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1、河北省定州中学 20182018届高三数学下学期期中试题（承智班） 一、单选题 x y 2 2 1设 A ， B 为双曲线 2 2 0同一条渐近线上的两个不同的点，若向量 a b n ， AB 3且 ABn 1 0, 2 ，则双曲线的离心率为（ ） n A. 2 或 3 2 4 B. 3 或 3 2 4 C. 2 5 3 D. 3 2正方体ABCD A B C D 棱长为 3，点 E 在边 BC 上，且满足 BE 2EC ，动点 M 在正 1 1 1 1 方体表面上运动，并且总保持 ME BD ，则动点 M 的轨迹的周长为（ ） 1 A. 6 2 B. 4 3 C. 4 2 D. 3 3 3
2、设 函 数 f x是 定 义 在 ,0上 的 可 导 函 数 ， 其 导 函 数 为 f x， 且 有 2 f x xf x x ，则不等式x f x 4 f 2 0 的解集为（ ） 2 2 2018 2018 A. 2020, 0 B. ,2020 C. 2016, 0 D. ,2016 4过圆 ： 的圆心 的直线与抛物线 ： 相交于 ， 两点，且 ，则 点 到圆 上任意一点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 5已知函数 f x e e x ，若实数 m 满足 f log m f log m 2 f 1 ，则实数 x x 2 3 1 3 m 的取值范围为（ ） A. 0, 3 B
3、. 1 ,3 3 C. 0, 9 D. 0, 1 3, 3 6若存在实常数 k 和 b ，使得函数 Fx和 Gx对其公共定义域上的任意实数 x 都满足： - 1 - F x kx b 和Gx kx b 恒成立，则称此直线 y kx b 为 F x和Gx的“隔离直 1 f x x2 x R , 线”，已知函数 g x x 0 ,h x 2eln x,有下列命题： x F x f x g x在 1 x ,0 3 2 内单调递增； f x和 g x “之间存在 隔离直线”，且 b 的最小值为-4； f x和 g x “之间存在 隔离直线”，且 k 的取值范围是 ( 4，0 ； f x和 g x “之
4、间存在唯一的 隔离直线”y 2 ex e. 其中真命题的个数有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 7已知函数 y f x在 0， 上非负且可导，满足， xf x f x x x ,若 2 1 0 a b ,则下列结论正确的是( ) A. af b bf a B. af b bf a C. af a f b D. bf b f a e x 8已知函数 ln ，若 x 1是函数 f x的唯一极值点，则实数 k 的取值 f x k x x x 范围是（ ） A. ,e B. ,e C. e, D. e, 9已知F ， 1 F 是椭圆 2 x y 2 2 E : 1(a b
5、 0) 的两个焦点，过原点的直线l 交 E 于 A, B a b 2 2 两点， AF AF BF ，且 2 2 0 2 3 ，则 E 的离心率为（ ） | BF | 4 2 A. 1 2 B. 3 4 C. 2 7 D. 5 7 10已知函数 f x满足如下条件: 任意 x R ,有 f x f x 0 成立; 当 x 0 时, 1 f x x m x m m ;任 意 x R ,有 f x f x 1成立.则实数 m 的 2 3 2 2 2 2 取值范围是 - 2 - A. 6 6 , 6 6 B. 1 1 , 6 6 C. 3 3 , 3 3 D. 1 1 , 3 3 11将 7 个座位
6、连成一排，安排 4 个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ） A. 240 B. 480 C. 720 D. 960 12已知 F ， 1 F 分别为双曲线 2 x y 2 2 2 2 1(a 0,b 0) 的左焦点和右焦点，过 a b F 的直线l 与 2 双曲线的右支交于 A ， B 两点，AF F 的内切圆半径为 r ， 1 2 1 BF F 的内切圆半径为 r ， 1 2 2 1 2 2 若 r r ，则直线l 的斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 二、填空题 13设函数 的定义域为 ，若对于任意 ，当 时，恒有 ， 则称点 为函数 图象的对称中心.研究函数
