2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练56空间向量的应用二空间的角与距离第2课时理201.wps

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1、题组训练 5757 空间向量的应用（二）空间的角与距离 第 2 2 课时 1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 AB 的中点，则 sinDB1，CM的值等于( ) 1 A. B. 2 210 15 2 C. D. 3 11 15 答案 B 解析 分别以 DA，DC，DD1为 x，y，z 轴建系， 令 AD1， 1 DB1(1，1，1)，CM(1， ，0) 2 1 1 2 15 cosDB1，CM . 5 15 3 2 210 sinDB1，CM . 15 2已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形，AA12AB，E 为 AA1的中点，则异面 直线 BE 与

2、CD1所成角的余弦值为( ) 10 1 A. B. 10 5 3 10 3 C. D. 10 5 答案 C 解析 如图，以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 设 AA12AB2，则 B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2) BE(0，1，1)，CD1(0，1，2) 12 3 10 cosBE，CD1 . 2 5 10 3若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等 于( ) A120 B60 C30 D150 答案 C 1 1 解析 设直线 l 与平面 所成的角为 ，则 sin|cos120| ，又 090.

3、2 30. 4(2018天津模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1与平面DBB1D1 所成角的正弦值为( ) 3 5 A. B. 2 2 10 C. D. 5 10 10 答案 C 解析 由题意，连接 A1C1，交 B1D1于点 O，连接 BO.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC 4，C1OB1D1.易得 C1O平面 DBB1D1，C1BO即为直线 BC1与平面 DBB1D1所成的角 10 在 RtOBC1中，OC12 2，BC12 5，直线 BC1与平面 DBB1D1所成角的正弦值为 ，故选 C. 5 5.(2018辽宁沈阳和平区模拟)如图

4、，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1 4，则直线 BB1与平面 ACD1所成角的正弦值为( ) 1 A. B. 3 3 3 6 2 2 C. D. 3 3 答案 A 解析 如图所示，建立空间直角坐标系 则 A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，AC( 2，2，0)，AD1(2，0，4)，BB1(0，0，4) n nAC0， 设平面 ACD1的法向量为 n n(x，y，z)，则0，) n nAD1 2x2y0， 即2x4z0，)取 x2，则 y2，z1，故 n n(2，2，1)是平面 ACD1的一个法向量 |n nBB1

5、| 4 1 设直线 BB1与平面 ACD1所成的角是，则 sin|cosn n，BB1| . |n n|BB1| 9 4 3 故选 A. 6若正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D 是 A1C1的中点，则直线 AD与平面 B1DC 所成 角的正弦值为( ) 2 3 4 A. B. 5 5 3 C. D. 4 5 5 答案 B 解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D平面ACD，B1DDC， 故B1DC 为直角三角形 5 3 5 1 3 5 15 设棱长为 1，则有 AD ，B1D ，DC ，SB1DC . 2 2 2 2 2 2 8 设 A 到平面 B1DC

6、 的距离为 h，则有 VAB1DCVB1ADC， 1 1 hSB1DC B1DSADC. 3 3 1 15 1 3 1 2 h ，h . 3 8 3 2 2 5 h 4 设直线 AD 与平面 B1DC所成的角为 ，则 sin . AD 5 向量法： 如图，取 AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系 设各棱长为 2， 则有 A(0，1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1( 3，0，2) 设 n n(x，y，z)为平面 B1CD 的法向量， n nCD0， y2z0， 则有 n n(0，2，1) 0)3xy2z0) n nCB1 ADn n 4 sinAD，n n . 5 |AD|

