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1、2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则 2已知为虚数单位，复数（），且，则 3下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数，则的值为 4已知直线为双曲线（，）的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 5据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前个自然数平方和的一般公式.下图是一个求前个自然数平方和的算法流程图，若输入的值为1，则输出的值为 6已知是集合所表示的区域，是集合所表示的区域，向区域内随机的投一个点，则该
2、点落在区域内的概率为 7已知等比数列的前项和为，公比，则 8已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为 9已知是第二象限角，且，则 10已知直线：，圆：，当直线被圆所截得的弦长最短时，实数 11在中，角，对边分别是，若满足，则角的大小为 12在中，是所在平面内一点，若，则面积的最小值为 13已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为 14已知，均为正数，且，则的最小值为 二、解答题 （本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15已知向量，.（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值.16如图，在四面体中，平面平面，分别为，的中点，.（1
3、）求证：平面；（2）若为上任一点，证明平面.17某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18已知函数，为实数，为自然对数的底数，.（1）当，时，设函数的最小值为，求的最大值；（2）若关于的方程在区间上有两个不同实数解，求
4、的取值范围.19已知椭圆：（）的左焦点为，左准线方程为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点.若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值；若（为原点），求面积的取值范围.20已知数列满足，其中，为非零常数.（1）若，求证：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列是公差不等于零的等差数列.求实数，的值；数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数
5、学（附加）试题21【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，每小题10分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，直线切圆于点，直线交圆于，两点，于点，且，求证：.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵的一个特征值及对应的特征向量.求矩阵的逆矩阵.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为（）.若曲线与曲线有且仅有一个公共点，求实数的值.D.选修4-5：不等式选讲已知
6、，为正实数，求证：.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分，请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第局得分（）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数的分布列和数学期望.23已知，其中，.（1）试求，的值；（2）试猜测关于的表达式，并证明你的结论.2
7、016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学参考答案一、填空题1 21 319.7 4514 6 73 89 10 11 1213 147二、解答题15解：（1）当时，所以.（2），若，则，即，因为，所以，所以，则.16解：（1）因为平面平面，即，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，为的中点，所以，又，平面，平面，所以平面.（2）连，因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，且，平面，平面，所以平面平面，又为上任一点，所以平面，所以平面.17解：（1）（）.（2）.当且仅当时，即时取等号.故.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最
8、大利润是4300元.18解：（1）当时，函数，则，令，得，因为时，所以，令，则，令，得，且当时，有最大值1，所以的最大值为1（表格略），（分段写单调性即可），此时.（2）由题意得，方程在区间上有两个不同实数解，所以在区间上有两个不同的实数解，即函数图象与函数图象有两个不同的交点，因为，令，得，所以当时，当时，所以，满足的关系式为，即的取值范围为.19解：（1）由题设知，：.（2）由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.设，直线代入椭圆得，整理得，.由，知，（定值）.当直线，分别与坐标轴重合时，易知的面积，当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：，设，将代入椭圆得到，同理，的面积.令，令，则
9、.综上所述，.20解：（1）当，时，.又，不然，这与矛盾，为2为首项，3为公比的等比数列，.（2）设，由得，对任意恒成立.令，2，3，解得，.经检验，满足题意.综上，.由知.设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.1若三个奇数一个偶数，设，是满足条件的四项，则，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.2若一个奇数三个偶数，设，是满足条件的四项，则，.由504为偶数知，中一个偶数两个奇数或者三个偶数.1）若，中一个偶数两个奇数，不妨设，则，这与251为奇数矛盾.2）若，均为偶数，不妨设，则，继续奇偶分析知，中两奇数一个偶数，不妨设，则.
10、因为，均为偶数，所以为奇数，不妨设，当时，检验得，当时，检验得，当时，检验得，即，或者，或者，满足条件，综上所述，为全部满足条件的四元子列.（第卷 理科附加卷）21A.解：连结，设圆的半径为，则，.在中，即，又直线切圆于点，则，即，代入，.B.解：由题知，.，.C.解：，曲线的普通方程为.，曲线的直角坐标方程为，曲线圆心到直线的距离为，或.D.解：基本不等式，22解：（1）设在一局游戏中得3分为事件，则.答：在一局游戏中得3分的概率为.（2）的所有可能取值为1，2，3，4.在一局游戏中得2分的概率为，；.所以.23解：（1）；.（2）猜想：.而，所以.用数学归纳法证明结论成立.当时，所以结论成立.假设当时，.当时，（*）由归纳假设知（*）式等于.所以当时，结论也成立.综合，成立.