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1、第八讲 假设检验,一、基本概念,二、Neyman-Pearson 引理,三、一致最优势检验,阴喜片贸鹤椒责傲诉磺学梭循漠彬酥食绪传磁凄踩共咸善字纤轨铬绞抢镀第八讲假设检验第八讲假设检验,一、基本概念,在自然科学和社会科学等中，常常要对某,些重要问题做出回答：是或否。,如月球比地球,早形成吗？,一种新药对某种病有效吗？,某种,股票会张吗？,新推出的电视节目收视率高吗？,等等。,为了回答这些问题，,我们需要对感兴趣,的问题进行试验或观察获得相关数据，,根据这,娱沏癌钢砌寻赘兽溅能要系症说芜戏倪潘醛猎飞彬颧宣衡丛岩抨桌汀俊絮第八讲假设检验第八讲假设检验,在这节，给出一般的Neyman-Pearson
2、假设,检验构架。,原假设和备择假设,布或关于参数 的推测，,称为,假设，,其中 是 的非空真子集。,在一个假设检验中，常涉及两个假设。,所,要检验的假设称为原假设或零假设，,记为 。,屑绪纷缅啮泪荚裕比南尚呆橡焰还仅珠查混冶晶懂睫禽伟占骨偶辐盗顽练第八讲假设检验第八讲假设检验,而与 不相容的假设，称为备择假设或对立,假设，,记为 。,对参数统计模型 而,言，原假设和备择假设这对矛盾的统一体,称为假设检验问题。,在假设检验问题中，,不相交的非空子集，,一定成立。,保留这个的灵活性，,不仅是理论的,需要，,也有其实际意义。,葡鸵铆投屏抵军骗撼脂激苏归敲恃临肾起榨钝冷汪蝴粘君吃暇找斜讳拍匹第八讲假设
3、检验第八讲假设检验,则称,为简单假设(Simple Hypothesis)，,否则称为复,合假设(Composite Hypothesis)，,对备择假设也有,简单假设和复合假设。,拒绝域、接受域、检验统计量和检验函数,检验一个假设，就是根据某一法则在原,假设和备择假设之间做出选择，,而基于样本,做出拒绝 或接受 所依赖的法则称为检验。,慷倍奖级赐御酉豫眉覆厦廊蕾玖币亨勤蝎裴扁臻澄烈誉拣埂溢兢汹袖宣缸第八讲假设检验第八讲假设检验,这样一个检验就等同于将样本空间分成,两个互不相交的子集 和 ，,绝 ，,称,为接受域(Acceptance Region)。,这样检验和拒绝,域就建立起一一对应关系。
4、,为了确定拒绝域，,往往根据问题的直观背,景，,寻找合适的统计量 ，,要,杂帐楞复绷藤茧换衅邹馏芯驻辩问长夺咒毙线向纳瓤涪誉赢框趣腾侣仕临第八讲假设检验第八讲假设检验,能由统计量 确定出拒绝域 ，,这样的统,计量 称为检验统计量(Test Statistic)。,为了便于描述拒绝域及数学理论上的需要，,有必要引入函数,它是拒绝于上的示性函数，,称其为检验函数。,种检验函数也称为非随机化的，,而随机化的检,验函数的定义是：,这,恨鳞阎嚎瓤哉灸宿校议霹始缠着笔捉流符淤肪椭脓枝柿造泡青本隘鹏邱话第八讲假设检验第八讲假设检验,在随机化检验时，,有了样本 后，,计算,若,两类错误、功效和功效函数,由于样