7、的某一个对称中心，并 利用对称中心的上述定义，可得到 的值为_ 14已知抛物线 ，斜率为 的直线交抛物线于 ， 两点.若以线段 为直径的圆与抛物 线的准线切于点 ，则点 到直线 的距离为_ 15已知抛物线 ，过点 任作一条直线和抛物线 交于 、 两点，设点 ，连接 ， 并延长，分别和抛物线 交于点 和 ，则直线 过定点_ 16已知C 是平面 ABD 上一点， AB AD ， CB CD 1 若 AB 3AC ，则 ABCD _； 若 AP AB AD ，则 AP 的最大值为_ 三、解答题 - 3 - 17已知函数 . （1）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围； （2）若函数 有两个极值点，
8、试判断函数 的零点个数. 18已知动点 与 ， 两点连线的斜率之积为 ，点 的轨迹为曲线 ，过点 的 直线交曲线 于 ， 两点. （1）求曲线 的方程； （2）若直线 ， 的斜率分别为 ， ，试判断 是否为定值？若是，求出这个值；若不是， 请说明理由. 19在平面直角坐标系中，已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，动 圆 与圆 内切且与圆 外切. (1)求动圆圆心 的轨迹 的方程； (2)已知 与 为平面内的两个定点，过 点的直线与轨迹 交于 , 两点，求四边形 面积的最大值. 20已知无穷数列 a a Z 的前 n 项和为 n n S ，记 n S ， 1 S ， 2 S 中奇数的个数为b n
9、 n ()若 a = n，请写出数列 b 的前 5 项； n n ()求证：“a 为奇数， 1 a (i = 2,3,4,.”“）为偶数 是 数列 b ”是单调递增数列 的充 i n 分不必要条件； ()若 a b ，i=1, 2, 3,，求数列 a 的通项公式. i i n 21已知点 P 3 1, 在椭圆C ： x y 2 2 上， F 1, 0是椭圆的一个焦点 2 a b 2 2 1( 0) a b （ ）求椭圆C 的方程； - 4 - （ ）椭圆 C 上不与 P 点重合的两点 D ， E 关于原点 O 对称，直线 PD ， PE 分别交 y 轴于 M ， N 两点求证：以 MN 为直径
10、的圆被直线 3 y 截得的弦长是定值 2 22 已 知 函 数 f x x be a， (b 0) ， 在 1, f 1处 的 切 线 方 程 为 x e 1x ey e 1 0 . （1）求 a ， b ； （2）若方程 f x m 有两个实数根x ， 1 x ，且 2 x x ，证明： x x 1 m 1 2e 1 2 2 1 1 e . 23已知抛物线 E : y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线l 与抛物线交于 A, B 两点，交 y 轴于 点C,O 为坐标原点. （1）若 k k 4 ,求直线l 的方程； OA OB S （2）线段 AB 的垂直平分线与直线l, x 轴， y
11、 轴分别交于点 D,M , N ，求 NDC S FDM 的最小值. 24椭圆 C : x y 2 2 的左、右焦点分别为 F 、 2 2 1(a b 0) 2 1,0 1 1,0 F ，若椭圆过点 a b 3 1, 2 . （1）求椭圆C 的方程； （2）若 A, B 为椭圆的左、右顶点， P x0 , y0 （ 0 , 0 y ）为椭圆上一动点，设直线 AP, BP 0 0 分别交直线l ： x 6 于点 M , N ，判断线段 MN 为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定 点坐标；若不恒过定点，说明理由. - 5 - 参考答案 BABAA CAADA 11B 12D 13 14 15 1
12、6 3 2 4 17（ 1） （2）3 （1）令 ，由题意知 的图象与 的图象有两个交点. . 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减. . 又 时， ， 时， . 又 时， . 综上可知，当且仅当 时， 与 的图象有两个交点，即函数 有两个零点. （2）因为函数 有两个极值点， 由 ，得 有两个不同的根 ， （设 ）. - 6 - 由（1）知， ， ，且 ， 且函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增， 则 . 令 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， 故 ， .又 ， ； ， ， 所以函数 恰有三个零点. 18（1） （2） （1）设点 ，由题知， ， 整理，得曲线
