(x,3)(x，1)/x,7x,3,1,x,11,x,7 或时，;当且时，. f(x),0f(x),0由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间上是减f(x)(,1,1,7,，,)1,3),(3,7函数. 10(2011年18题13分，(?)小问6分，(?)小问7分() ,设的导数满足，其中常数fx()fafb(),(),fxxaxbx(),，,( abR,(?)求曲线在点处的切线方程; yfx,()(,(),f,x (?) 设，求函数的极值( gx()gxfxe()(),322,解:(I)因故 fx
15、xaxbx()1,，fxxaxb()32.,，,令 xfab,，1,(1)32,得,由已知 faabab(1)2,322,3.,，,因此解得,又令由已知 xfab,，2,(2)124,得fb(2),3a,.因此解得 124,，,abb23532fxxxxf()31,(1),，,从而因此 223,f(1)2()3,，,又因为故曲线yfxf,()(1,(1)在点处的切线方程为 25yxxy,，,()3(1),6210.即 22,x (II)由(I)知， gxxxe()(333),2,x,从而有 gxxxe()(39).,，2,令gxxxxx()0,390,0,3.,，,得解得 127 ,当上为减函
16、数; xgxgx,(,0),()0,()(,0)时故在,当在(0，3)上为增函数; xgxgx,(0,3),()0,()时故,当时，上为减函数; gxgx()0,()(3,),，,故在x,，,(3,),3从而函数处取得极小值处取得极大值 gxx()0在,gx(0)3,3,在ge(3)15.,1211.(2012年08)设函数在R上可导，其导函数为fx(),，且函数的图像如题(8)图所示，fx()yxfx,(1)()则下列结论中一定成立的是(D ) (A)函数有极大值和极小值 fx()f(2)f(1)(B)函数有极大值和极小值 fx()f(2),f(1)(C)函数有极大值和极小值 fx()f(2
17、)f(2),有极大值和极小值 (D)函数fx()f(2),f(2)12. (2012年16题13分，(?)小问6分，(?)小问7分.) 13aR,fxaxx()ln1,，设其中，曲线在点处的切线垂yfx,()(1,(1)f22x直于轴. ya(?) 求的值; (?) 求函数fx()的极值. 13a13,fxaxx()ln1,，fx(),， 解:(?)因，故. 222xxx22一年级数学下册教材共六个单元和一个总复习，分别从数与代数、空间图形、实践活动等方面对学生进行教育。yfx,()(1,(1)f 由于曲线在点处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，(一)数与代数13,f(1)0,a,，,0即，
18、从而，解得a=-1. 225.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。13fxxxx()ln1(0),，,(?)由(?)知 22x1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角8 2113(31)(1)xx，,321xx,fx(),，, ,222xx222x2x分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:11,x,xx,1,令，解得(因不在定义域内，舍去). fx()0,21233,当时，故在(0,1)上为减函数; x,(0,1)fx()0,fx(),当时，故在上为增函数. x,，,(1,)fx()0,fx()(1,)，,3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。x,1故在处取得极小值 fx()f(1)3,2fxaxx,，56lnaR,13(2013年17)、设，其中，曲线yfx,在点1,1f，0,6处的切线与轴相交于点。 y，3.余弦：(1)确定的值; a平方关系：商数关系：fx(2)求函数的单调区间与极值。 ，第一章 直角三角形边的关系125.145.20加与减（三）4 P68-749