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1、高考专题突破六 高考中的概率 与统计问题 【考点自测】 1(2018合肥模拟)某小区有 1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布 N(300,102)， 则用电量不低于 320 度的户数约为( ) (参考数据：若随机变量 服从正态分布 N(，2)，则 P(0，即 a2b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)， (3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值 满足 a2b2的有 6 个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 6 2
2、 所以所求事件的概率为 . 9 3 (2)(2017青岛模拟)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 4 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 .现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖， 6 则飞镖落在小正方形内的概率是_ 2 3 答案 2 解析 易知小正方形的边长为 31，故小正方形的面积为 S1( 31)242 3， S1 42 3 2 3 又大正方形的面积为 S224，故飞镖落在小正方形内的概率 P . S 4 2 题型二 求离散型随机变量的均值与方差 例 2 (2017南京模拟)最强大脑是江苏卫视推出的国内首档大型科学类真人秀电视节 目该节目集结了国内外最顶尖
3、的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克某校为了增强学生的记 忆力和辨识力也组织了一场类似最强大脑的 PK赛，A，B两队各由 4 名选手组成，每局两 队各派一名选手 PK，除第三局胜者得 2 分外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分假 设每局比赛两队选手获胜的概率均为 0.5，且各局比赛结果相互独立 (1)求比赛结束时 A队的得分高于 B队的得分的概率； (2)求比赛结束时 B队得分 X的分布列和均值 解 (1)记第 i局 A队胜为事件 Ai(i1,2,3,4)， 比赛结束时 A队得分高于 B队得分的事件记为 C， 1 则 P(C)P(A1A2A3A4)P(A3)1P(A1A2A4) .
4、2 (2)X的可能取值为 0,1,2,3,4,5. 1 则 P(X0)P(A1A2A3A4) ， 16 1 3 P(X1)C 13(2 )4 ， 16 1 1 P(X2)P(A1A2A3A4)C 23(2 )4 ， 4 1 3 P(X4)C 23(2 )4 ， 16 1 P(X5) ， 16 1 3 1 1 3 1 P(X3)1 . 16 16 4 16 16 4 5 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 1 16 3 16 1 4 1 4 3 16 1 16 1 3 1 1 3 1 5 EX0 1 2 3 4 5 . 16 16 4 4 16 16 2 思维升华 离散型随机变量的均值
5、和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量 的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二 是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量， 应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应 跟踪训练 2 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出 现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年现从该厂已售 出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故障时间 x(年) 02 02 轿车数量(辆) 2
6、3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1，生产一辆乙品牌轿车的 利润为 X2，分别求 X1，X2的分布列； (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若 从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由 23 1 解 (1)“”设 甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内 为事件 A，则 P(A) . 50 10 (2)依题意得，X1的分布列为
7、 X1 1 2 3 P 1 25 3 50 9 10 X2的分布列为 X2 1.8 2.9 P 1 10 9 10 6 1 3 9 (3)由(2)得 EX11 2 3 25 50 10 143 2.86(万元)， 50 1 9 EX21.8 2.9 2.79(万元) 10 10 因为 EX1EX2，所以应生产甲品牌轿车 题型三 概率与统计的综合应用 例 3 (2018济南模拟)2018年 6 月 14 日至 7 月 15 日， 第 21 届世界杯足球赛将于俄罗斯举行， 某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的 40 名 大学生的成绩分组：第 1 组75,80
8、)，第 2 组80,85)，第 3 组85,90)，第 4 组90,95)，第 5 组95,100)，得到的频率分布直方图如图所示： (1)分别求出成绩在第 3,4,5组的人数； (2)现决定在笔试成绩较高的第 3,4,5组中用分层抽样抽取 6 人进行面试 已知甲和乙的成绩均在第 3 组，求甲或乙进入第二轮面试的概率； 若从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试，设第 4 组中有 X 名学生被考官 D 面 试，求 X 的分布列和均值 解 (1)由频率分布直方图知： 第 3 组的人数为 50.064012. 第 4 组的人数为 50.04408. 第 5 组的人数为 50.02
9、404. (2)利用分层抽样，在第 3 组、第 4 组、第 5 组中分别抽取 3 人、2 人、1 人 “”设 甲或乙进入第二轮面试 为事件 A，则 C130 5 P(A)1 ， C132 11 5 所以甲或乙进入第二轮面试的概率为 . 11 X 的所有可能取值为 0,1,2， C24 2 C12C14 8 P(X0) ，P(X1) ， C26 5 C26 15 7 C 1 2 P(X2) . C26 15 所以 X的分布列为 X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 2 8 1 10 2 EX0 1 2 . 5 15 15 15 3 思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已