13、 ： ，即为所求. （2）由题意，知直线 的斜率不为 0，故可设 ： ， ， ， 设直线 的斜率为 ，由题知， ， ， 由 ，消去，得 ，所以 ， 所以 . - 7 - 又因为点 在椭圆上，所以 ，所以 ，为定值. 19(1) (2)6 (1)设动圆 的半径为，由题意知 从而有 ，故轨迹 为以 为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 并去 除点 ，从而轨迹 的方程为 . （2）设的方程为 ，联立 ， 消去得 ，设点 ， 有 则 ， 点 到直线的距离为 ，点 到直线的距离为 ， 从而四边形 的面积 令 ，有 ，函数 在 上单调递增， 有 ，故 ，即四边形 面积的最大值为 . 20(1)见解析;(2)见解
14、析;(3) a 0. n （ ）解： b1=1， b2 =2 ， b3 =2 ， b ， 4 =2 b 5 =3 （ ）证明：（充分性） 因为 a 为奇数， 2,3, 4, a i 为偶数，1 i - 8 - 所以，对于任意i N *，S 都为奇数 i 所以 b n n 所以数列 b 是单调递增数列 n （不必要性） 当数列 a 中只有 a 是奇数，其余项都是偶数时， n 2 S 为偶数， 2,3, 4, S i 均为奇数， 1 i 所以 1 b 是单调递增数列 b n ，数列 n n “所以 a 为奇数， a i 2, 3, 4, ”“为偶数 不是 数列 b ”是单调递增数列 的必要条件；1
15、 i n “综上所述， a 为奇数， a i 2, 3, 4, ”“为偶数 是 数列 b ”是单调递增数列 的充分1 i n 不必要条件 （）解：（1）当 a 为奇数时， k 如果 S 为偶数， k 若 a 为奇数，则 Sk1 为奇数，所以bk1 bk 1 ak 1为偶数，与 a b 矛盾； k 1 k 1 k 1 若 a 为偶数，则 Sk1 为偶数，所以bk1 bk ak 为奇数，与 a b 矛盾 k 1 k 1 k 1 所以当 a 为奇数时， k S 不能为偶数 k （2）当 a 为偶数时， k 如果 S 为奇数， k 若 a 为奇数，则 Sk1 为偶数，所以bk1 bk ak 为偶数，与
16、 a b 矛盾； k 1 k 1 k 1 若 a 为偶数，则 Sk1 为奇数，所以bk1 bk 1 ak 1为奇数，与 a b 矛盾 k 1 k 1 k 1 所以当 a 为偶数时， k S 不能为奇数 k 综上可得 a 与 S 同奇偶 k k 所以 S a 为偶数 n n 因为 S S a 为偶数，所以 a 为偶数 n n 1 n 1 n 1 1 0 因为 a b S 为偶数，且 0 b 1，所以b a 1 1 1 1 - 9 - 因为 a2 b2 b1 11，且b2 0，所以b2 a2 0 以此类推，可得 a 0 n 21（） x y （ ）见解析 2 2 1 4 3 （ ）依题意，椭圆的另
17、一个焦点为 F1, 0，且 c 1 2 2 a 2 3 2 3 因为 ， 2 2 0 4 2 2 所以 a 2， b a2 c2 3 ， 所以椭圆C 的方程为 x y 2 2 1 4 3 （ ）证明：由题意可知 D ， E 两点与点 P 不重合 因为 D ， E 两点关于原点对称， 所以设 Dm,n， E m,n， m 1 设以 MN 为直径的圆与直线 y 交于 , 3 , , 3 ( 0) 3 G t H t t 2 2 2 两点， 所以GM GN 3 n 3 2 1 直线 PD ： y x 2 m 1 当 x 0 时， y 3 2 n 3 m 1 2 ，所以 M 3 n 3 2 0, m
18、1 2 3 n 3 2 1 直线 PE ： y x 2 m 1 当 x 0 时， y 3 2 n 3 m 1 2 ，所以N 3 n 3 2 0, m 1 2 3 n 2 所以 GM t, m 1 ， 3 n 2 GN t, m 1 ， - 10 - 因为GM GN ，所以GM GN 0， 2 4n 9 GM GN t 2 所以 4 m 1 2 0 因为 m n ，即 2 2 1 3m2 4n2 12 ， 4n2 9 33m2 ， 4 3 所以t2 3 0 ，所以 3 t 4 2 3 3 所以 2 2 G , ，H 3 3 , 2 2 ， 所以 GH 3 所以以 MN 为直径的圆被直线 3 y