7、n n| 7(2018山东师大附中模拟，理)如图，在四棱锥 PABCD中，PA平面 10 ABCD，ABCD，ADCD ，AB 10，PA 6，DAAB，点 Q 在 PB 上，且 2 满足 PQQB13，则直线 CQ与平面 PAC 所成角的正弦值为_ 答案 130 52 解析 方法一：如图，过点 Q 作 QHCB 交 PC 于点 H. DAAB，DCAB，在 RtADC 中，AC AD2CD2 5. PA平面 ABCD，在 RtPAC中，PC PA2AC2 11. 3 10 取 AB 的中点 M，连接 CM，DCAB，CMAD ， 2 在 RtCMB 中，CB CM2MB2 5， 又 PB2P

8、A2AB216，PC2CB2PB2，CBPC. QHBC，QHPC. PACB，PAQH. 由可得，QH平面 PAC，QCH是直线 CQ与平面 PAC 所成的角 1 5 3 3 11 26 QH 130 QH BC ，HC PC ，CQ QH2HC2 ，sinQCH . 4 4 4 4 2 CQ 52 方法二：以 A 为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直 10 10 角坐标系，则 A(0，0，0)，P(0，0， 6)，C( ， ，0)，B(0，10，0)， 2 2 1 10 3 6 PQ PB，Q(0， ， )，可知平面 PAC的一个法向量为 m m

9、(1，1，0)，又 CQ( 4 4 4 10 10 3 6 ， ， )， 2 4 4 |m mCQ| 130 130 |cosm m，CQ| ，故直线 CQ 与平面 PAC所成角的正弦值为 . 52 52 |m m|CQ| 8(2018上海八校联考)如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知 AE 底面 BCFE，DFAE，DFAE1，CE 7，四边形 ABCD是正方形 (1)九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体 EABC是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明 理由 (2)记 AB与平面 AEC 所成的角为 ，求 cos2 的值 1 答案 (1)略

10、(2) 7 解析 (1)AE底面 BCFE，EC，EB，BC都在底面 BCFE 上，AEEC，AEEB，AEBC.四 边形 ABCD 是正方形，BCAB，BC平面 ABE.又BE 平面 ABE，BCBE，四面体 EABC 是鳖臑，AEB，AEC，CBE，ABC 为直角 (2)AE1，CE 7，AEEC， AC2 2，又 ABCD 为正方形 BC2，BE 3. 作 BOEC 于 O，则 BO平面 AEC，连接 OA，则 OA 为 AB在面 AEC 上的射影BAO，由 等面积法得 BEBCECOB. 32 OB 21 1 OB ，sin ，cos212sin2 . 7 AB 7 7 4 提示 本题

11、也可用向量法求解 9.(2016课标全国 ，理)如图，四棱锥 PABCD中，PA底面 ABCD，AD BC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点 (1)证明：MN平面 PAB； (2)求直线 AN与平面 PMN 所成角的正弦值 8 5 答案 (1)略 (2) 25 2 解析 (1)由已知得 AM AD2. 3 取 BP 的中点 T，连接 AT，TN. 1 由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TN BC2. 2 又 ADBC，故 TN綊 AM，所以四边形 AMNT为平行四边形，于是 MNAT. 因为 AT 平面 PAB，MN 平面 PAB，所以

12、MN平面 PAB. BC (2)取 BC的中点E，连 接AE.由 ABAC 得AEBC，从而AEAD，且AE AB2BE2 AB2（ ）2 2 5. 以 A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向建，立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P，(0， 5 5 0，4)，M(0，2，0)，C( 5，2，0)，N( ，1，2)，PM(0，2，4)，PN( ，1，2)，AN 2 2 5 ( ，1，2) 2 2y4z0， n nPM0， 设 n n(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则0，)即 5 xy2z0，) n nPN 2 可取 n n(0，2，1) |n nAN| 8 5 于是|cos

13、n n，AN| . 25 |n n|AN| 5 8 5 所以直线 AN 与平面 PMN所成角的正弦值为 . 25 10如图所示，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中，AA1底面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，BAD120， ABAA12A1B12. (1)若 M 为 CD中点，求证：AM平面 AA1B1B； (2)求直线 DD1与平面 A1BD 所成角的正弦值 1 答案 (1)略 (2) 5 解析 (1)四边形 ABCD为菱形，BAD120，连接 AC，如图，则ACD 为等边三角形， 又 M 为 CD 中点，AMCD，由 CDAB，得 AMAB， AA1底面 ABCD，AM 平面 ABC

