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1、第10讲导数的概念及运算板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1函数yf(x)在xx0处的导数1定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y| xx0，即f(x0) .2几何意义函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)考点2基本初等函数的导数公式考点3导数的运算法则 若yf(x)，yg(x)的导数存在，则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)
2、g(x)；(3)(g(x)0)必会结论1f(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同2f(x0)不一定为0，但f(x0)一定为0.3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数4函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(2)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()(3)cos.()(4)若(ln x)，则ln x()答案
3、(1)(2)(3)(4)2课本改编f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值等于()A. B. C. D.答案D解析因为f(x)3ax26x，所以f(1)3a64，解得a.故选D.32018九江模拟已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3 B2 C1 D.答案B解析因为y3ln x，所以y.再由导数的几何意义，令，解得x2或x3(舍去)故选B.4课本改编若曲线yexaxb在点(0,2)处的切线l与直线x3y10垂直，则ab()A3 B1 C1 D3答案A解析因为直线x3y10的斜率为，所以切线l的斜率为3，即y|x0e0a1a3，所以a2；又曲线过点(0,2)，所以
4、e0b2，解得b1.故选A.52018秦皇岛模拟函数f(x)exln x在点(1，f(1)处的切线方程是()Ay2e(x1) Byex1Cye(x1) Dyxe答案C解析f(1)0，f(x)ex，f(1)e，切线方程是ye(x1)故选C.62018烟台诊断已知曲线yasinxcosx在x0处的切线方程为xy10，则实数a的值为_答案1解析因为yacosxsinx，y|x0a，根据题意知a1.板块二典例探究考向突破考向导数的基本运算例1求下列函数的导数：(1)y； (2)yx；(3)yxsincos； (4)yln x.解(1)y.(2)因为yx31，所以y3x2.(3)因为yxsinx，所以y
5、1cosx.(4)y(ln x).触类旁通导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导【变式训练】已知函数f(x)在x1处的导数为，则f(x)的解析式可能为()Af(x)x2ln xBf(x)xexCf(x)(3x24x)(2x1)Df(x)答案D解析A中f(x)x，B中f(x)(xex)exxex，C中f(x)6x35x24x，所以f(x)18
6、x210x4，D中f(x).分别将x1代入检验，知D符合考向导数几何意义的应用 命题角度1求切线的方程例22017全国卷曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_答案xy10解析y2x，y|x11，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1，切线方程为y2x1，即xy10.命题角度2求切点的坐标例32018江西模拟若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_答案(e，e)解析设P(x0，y0)，yxln x，yln xx1ln xk1ln x0.又k2，1ln x02，x0e，y0eln ee.点P的坐标是(e，e)命题角度3求参数的值例4已知f(x)ln x，g(x)x2
7、mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1 B3 C4 D2答案D解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.故选D.触类旁通求解曲线切线方程应注意的问题(1)对于曲线的切线方程的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握(2)对于已知的点，首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解核心规律1.f(x0)代表函数f(x)在
8、xx0处的导数值；f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即f(x0)0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误满分策略1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)nxn1与指数函数的求导公式(ax)axln a混淆2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点.板块三启智培优破译高考
9、易错警示系列3求曲线的切线方程考虑不全面致错 2018浙江杭州质检若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或 B1或C或 D或7错因分析(1)审题不仔细，未对(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，不知所措，无法与导数的几何意义联系解析yx3，y3x2.设过点(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k3x，所以切线方程为：yx3x(xx0)，即y3xx2x.又点(1,0)在切线上，则x00或x0.当x00时，由y0与yax2x9相切可得a；当x0时，由yx与yax2x9相切，得a1.综上，a1或