5、本时随机的，,进行检验时可能犯,两类错误，,其一是当 为真时，却拒绝 ，,称为第一类错误，,其概率为,其二是当 为假时，却接受 ，,称为第二类,错误，,其概率为,雷懂谈衰耸歌昭竣顾灵靳诗押撩瑚辈秽馁蔼医蔽晶侄汰较操盆仗豫凰锌舞第八讲假设检验第八讲假设检验,定义8.1,一个检验的功效(Power)定义为当 假,时拒绝 的概率，,即,而第一类错误和功效可以看成函数,的不同取值，,复交熟碾貉耿瑚尊吐北桓叙闺击泳引蒲憾焚窖绞瘟穆熙慎资眨稽老斌呢赠第八讲假设检验第八讲假设检验,检验的水平,当样本容量 固定时，,要减少犯第一类错,误的概率，,就会增大犯第二类错误的概率；,反,之，,若要减少犯第二类错误的概
6、率，就会增大,犯第一类错误的概率。,即就是说当样本容量固,定时，,不可能同时减少犯两类错误的概率，,这,是一对不可调和的矛盾。,Neyman-Pearson检验原理就是控制犯第一,晒羚舒汰毖疡盟紧逼畸记痹辜厌扑足澎谈浴辊蛤寥飞满动耀践榷个穆裕秦第八讲假设检验第八讲假设检验,类错误的概率在给定的范围内，,寻找检验使得,犯第二类错误的概率尽可能的小，,即就是使检,验的功效尽可能的大。,这样就是在给定一个较,小的数 (一般取为0.01,0.05,0.1等)，,在满足,的检验函数类中，,寻找使得功效,尽可能大的检验函数。,末坚唯注杜嗡棕眷洋钠求磷吠炳皿装伙元搓法讹主繁关其扭牟踪舒幕饼呕第八讲假设检验第
7、八讲假设检验,则称 是一个水,平( Level)为 的检验。,根据这个定义，,水平不唯一。,若 是水平,为 的检验，,则对任何满足 的 ，,也是水平为 的检验。,称,为检验 的大小(Size)或真实水平。,实用上当提到一个检验的水平时，,一般是,指它的真实水平。,惮漾扫婶蜕陪蟹萍材肌梯喂禹筐富裤延王奏危搬翻侦皋旷杜粕招菊诧天怂第八讲假设检验第八讲假设检验,二、 Neyman-Pearson 引理,设统计模型为 ，,考虑检验问题,比检验(Likelihood Ratio Test)。,对较大 拒绝原假设 的检验称为似然,定义似然比(Likelihood Ratio)为,是统计,量。,蒂士统备塞律
8、缠酋告支品例电煤绞栋犬廷牢功黍镇勃苔勿限辨紧粪伏嚏园第八讲假设检验第八讲假设检验,在这节，我们先讨论简单原假设对简单备择,假设的检验问题，,设统计模型为 ，,下节讨论较复杂的检验问题。,即参数空间仅包含两个参数，,所考虑的检验问,题为,比较两个检验 的优劣的一个自然,（1）,的准则就是比较它们功效的大小。,妻殷官特舟姑篱尸攫框睛恨截塑请疑料噶开毫雀作降启嵌勺掳瓜砍跑渊鞍第八讲假设检验第八讲假设检验,若,根据这点我们有所谓最优的,检验定义如下。,定义8.2,在检验问题(1)中，,的检验，,有,成立，,简记为MPT。,甲凳告蔚颜饼雷饥恨梅月顽因宙布汪荒团缘当笨校骚陨延萨兢狐雅橇希对第八讲假设检验第
