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1、2.3.32.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 目标定位 1.证明并掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形 语言描述定理.2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.“理解 平行”与“”垂直 之间的相互转化. 自 主 预 习 1.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 Error!Error!ab 图形语言 线面垂直 线线平行 作用 作平行线 2.平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面 文字语言 垂直 符号语言 Error!Error!a 图形语言
2、面面垂直 线面垂直 作用 作面的垂线 即 时 自 测 1.判断题 (1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面.() (2)垂直于同一平面的两个平面平行.() (3)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直 线在第一个平 面内.即 ，A，Ab，bb.() (4)如果平面 平面 ，那么平面 内的所有直线都垂直于平面 .() 提示 (2)垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行. (4)直线与平面 位置关系不确定. 2.ABC所在的平面为 ，直线 lAB，lAC，直线 mBC，mAC，则直线 l，m的位置关系 是( ) 1 A.相交 B.异面 C.平行
3、 D.不确定 解析 因为 lAB，lAC，AB，AC且 ABACA，所以 l，同理可证 m，所以 lm. 答案 C 3.在长方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB 上任取一点 E，作 EFA1B1于 F，则 EF 与平面 A1B1C1D1的关 系是( ) A.平行 B.EF 平面 A1B1C1D1 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 解析 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 A1ABB1平面 A1B1C1D1且平面 A1ABB1平面 A1B1C1D1 A1B1，又 EF 面 A1ABB1，EFA1B1，EF平面 A1B1C1D1，答案 D 正确. 答案 D 4.已知 a、b 为直线，、
4、 为平面.在下列四个命题中，正确的命题是_(填序号). 若 a，b，则 ab；若 a，b，则 ab；若 a，a，则 ； 若 b，b，则 . “解析 由”“垂直于同一平面的两直线平行 知真；由 平行于同一平面的两直线平行或异面 ”“”或相交 知假；由 垂直于同一直线的两平面平行 知真；易知假. 答案 类型一 直线与平面垂直的性质及应用 【例 1】 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，EF 与异面直线 AC、A1D 都垂直相交. 求证：EFBD1. 证明 如图所示，连接 AB1、B1D1、B1C、BD， 2 DD1平面 ABCD，AC 平面 ABCD，DD1AC. 又 ACBD，DD1BDD
5、，AC平面 BDD1B1， 又 BD1 平面 BDD1B1，ACBD1. 同理可证 BD1B1C，又 ACB1CC，BD1平面 AB1C. EFA1D，A1DB1C，EFB1C. 又EFAC，ACB1CC， EF平面 AB1C，EFBD1. 规律方法 证明线线平行常有如下方法： (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点； (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线； (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 【训练 1】 如图，已知平面 平面
6、l，EA，垂足为 A，EB，垂足为 B，直线 a， aAB.求证：al. 证明 因为 EA，l，即 l，所以 lEA. 同理 lEB，又 EAEBE，所以 l平面 EAB. 因为 EB，a，所以 EBa，又 aAB，EBABB， 所以 a平面 EAB.因此，al. 类型二 平面与平面垂直的性质及应用 【例 2】 已知：、 是三个不同平面，l 为直线，l.求证： l. 证明 法一 设 a，b，在 内任取一点 P，过 P 在 内作直线 ma，n b，如图. 3 ，m，n， 又l， ml，nl，又 mnP，l. 法二 如图，a， b，在 内作 ma， 在 内作 nb. ，m，n，mn. 又n，m，m
7、， 又 l，m，ml，l. 规律方法 1.证明或判定线面垂直的常用方法有： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若 ab，a则 b；(a，b 为直线，为平面). (4)若 a，则 a；(a 为直线，为平面). 2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作 (找)与交线垂直的直线. 【训练 2】 设平面 平面 ，点 P 在平面 内，过点 P 作平面 的垂线 a，试判断直线 a 与平面 的位置关系. 解 如图，设 c，过点 P 在平面 内作直线 bc. 根据平面与平面垂直的性质定理有 b. 因为过一点有且只有一条直线与平面 垂直， 所
8、以直线 a 与直线 b 重合，因此 a. 4 类型三 线线、线面、面面垂直的综合应用(互动探究) 【例 3】 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，且DAB60，侧 面 PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG平面 PAD； (2)求证：ADPB. 思路探究 探究点一 运用面面垂直的性质定理的一般策略是什么？ 提示 运用面面垂直的性质定理时，一般要作辅助线：过其中一个平面内一点作交线的垂线. 这样就把面面垂直转化成线面垂直或线线垂直了. 探究点二 线线、线面、面面垂直关系之间有怎样的转化关系？ 提示
9、 证明 (1)在菱形 ABCD 中，DAB60， ABD 为正三角形，又 G 为 AD 的中点，BGAD. 又平面 PAD平面 ABCD，BG 平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCDAD，BG平面 PAD. (2)连接 PG，如图， PAD 为正三角形，G 为 AD 的中点，PGAD. 由(1)知 BGAD，PGBGG，AD平面 PGB， PB 平面 PGB，ADPB. 规律方法 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直 的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证 明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内； 5