10、成为近几年高考的一大亮点和热 点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 跟踪训练 3 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获得利润 500 元， 未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直 方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位： t,100X5.024， 105 75 90 90 7 所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下能认为科类的选择与性别有关 思维升华 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率 计算为主
11、，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应 起来，只有这样才能有效地解决问题 跟踪训练 4 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，其中女性有 55名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时 间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于 40“分钟的观众称为 体育迷” (1)根据已知条件完成下面的 22 列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每 次抽
12、取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结 果是相互独立的，求 X的分布列、均值 EX和方差 DX. nadbc2 附：2 . abcdacbd P(2k) 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 解 (1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为 100(100.020100.005)25， “”非体育迷 人数为 75，从而 22 列联表如下： 10 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 22 列联表的数据代入公式计算，得 nadbc2 2 abcda
13、cbd 100 30 1045 152 45 55 75 25 100 3.030. 33 因为 2.70683838790a99， 得 a8， 有 8 种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观 众的平均人数， 8 4 所求概率为 . 10 5 (2)由表中数据，计算得x35，y3.5， 4 i1x iyi4x y 5254 35 3.5 7 b ， 4 5 4004 352 100 i1x 2i4x2 7 21 aybx3.5 35 . 100 20 7 21 y x . 100 20 当 x55时，y4.9. 即预测年龄为 55 岁的观众周均学习成语知识的
14、时间为 4.9小时 6为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近 50多年气象数 据资料的统计分析，发现 8 月份是该市雷电天气高峰期，在 31 天中平均发生雷电 14.57天(如 图所示)如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立 14 (1)求在该市运动会开幕(8 月 12日)后的前 3 天比赛中，恰好有 2 天发生雷电天气的概率(精 确到 0.01)； (2)设运动会期间(8 月 12 日至 23日，共 12天)，发生雷电天气的天数为 X，求 X的均值和方 差 14.57 解 (1)设 8 月份一天中发生雷电天气的概率为 p，由已知，
15、得 p 0.47.因为每一天发 31 生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前 3 天比赛中，恰好有 2 天发 生雷电天气的概率 PC230.472(10.47)0.351 2310.35. (2)由题意，知 XB(12,0.47) 所以 X的均值 EX120.475.64， X的方差 DX120.47(10.47)2.989 2. 7将某质地均匀的正十二面体玩具的十二个面上分别标记数字 1,2,3，12.抛掷该玩具一 次，记事件 A：向上的面标记的数字是完全平方数(即能写成整数的平方形式的数，如 932， 9 是完全平方数) (1)甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定： 甲
16、抛掷该玩具一次，若事件 A发生，则向上一面的点数的 6 倍为甲的得分；若事件 A没有发 生，则甲得 0 分； 乙抛掷该玩具一次，将向上的一面对应数字作为乙的得分 ()甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的均值； ()甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率； (2)抛掷该玩具一次，记事件 B：向上一面的点数不超过 k(1k12)若事件 A与 B相互独立， 试求出所有的整数 k. 解 (1)设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为 X，Y. ()易得 X，Y的分布列分别为 点数 1 4 9 其他 X 6 24 54 0 15 P 1 12 1 12 1 12 9 12 点数 1 2 1
17、2 Y 1 2 12 P 1 12 1 12 1 12 13 故 EX7，EY . 2 ()PP(X6,1Y6)P(X24)P(X54) 1 6 1 1 5 . 12 12 12 12 24 (2)易知抛掷该玩具一次，基本事件总数为 12，事件 A包含 3 个基本事件(1点，4 点，9 点) 记 n(AB)，n(B)分别表示事件 AB，B包含的基本事件数，由 P(AB)P(A)P(B)及古典概型， nAB 3 nB 得 ，所以 n(B)4n(AB)， 12 12 12 故 B事件包含的基本事件数必为 4 的倍数， 即 k4,8,12， 当 k4 时，n(B)4，AB1,4，n(AB)2，不符合， 当 k8 时，n(B)8，AB1,4，n(AB)2，符合， 当 k12时，n(B)12，AB1,4,9，n(AB)3，符合， 故 k的所有可能值为 8 或 12. 16