19、截得的弦长是定值 3 2 22（1） a 1， b 1；（2）见解析 【解析】试题分析： 1在1, f 1处的切线方程为e 1x ey e 1 0 ，求导算出切 线方程即可求出结果2构造 F x f x hx，求导，得 F x在区间,1上单调 递减，在区间1,上单调递增，设 hx m 的根为 x ，证得 x x ，讨论证 得t x m x x ，讨论证得t x m 1 1 1 的根为 x ， x x ，从而得证结论 2 2 2 解析：（1）由题意 f 1 0，所以 f 1 1 b 1 a 0 e ， b 1 又 f x x b 1e a ，所以 x f a 1 1 ， e e 1 若 a ，则
20、b 2 e 0 ，与b 0矛盾，故 a 1， b 1. e （2）由（ ）可知 f x x 1e 1， f 0 0, f 1 0， x 设 在(-1，0)处的切线方程为 ， 1 易得， h x x 1 1 e ，令 F x f x hx 1 即 F x x 1 ex 1 1 x 1 e 1 ， ， F x x 2 ex， ， e 1 1 F x x 2 ex 0 e e 当 x 2时， - 11 - 当 x 2时， 1 设 2 x ， Gx x 3e 0 ， x G x F x x e e 故函数 Fx在2,上单调递增，又 F1 0， 所以当 x,1时， Fx 0 ，当 x1,时， Fx 0
21、， 所以函数 F x在区间,1上单调递减，在区间1,上单调递增， 故 ， f x h x ， 1 1 设 hx m 的根为 me x ，则 x 1 1 1 1 e ， 又函数 hx单调递减，故 h x f x h x ，故 x x ， 1 1 1 1 1 设 y f x在(0,0)处的切线方程为 y t x，易得t x x， 令T x f xt x x 1e 1 x ， 2 2 T x x ex ，x 当 x 2时， 2 2 2 0 T x x ex ， 当 x 2时， 故函数Tx在2,上单调递增，又T0 0 ， 所以当 x,0时， Tx 0，当 x0,时， Tx 0， 所以函数T x在区间,
22、0上单调递减，在区间0,上单调递增， ， f x t x ， 2 2 设t x m 的根为x ，则 x m ， 2 2 又函数t x单调递增，故 t x f x t x ，故 x x ， 2 2 2 2 2 又 x x ， 1 1 m 1 2e me x x x x m 1 1 2 1 2 1 1 e 1 e . 23（ 1） x y 1 0 ；（2）2 - 12 - （1）设直线 l 的方程为 xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， y2 4x 由 x my 1 得 y24my40， y1y24m，y1y24所以 kOAkOB 4 4 y y 4 4m4 1 2 y y y y 1
23、2 1 2 所以 m1，所以 l 的方程为 xy10 （2）由（1）可知，m0，C(0， 1 m )，D(2m21，2m) 则直线 MN 的方程为 y2mm(x2m21)，则 M(2m23，0)，N(0，2m33m)，F(1，0)， SNDC 1 2 |NC|xD| 1 2 |2m33m 1 m 2 （ m2 1) 2m2 1 |(2m21) 2 | m| ， SFDM 1 2 |FM|yD| 1 2 (2m22)2|m|2|m| (m21)， S 则 NDC S FDM 2 2 1 1 m 2 m 12， 2 4m 4m 2 2 当且仅当 m2 1 4m 2 ，即 m2 1 2 时取等号 S
24、 所以， NDC S FDM 的最小值为 2 24(1) x y ；(2)答案见解析. 2 2 1 4 3 (1)由已知 c 1， a2 b2 1 3 椭圆过点 1, ， 2 9 1 4 1 a b 2 2 联立得 a2 4， b2 3 椭圆方程为 x y 2 2 1 4 3 - 13 - （2）设 Px y ，已知 A2, 0, B2, 0 0 , 0 y0 0 ，x0 2 AP, BP 都有斜率 y y 0 0 k ,k AP BP x 2 x 2 0 0 k k AP BP y 2 0 x2 0 4 x y 2 2 0 0 1 4 3 2 x y0 3 1 2 0 4 2 x 3 1 0 4 3 将代入得 k k AP BP 2 x 4 4 0 设 AP 方程 y k x 2 3 BP 方程 4k y x 2 3 M 6,8k , N 6, k 由对称性可知，若存在定点，则该定点必在 x 轴上，设该定点为T t,0 则TM TN - 14 - 3 TM TN t k t t 6 ,8 6 , 6 24 0 2 k 6 t 24 ，t 6 2 6 2 存在定点6 2 6,0或6 2 6,0以线段 MN 为直径的圆恒过该定点. - 15 -