10、a.故选A.答案A答题启示(1)求曲线的切线方程，首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.(2)求解切线问题时，无论是已知切线的斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在.跟踪训练2018山西师大附中质检已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程解(1)根据已知得点P(2,4)是切点且yx2，所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y4.所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为yx.所以切线方
11、程为yx(xx0)，即yxxx.因为点P(2,4)在切线上，所以42xx，即x3x40，所以xx4x40，所以x(x01)4(x01)(x01)0，所以(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标1曲线y3ln xx2在点P0处的切线方程为4xy10，则点P0的坐标是()A(0,1) B(1，1)C(1,3) D(1,0)答案C解析由题意知y14，解得x1，此时41y10，解得y3，故点P0的坐标是(1,3)22018海南文昌中学模拟曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为()Ay3x1 By3x1Cy3x1
12、Dy2x1答案A解析依题意得y(x1)ex2，则曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线的斜率为(01)e023，故曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为y13x，即y3x1.故选A.32018大同模拟已知函数f(x)xsinxax，且f1，则a()A0 B1 C2 D4答案A解析f(x)sinxxcosxa，且f1，sincosa1，即a0.42018陕西检测已知直线yxm是曲线yx23ln x的一条切线，则m的值为()A0 B2 C1 D3答案B解析因为直线yxm是曲线yx23ln x的切线，所以令y2x1，得x1或x(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线yxm上，所
13、以m2，故选B.52018金版创新已知f(x)x22xf(2017)2017ln x，则f(1)()A2016 B6045 C2017 D6048答案D解析因为f(x)x2f(2017)，所以f(2017)20172f(2017)，即f(2017)201712016.故f(x)x22016，f(1)12201620176048.故选D.6直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab的值为()A1 B2 C5 D1答案A解析由题意可得3k1,31ab，则k2.又曲线的导函数y3x2a，所以3a2，解得a1，b3，所以2ab1.故选A.72018上饶模拟若点P是曲线yx2ln x上
14、任意一点，则点P到直线yx2的最小值为()A1 B. C. D.答案B解析因为定义域为(0，)，所以y2x1，解得x1，则在P(1,1)处的切线方程为xy0，所以两平行线间的距离为d.82015全国卷已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.答案1解析因为f(x)ax3x1，所以f(x)3ax21，所以f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为k3a1，又f(1)a2，所以切线方程为y(a2)(3a1)(x1)，因为点(2,7)在切线上，所以7(a2)3a1，解得a1.9直线x2ym0与曲线y相切，则切点的坐标为_答案(1,1)解析yx，yx，令yx，则x
15、1，则y1，即切点坐标为(1,1)102018江苏模拟在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_答案3解析由曲线yax2过点P(2，5)，得4a5.又y2ax，所以当x2时，4a，由得所以ab3.B级知能提升12018南昌模拟已知f(x)2exsinx，则曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为()Ay0 By2xCyx Dy2x答案B解析f(x)2exsinx，f(0)0，f(x)2ex(sinxcosx)，f(0)2，曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.2曲线f(x)在点(1，f
16、(1)处的切线的倾斜角为，则实数a()A1 B1 C7 D7答案C解析f(x)，f(1)tan1，即1，a7.32018陕西模拟设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_答案(1,1)解析yex，则yex在点(0,1)处的切线的斜率k1，又曲线y(x0)上点P处的切线与yex在点(0,1)处的切线垂直，所以y(x0)在点P处的切线的斜率为1，设P(a，b)，则曲线y(x0)上点P处的切线的斜率为y|xaa21，可得a1，又P(a，b)在y上，所以b1，故P(1,1)4已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1
17、)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf(x)相切，求l的直线方程解(1)f(x)1，因为曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，所以f(1)10，解得ae.(2)当a1时，f(x)x1，f(x)1.设切点为(x0，y0)，f(x0)x01kx01，f(x0)1k，得x0kx01k，即(k1)(x01)0.若k1，则式无解，x01，k1e.l的直线方程为y(1e)x1.52018苏州十校联考设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，故解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f(x)1知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得，y，从而得切线与直线x0交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，此定值为6.11