14、D，AMAA1， 又 ABAA1A， AM平面 AA1B1B. (2)四边形 ABCD为菱形，BAD120，ABAA12A1B12，DM1，AM 3，AMD BAM90，又 AA1底面 ABCD， 以 AB，AM，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 1 3 则 A1(0，0，2)，B(2，0，0)，D(1，3，0)，D1( ， ，2)， 2 2 1 3 DD1( ， ，2)，BD(3，3，0)，A1B(2，0，2)， 2 2 设平面 A1BD 的法向量为 n n(x，y，z)， n nBD0， 3x 3y0， 则0，) y x z，令 x1，

15、则 n n(1， ，1)， 2x2z0， ) 3 3 3 n nA1B 直线 DD1与平面 A1BD所成角 的正弦值为 6 n nDD1 1 sin|cosn n，DD1| | . 5 |n n|DD1| 11.(2018山西太原一模)如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形， BE平面ABCDD，FBE，且 DF2BE2，EF3. (1)证明：平面 ACF平面 BEFD； (2)若二面角 AEFC 是直二面角，求直线 AE 与平面 ABCD所成角的正切 值 1 答案 (1)略 (2) 2 解析 (1)四边形 ABCD是菱形，ACBD. BE平面 ABCD，BEAC， BDBEB

16、，AC平面 BEFD， 平面 ACF平面 BEFD. (2)设 AC 与 BD 的交点为 O，由(1)得 ACBD，分别以 OA，OB 为 x 轴和 y 轴，过点 O 作垂直于 平面 ABCD 的直线为 z，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， BE平面 ABCD，BEBD，DFBE，DFBD， BD2EF2(DFBE)28，BD2 2. 设 OAa(a0)，则 A(a，0，0)，C(a，0，0)，E(0，2，1)，F(0， 2，2)，EF(0，2 2，1)，AE(a，2，1)，CE(a，2，1) m mEF0， 2 2y1z10， 设 m m(x1，y1，z1)是平面 AEF的法向量，则

17、0，)即 ax1 2y1z10，) m mAE 3 2 令 z12 2，m m( ，1，2 2)是平面 AEF 的一个法向量， a 设 n n(x2，y2，z2)是平面 CEF的法向量， n nEF0， 2 2y2z20， 则0，)即ax2 2y2z20，)令 z22 2， n nCE 3 2 n n( ，1，2 2)是平面 CEF的一个法向量， a 7 18 二面角 AEFC 是直二面角，m mn n 90，a 2. a2 BE平面 ABCD，BAE 是直线 AE 与平面 ABCD所成的角， BE 1 AB OA2OB22，tanBAE . AB 2 1 故直线 AE 与平面 ABCD所成角

18、的正切值为 . 2 1.(2017山西临汾一模)如图所示，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外，PA平 面 ABCD，PAAB，则 PB与 AC 所成的角是( ) A90 60 C45 30 答案 B 解析 将其还原成正方体 ABCDPQRS，显然 PBSC，ACS为正三角形，ACS60. 2.(2018成都一诊)如图，正四棱锥 PABCD的体积为 2，底面积为 6，E 为侧棱 PC 的中点，则直线 BE与平面 PAC 所成的角为( ) A60 B30 C45 D90 答案 A 解析 如图，正四棱锥 PABCD 中，根据底面积为 6 可得，BC 6.连接 BD，交 AC 于点 O，连接 PO

19、，则 PO 为正四棱锥 PABCD 的高，根据体积公式 可得，PO1.因为 PO底面 ABCD，所以 POBD，又 BDAC，POACO，所 以 BD平面 PAC连， 接 EO则，BEO为直线 BE与平面 PAC 所成的角在 RtPOA 1 中，因为 PO1，OA 3，所 以 PA2，OE PA1，在 RtBOE中，因为 BO 3，所 以 tanBEO 2 BO 3，即BEO60. OE 3.如图，平面 ABCD平面 ABEF，四边 形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF是矩形， 1 且 AF ADa，G 是 EF 的中点，则 GB与平面 AGC 所成角的正弦值为( ) 2 2 A. B.

