《2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角函数的图像与性质学案理北师大版20180.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角函数的图像与性质学案理北师大版20180.wps（37页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、4.34.3 三角函数的图像与性质 最新考纲 考情考向分析 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x的 以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉 图象，了解三角函数的周期性 及三角函数的图象及应用、图象的对称性、 2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性 单调性、周期性、最值、零点考查三角函 质(如单调性、最大值和最小值，图象与 x轴 数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数 形结合思想、函数与方程思想的应用意识题 的交点等)，理解正切函数在区间( ) 2 ， 2 型既有选择题和填空题，又有解答题，中档 内的单调性. 难度. 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数 ys
2、in x，x0,2的图像中，五个关键点是：(0,0)，( ，1)，(，0)， 2 3 ( ，1) ，(2，0) 2 (2)在余弦函数 ycos x，x0,2的图像中，五个关键点是：(0,1)，( ，0)，(，1)， 2 3 ( ，0) ，(2，1) 2 2正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 kZ Z) 函数 ysin x ycos x ytan x 图像 定义域 R R R R x|xR R，且xk 2 值域 1,1 1,1 R R 周期性 2 2 1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 2k ，2k 2 2k，2k (k ，k 2) 2 2 3 递减区间 2k ，2k 2 2k，
3、2k 无 2 k 对称中心 (k ， 0) (k ，0) ( ，0) 2 2 对称轴方程 xk 2 x k 无 知识拓展 1对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称 1 中心与 对称轴之间的距离是 个周期 4 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2奇偶性 若 f(x)Asin(x)(A，0)，则： (1)f(x)为偶函数的充要条件是 k(kZ Z)； 2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是 k(kZ Z) 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(“”“请在括号中打或 ”) (1)ysin x在第一、第四象限上是增函数( )
4、 2 2 (2)由 sin( 3 )sin 知， 是正弦函数 ysin x(xR R)的一个周期( ) 6 6 3 (3)正切函数 ytan x在定义域内是增函数( ) (4)已知 yksin x1，xR R，则 y的最大值为 k1.( ) (5)ysin|x|是偶函数( ) 题组二 教材改编 2函数 f(x)cos(2x 4)的最小正周期是 答案 3y3sin(2x 6)在区间0， 2上的值域是 2 3 答案 ，3 2 5 解析 当 x0， 2时，2x 6 6 ， ， 6 1 sin(2x 6) ，1， 2 3 故 3sin(2x 6) ，3， 2 3 即 y 3sin(2x 6)的值域为
5、，3. 2 4ytan 2x 的定义域是 答案 Error! k 解析 由 2xk ，kZ Z，得 x ，kZ Z， 2 2 4 ytan 2x 的定义域是Error!. 题组三 易错自纠 5下列函数中最小正周期为 且图像关于直线 x 对称的是( ) 3 Ay2sin(2x 3) By2sin(2x 6) x Cy2sin( 3) Dy2sin(2x 3) 2 答案 B 2 解析 函数 y2sin(2x 6)的周期 T ， 2 又 sin(2 6)1， 3 函数 y2sin(2x 6)的图像关于直线 x 对称 3 6函数 f(x)4sin( 2x)的递减区间是 3 5 ，k 答案 k (kZ
6、Z) 12 12 解析 f(x)4sin( 2x)4sin(2x 3). 3 所以要求 f(x)的递减区间， 只需求 y4sin(2x 3)的递增区间 由 2k2x 2k(kZ Z)，得 2 3 2 3 5 kx k(kZ Z) 12 12 所以函数 f(x)的递减区间是 5 k， k (kZ Z) 12 12 7cos 23，sin 68，cos 97的大小关系是 答案 sin 68cos 23cos 97 解析 sin 68cos 22， 又 ycos x 在0，180上是减函数， sin 68cos 23cos 97. 题型一 三角函数的定义域和值域 1函数 f(x)2tan(2x 6)
