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1、专题训练(二)二次函数与几何的综合问题类型一二次函数与三角形的结合1如图6ZT1，直线l过A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数yax2的图象在第一象限内相交于点P，若SAOP，求二次函数的表达式图6ZT12如图6ZT2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc与x轴相交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x1.(1)求点C的坐标(用含a的代数式表示)；(2)连接AC，BC，若ABC的面积为6，求此抛物线的表达式图6ZT2类型二二次函数与平行四边形的结合3如图6ZT3，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线yax2bxc，点A，B，D的坐标分别为(2，0
2、)，(3，0)，(0，4)求抛物线的表达式图6ZT3类型三二次函数与特殊平行四边形的结合4如图6ZT4，直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线ya(x2)2k经过点A，B，且与x轴交于另一点C，其顶点为P.(1)求a，k的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长图6ZT452017邵阳如图6ZT5所示，顶点坐标为(，)的抛物线yax2bxc过点M(2，0)(1)求抛物线的表达式；(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与
3、y轴的交点，点C是直线yx1上一点(位于x轴下方)，点D是反比例函数y(k0)图象上一点若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值图6ZT5类型四二次函数与几何变换的综合6如图6ZT6所示，已知抛物线E：y2x24x，将其向右平移2个单位长度后得到抛物线F.(1)求抛物线F的表达式；(2)设抛物线F和x轴相交于点O，B(点B位于点O的右侧)，顶点为C，点A位于y轴的负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的表达式图6ZT67已知二次函数y2x24xk1.(1)当二次函数的图象与x轴有交点时，求k的取值范围；(2)若A(x1，0)与B(x2，0)是二次函数图象上
4、的两个点，且当xx1x2时，y6，求二次函数的表达式，并在所提供的直角坐标系中画出它的大致图象；(3)在(2)的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线yxm(m3)与新图象有两个公共点，且m为整数时，求m的值图6ZT7详解详析1解：设直线l的表达式为ykxb.直线l过点A(4，0)，B(0，4)，yx4.设点P的纵坐标为yP，SAOP，4yP，yP，x4，解得x，点P的坐标为(，)把代入yax2，解得a，二次函数的表达式为yx2.2解：(1)抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为(1，0)，抛物线与x轴的另一个
5、交点B的坐标为(3，0)设抛物线的表达式为ya(x1)(x3)，即yax22ax3a，当x0时，y3a，C(0，3a)(2)由(1)可得AB4，OC3a，SABCABOC6a，6a6，解得a1，抛物线的表达式为yx22x3.3解：由题意可得点C的坐标为(5，4)把(2，0)，(0，4)，(5，4)代入yax2bxc中，得解得抛物线的表达式为yx2x4.4解：(1)直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A，B，A(1，0)，B(0，3)又抛物线ya(x2)2k经过点A(1，0)，B(0，3)，解得即a，k的值分别为1，1.(2)设点Q的坐标为(2，m)，对称轴x2交x轴于点F，过点B作BE直线x2于
6、点E.在RtAQF中，AQ2AF2QF21m2.在RtBQE中，BQ2BE2EQ24(3m)2.AQBQ，1m24(3m)2，m2.点Q的坐标为(2，2)(3)当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，AC应为正方形的对角线又对称轴直线x2是线段AC的垂直平分线，点M与顶点P(2，1)重合，点N为点P关于x轴的对称点，其坐标为(2，1)此时，MFNFAFCF1，且ACMN，四边形AMCN为正方形在RtAFN中，AN，即正方形的边长为.5解：(1)依题意可设抛物线的表达式为ya(x)2，将点M(2，0)代入可得a1，抛物线的表达式为y(x)2x2x2.(2)当y0时，x2x20，解得x11，x22，
7、A(1，0)当x0时，y2，B(0，2)在RtOAB中，OA1，OB2，AB.设直线yx1与y轴的交点为点G，易求G(0，1)，RtAOG为等腰直角三角形，AGO45.点D是反比例函数y(k0)图象上一点，点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：此菱形以AB为边且AC也为边，如图所示，过点D作DNy轴于点N.在RtBDN中，DBNAGO45，DNBN，D(，2)点D在y的图象上，k(2).此菱形以AB为对角线，如图所示，作AB的垂直平分线CD交直线yx1于点C，交y的图象于点D，再分别过点D，B作DEx轴于点F，BEy轴，DE与BE相交于点E.在RtBDE中，同可证AGO
8、DBOBDE45，BEDE.可设点D的坐标为(x，x2)BE2DE2BD2，BDBEx.四边形ACBD是菱形，ADBDx.在RtADF中，AD2AF2DF2，即(x)2(x1)2(x2)2，解得x.点D的坐标为(，)点D在y的图象上，k.综上所述，k的值为或.6解：(1)方法一：原抛物线y2x24x2(x1)22，其顶点坐标为(1，2)，向右平移2个单位长度后抛物线F的顶点坐标为(1，2)，抛物线F的表达式为y2(x1)22，即y2x24x.方法二：当y0时，即2x24x0，解得x0或x2，原抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)和(0，0)平移后抛物线F与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)，
9、抛物线F的表达式为y2x(x2)，即y2x24x.方法三：根据抛物线平移之间的关系，可得抛物线F的表达式为y2(x2)24(x2)2x24x.方法四：抛物线E与抛物线F关于y轴对称，抛物线F的表达式为y2(x)24(x)2x24x.(2)抛物线F的表达式为y2x24x2(x1)22，顶点C的坐标为(1，2)当y0时，2x24x0，解得x0或x2，点B的坐标为(2，0)设点A的坐标为(0，y)，且y0.点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，y22，解得y4，点A的坐标为(0，4)设AB所在直线的表达式为ykxb.由题意，得解得AB所在直线的表达式为y2x4.7解：(1)二次函数的图象与x轴有交点，b24ac0，即4242(k1)0，解得k3.(2)二次函数y2x24xk1图象的对称轴为直线x1，x1x22(1)2，当x2时，y6，即2(2)24(2)k16，解得k5，二次函数的表达式为y2x24x6，图象如图所示：(3)设(2)中二次函数y2x24x6的图象与x轴交于A，B两点，即A(3，0)，B(1，0)依题意可画出翻折后的图象如图所示：当直线yxm经过点A时，可得m，当直线yxm经过点B时，可得m，根据图象可知，符合题意的m的取值范围为m.m为整数，m的值为0或1.