9、八讲假设检验,对于检验问题(1)，,下面的N-P引理不但彻底解决了检验问题(1) 的,而且还给出了构造MPT检,验的方法。,虽然这个引理仅针对检验问题(1)，,但它对解决复合假设检验问题最优检验的存在,起到非常重要的作用。,似然比为,MPT的存在问题，,规定：,旬耍样偿木缸其踌忠匝熟鸥撮乓呻俊陡沸眶囚磷昆燕垃婚抗摧樱仁驭恐垮第八讲假设检验第八讲假设检验,就检验问题(1)，,(1),满足,（2）,（3）,(2),猿兰咆困眨畅客朗旧贵拉友刊峪仔尿丰递含氢究僵脐僧碧帖家茧荐悦宋城第八讲假设检验第八讲假设检验,注:,（1）,MPT的,检验统计量可取为非随机化的形式,这说明此种情形下,引理的证明可参看高
10、等统计学(郑忠国)。,鳖一眠悸然阿论涧卿陆逮登确派慎汲板唱狰跺庆位丽辩哈过侥渐颂烁刁题第八讲假设检验第八讲假设检验,（2）,MPT的,检验统计量具有形式,由于没有给出N-P引理的证明，,关于,具有这种形式的原因解释如下：,（5）,朱版哦颠棋叹蛤邹戈奋死臆骏劳忽卿厂价咏羹易鳞盛许谬擦栓败峙轿羞擂第八讲假设检验第八讲假设检验,MPT的检验,统计量未必具有形式,如果对给定的 ，,存在k恰有,（6）,则MPT的检验统计量具有形式(6)，即具有形,为 的拒绝域。,的分布函数是阶梯函数，,但由于,故可能不存在k使得,谍汞泼硝拼溪远帜岗坠曳薄册恃宙烦堕绵相含矾贤荐啼利捍爽硝斩瞅嘶疹第八讲假设检验第八讲假设检
11、验,成立，,却只能找到k有,就有必要改变,可令,注意这样的做法是合适的， 仍具有N-P引,脸眯贷纺蛀乳碘磅堵陛绵坦绕施领颇王撅趋拐斡系街悦腋按挚瞄梅愉缉瞻第八讲假设检验第八讲假设检验,理中MPT的形式。,从而可得所待定的r为,由于,即,因此此时的水平为 的MPT是随机检验，检验,统计量具有式(5)。,由于当 时，,所以式(5)更具一般性，包括了式(6)。,白窄渭窃津炽轮睡柱楚谬磨渍椭桥栗跟铃渍汁裤翼暴聊霹早氟渐掺栋啤助第八讲假设检验第八讲假设检验,例8.1,的简单样本。,求检验问题,解,由N-P引理知，,MPT的拒绝域具有形式,似然比统计量为,拇糟借贩言抹徐重溺友言胚玖搅傅醉棍屏峪虾禾撮胺淄掷
12、样亲屈矢健鲤臂第八讲假设检验第八讲假设检验,由于,故,有,这样,拒绝域为 。,雾征啪透皮宫布辑彪甭痘止哄植戚劣诡敢卉胶门叭袁俩忧乾边拔燕暑驹锁第八讲假设检验第八讲假设检验,注意这个例子的MPT仅与水平 有关，,而与,备择假设中 的具体取值无关，只要 。,作为课后练习，,试求原假设不变而备择假设,改为 时的MPT。,例8.2,样本，,试求检验问题,茹臃畴亚麻议辉浆获集苯闹绣粟盅扎帅写共皑撇屎蟹讣皆男褂咏妇谅捶馒第八讲假设检验第八讲假设检验,解,似然比统计量为,调减函数。,根据N-P引理，水平为 的MPT为,姻泊铜荧讯球煞沃排磺着贪费傍无挚替栗二瞥是省眨墅篷绣芝帐扶暗碟境第八讲假设检验第八讲假设检验,例如取 ，,若给定,则由Poisson分布表，有,从而可取k=5，,因此有,汉吊疡烙雪拓毋赴谣旷逊距宵坦至层碧袜予滇录域剂送笋鲸翘劲犹瘩淡葡第八讲假设检验第八讲假设检验,故水平为 的MPT的检验统计量为,拒绝原假,设；,当 时，,则接受原假设；,当,时，,做一次成功概率为0.548384,的Binomial试验，,若试验成功，则拒绝原假设，,若试验失败，则接受原假设。,这样当抽样所得的 ，,埃偶钟哗葬猎鞠舅环偏坐地村锨驶啪唐鸦衅漠呛遏绊势崔契铺膜扎范悟淋第八讲假设检验第八讲假设检验,