7、的定义域是( ) A.Error! B.Error! C.Error! D.Error! 答案 D k 解析 由正切函数的定义域，得 2x k ，kZ Z，即 x (kZ Z)，故选 D. 6 2 2 6 2函数 y sin xcos x的定义域为 5 答案 2k ，2k 4 (kZ Z) 4 解析 方法一 要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图像，在同一坐标系中画出 0,2上 ysin x 和 ycos x 的图像，如图所示 5 在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为 ， ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以 4 4 原函数的定义域为 Error!. 方法二
8、利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示) 4 所以定义域为 Error!. 3(2017郑州月考)已知函数 f(x)sin(x 6)，其中 x ，a，若 f(x)的值域是 3 1 ，1，则实数 a 的取值范围是 2 答案 ， 3 解析 x ，x ， ，a 6 ，a 6 3 6 1 当 x 2时，f(x)的值域为 ，1， 6 ， 6 2 7 由函数的图像(图略)知 a ， a. 2 6 6 3 4(2018长沙质检)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为 1 答案 2，1 2 1t2 解析 设 tsinxcosx，则 t2sin2xcos2x2sinxcos
9、x，sinxcosx ，且 2 2 t 2. t2 1 1 y t (t1)21，t 2， 2 2 2 2 当 t1 时，ymax1； 1 当 t 2时，ymin 2. 2 1 函数的值域为 2，1. 2 思维升华 (1)三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像 来求解 (2)三角函数值域的不同求法 利用 sin x 和 cos x 的值域直接求； 把所给的三角函数式变换成 yAsin(x)(A，0)的形式求值域； 通过换元，转换成二次函数求值域 5 题型二 三角函数的单调性 命题点 1 求三角函数的单调性 典例 (1)函数 f
10、(x)tan(2x 3)的递增区间是( ) k k 5 A. (kZ Z) ， 12 2 12 2 k k 5 B.( 12)(kZ Z) ， 2 12 2 2 C.(k (kZ Z) ，k 3 ) 6 5 D.k (kZ Z) ，k 12 12 答案 B 解析 由 k 2x k (kZ Z)， 2 3 2 k k 5 得 x (kZ Z)， 2 12 2 12 所以函数 f(x)tan(2x 3)的递增区间是 k k 5 ( 12) ， (kZ Z)，故选 B. 2 12 2 1 3 (2) (2017哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数 y sinx cosx 的递 2 2 (x 0，
11、2) 增区间是 答案 0， 6 1 3 解 析 y sin x 2 cos xsin(x 3)， 2 由 2k x 2k (kZ Z)， 2 3 2 5 解得 2k x2k (kZ Z) 6 6 5 函数的递增区间为2k (kZ Z)， ，2k 6 6 6 又 x0， 2，递增区间为0， 6. 命题点 2 根据单调性求参数 典例 已知 0，函数 f(x)sin(x 4)在( ，)上是减少的，则 的取值范围 2 是 1 5 答案 4 ， 2 解析 由 x，0，得 2 x ， 2 4 4 4 3 又 ysin x 的递减区间为2k 2 ，kZ Z， ，2k 2 所以 Error!kZ Z， 1 5
12、 解得 4k 2k ，kZ Z. 2 4 1 5 5 1 5 又由 4k2(2k4)0，kZ Z 且 2k 0，kZ Z，得 k0，所以 4 . 4 ， 2 引申探究 本例中，若已知 0，函数 f(x)cos(x 4)在( ，)上是增加的，则 的取值范围 2 是 3 7 答案 4 ， 2 解析 函数 ycos x 的递增区间为2k，2k，kZ Z，则 Error!kZ Z， 5 1 解得 4k 2k ，kZ Z， 2 4 5 1 1 又由 4k 0，kZ Z 且 2k 0，kZ Z， 2 (2k4) 4 3 7 得 k1，所以 ，4 . 2 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如