20、3 3 3 8 6 1 C. D. 3 3 答案 C 解析 设 GB 与平面 AGC所成的角为 . 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系， 则 A(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，2a)，G(a，a，0)，AG(a，a，0)，AC (0，2a，2a)，BG(a，a，0)，设平面 AGC的法向量为 n n1(x1，y1，1)，由 AGn n10， |BGn n1| ax1ay10， x11， 2a n n10) 2ay12a0 ) y11) n n1(1，1，1)sin |BG|n n1| 2a 3 AC 6 . 3 4已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD为

21、正方形，AA12AB，则 CD 与平面 BDC1所成 角的正弦值等于( ) 2 A. B. 3 3 3 2 1 C. D. 3 3 答案 A 解析 如图，连接 AC 交 BD于点 O，连接 C1O，过 C 作 CHC1O 于点 H. BD AC CH BD BD 平面ACC1A1 BD C1OO)CH平面 C1BD， BA DC AA1A)CH 平面ACC1A1 ) CH C1O HDC为 CD与平面 BDC1所成的角 5(2018黑龙江大庆实验中学期末)在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB4，点 D 在棱 BB1上， 若 BD3，则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正切值为( ) 2

22、3 2 39 A. B. 5 13 5 4 C. D. 4 3 答案 B 解析 取 AC 的中点 E，连接 BE，如图所示，可得ADEB(ABBD)EBABEB， 3 2 3 13 即 52 3cos42 3 ( 为AD 与EB 的夹 角)c，os sin， ta，n 2 5 5 39 2 39 ，又 BE平面 AA1C1C，所求角的正切值为 . 6 13 9 6(2016北京东城质量调研)在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90， 侧棱 AA12，D，E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G.则 A1B 与平面 ABD

23、 所成角的余弦值是( ) 2 A. B. 3 7 3 3 C. D. 2 3 7 答案 B 解析 以 C 为坐标原点，CA 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴，CC1所在直线为 z 轴，建立 直角坐标系，设 CACBa，则 A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)， a a a a 1 a a 2 E( ，1)，G( ， )，GE( ， )，BD(0，a，1)， 2 2 3 3 3 6 6 3 点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G， GE平面 ABD，GEBD0，解得 a2. 1 1 2 GE( ， )，BA1(2，2，2)，GE平面

24、ABD，GE为平面 ABD 的一个法向量 3 3 3 4 GEBA1 3 2 7 cos ，A1B 与平面 ABD 所成的角的余弦值为 . 6 3 3 |GE|BA1| 3 2 3 7(2018太原模拟)在三棱锥 ABCD 中，底面 BCD 为边长是 2 的正三角形，顶点 A 在底面 BCD 上的射影为BCD 的中心，若 E 为 BC 的中点，且直线 AE 与底面 BCD 所成角的正切值为 2 2， 则三棱锥 ABCD外接球的表面积为( ) A3 B4 C5 D6 答案 D 解析 顶点 A 在底面 BCD 上的射影为BCD 的中心，而且BCD 是正三角形， 三棱锥 ABCD是正三棱锥，ABAC

25、AD.令底面BCD 的重心(即中心)为P， 3 2 3 BCD是边长为 2 的正三角形，DE 是 BC边上的高，DE 3 P，E D，P . 3 3 10 2 6 直线 AE 与底面 BCD所成角的正切值为 2 即2，tanAEP2 2，AP ，AE2AP2EP2，AD2， 3 于是 ABACADBCCDDB2，三棱锥 ABCD为正四面体构造正方体由，面上的对角线构 6 成正四面体故， 正方体的棱长为 2，正方体的体对角线长为 6，外接球的半径为 ，外接球的表 2 6 面积为 4( )26. 2 8(2018江西临海上一中一模)已知在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 1.点 E 是棱