13、 yAsin(x)或 yAcos(x)(其中 0)“的单调区间时，要视x” 为一个整体，通过解不等式求解但如果 0，可借助诱导公式将 化为正数，防止把单 调性弄错 (2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 跟踪训练 (2017济南模拟)若函数 f(x)sin x(0)在区间0， 3上是增加的，在区间 7 2 ， 上是减少的，则 等于( ) 3 2 3 A. B. 3 2 C2 D3 答案 B T 解析 由已知得 ， 4 3 4 2 3 T ， . 3 T 2 题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 命题点 1 三角函数的周期性 典例 (1) 在函数yc
14、os|2x|，y|cosx|，ycos(2x 6)，ytan(2x 4)中，最小 正周期为 的所有函数为( ) A B C D 答案 A 解析 ycos|2x|cos 2x，最小正周期为 ； 由图像知 y|cos x|的最小正周期为 ； 2 ycos(2x 6)的最小正周期 T ； 2 ytan(2x 4)的最小正周期 T ，故选 A. 2 (2)若函数 f(x)2tan(kx 3)的最小正周期 T 满足 1 0，| 2)，x 为 f(x) 4 5 的零点，x 为 yf(x)图像的对称轴，且 f(x)在 36)上单调，则 的最大值 4 ( ， 18 为 答案 9 T kT 解析 因为 x 为
15、f(x)的零点，x 为 f(x)的图像的对称轴，所以 4 ( 4 ) ， 4 4 4 2 2k1 2k1 2 5 5 即 T ，所以 2k1(kN N)，又因为 f(x)在( ， 36)上单调，所以 2 4 4 18 36 T 2 ，即 12， 18 12 2 2 若 11，又| ，则 ， 2 4 3 3 5 此时，f(x)sin(11x 4)，f(x)在( 上是增加的，在 ， 上是减少的，不满足 ， 44) ( 36) 18 44 条件 若 9，又| ，则 ， 2 4 5 此时，f(x)sin(9x 4)，满足 f(x)在( ， 36)上单调的条件 18 由此得 的最大值为 9. 思维升华
16、(1)对于函数 yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中 心的横坐标一定是函数的零点 9 (2)求三角函数周期的方法 利用周期函数的定义 2 利用公式：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为 ，ytan(x) | 的最小正周期为 . | 跟踪训练 (1)(2017安徽江南十校联考)已知函数 f(x)sin(x)( 0，| 0，0)若 f(x)在区间 2上 ， 6 2 具有单调性，且 f(2 )f(3 )f(6 )，则 f(x)的最小正周期为 解析 (1)A项，因为 f(x)cos(x 3)的周期为 2k(kZ Z)，所以 f(x)的一个周期为2， A 项正确；
17、 B 项，因为 f(x)cos(x 3)图像的对称轴为直线 xk (kZ Z)，所以 yf(x)的图像关 3 8 于直线 x 对称，B 项正确； 3 4 4 5 C 项，f(x)cos(x 3 ).令 x k (kZ Z)，得 xk ，当 k1 时，x 3 2 6 ，所以 f(x)的一个零点为 x ，C 项正确； 6 6 2 D 项，因为 f(x)cos(x 3)的递减区间为2k ，2k 3 (kZ Z)， 3 11 2 5 递增区间为2k 3 (kZ Z)， ，2k 3 2 2 所以( ， 是 f(x)的递减区间， ，)是 f(x)的递增区间，D 项错误 3 ) 2 3 故选 D. 5 1
18、(2)由图像知，周期 T2( 2， 4 ) 4 2 2，. 1 由 2k，kZ Z，不妨取 ， 4 2 4 f(x)cos(x 4). 1 3 由 2k0时，Error!a3 23，b5； 当 a0，函数 f(x)2asin(2x 6)2ab，当 x0， 2时， 5f(x)1. (1)求常数 a，b 的值； (2)设 g(x)f (x 2)且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间 7 解 (1)x0， 2，2x 6 6 ， ， 6 1 sin(2x 6) ，1， 2 2asin(2x 6)2a，a， f(x)b,3ab，又5f(x)1， b5,3ab1，因此 a2，b5. (2)由(1)得
19、 f(x)4sin(2x 6)1， 7 g(x)f(x 2)4sin(2x 6 )1 4sin(2x 6)1， 又由 lg g(x)0，得 g(x)1， 1 4sin(2x 6)11，sin(2x 6) ， 2 5 2k 2x 2k ，kZ Z， 6 6 6 其中当 2k 2x 2k ，kZ Z 时， 6 6 2 g(x)是增加的，即 kxk ，kZ Z， 6 g(x)的递增区间为(k，k 6，kZ Z. 5 又当 2k 2x 2k ，kZ Z 时， 2 6 6 g(x)是减少的，即 k xk ，kZ Z. 6 3 g(x)的递减区间为(k ，k 3)，kZ Z. 6 18 g(x)的递增区间为(k，k 6，kZ Z， 递减区间为(k ，kZ Z. ，k 3) 6 19