26、 A1B1的 中点，则直线 AE 与平面 BDD1B1所成角的正弦值是_ 答案 10 10 解析 取 AB 的中点为 F，连 接 B1F，过点 F 作 FGBD，垂足为 G，连接 B1G，由 正 方体性质知 BB1FG，BDBB1B，BD 平面 BDD1B1，BB1 平面 BDD1B1，所 以 FG平 2 5 面 BDD 故1B1，FB1G 为 FB1与平面 BDD1B1所成的角，所以 FG ，B1F ，所以 sin 4 2 2 4 10 10 FB1G .又因为 AEB1F，所以直线 AE与平面 BDD1B1所成角的正弦值是 . 5 10 10 2 9(2014福建，理)在平面四边形 ABC

27、D 中ABBDCD1，ABBD，CDBD. 将ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD平面 BCD，如图所示 (1)求证：ABCD； (2)若 M 为 AD中点，求直线 AD 与平面 MBC所成角的正弦值 答案 (1)略 (2) 6 3 解析 (1)平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，AB 平面 ABD，ABBD， AB平面 BCD. 又 CD 平面 BCD，ABCD. (2)过点 B 在平面 BCD内作 BEBD，如图所示 由(1)知 AB平面 BCD，BE 平面 BCD，BD 平面 BCD， ABBE，ABBD. 以 B 为坐标原点，分别以BE，BD，BA 的方向为 x

28、 轴，y 轴，z 轴的正方向建 立空间直角坐标系 1 1 依题意，得 B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M(0， 2)，则BC(1，1， ， 2 1 1 0)，BM(0， ，2)，AD(0，1，1) 2 11 设平面 MBC 的法向量 n n(x0，y0，z0)， x0y00， n nBC0， 则0，)即取 z01，得平面 MBC的一个法向量 n n(1，1，1) 1 1z00，) y0 n nBM 2 2 设直线 AD 与平面 MBC所成角为 ， |n nAD| 6 则 sin|cosn n，AD| ， 3 |n n|AD| 6 即直线 AD 与平面 M

29、BC所成角的正弦值为 . 3 10(2017浙江)如图，已知四棱锥 PABCD，PAD是以 AD为斜边的等腰直角三角形，BC AD，CDAD，PCAD2DC2CB，E 为 PD的中点 (1)证明：CE平面 PAB； (2)求直线 CE与平面 PBC 所成角的正弦值 解析 (1)如图，设 PA中点为 F，连接 EF，FB. 1 因 为 E，F 分别为 PD，PA中点，所以 EFAD 且 EF AD， 2 1 又因为 BCAD，BC AD，所以 EFBC 且 EFBC， 2 即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF，因此 CE平面 PAB. (2)分别取 BC，AD的中点为 M，N.连接

30、PN 交 EF于点 Q，连接 MQ. 因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF中点，在平行四边形 BCEF 中，MQCE. 由PAD 为等腰直角三角形得 PNAD. 由 DCAD，N 是 AD 的中点得 BNAD. 所以 AD平面 PBN， 由 BCAD 得 BC平面 PBN，那么平面 PBC平面 PBN. 过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH. MH是 MQ 在平面 PBC上的射影，所以QMH 是直线 CE与平面 PBC 所成的角 设 CD1. 在PCD 中，由 PC2，CD1，PD 2 得 CE 2， 12 1 在PBN 中，由 PNBN1，PB 3得 QH ， 4 1 在 RtMQH 中，QH ，MQ 2， 4 2 所以 sinQMH ， 8 2 所以，直线 CE 与平面 PBC所成角的正弦值是 . 8 13