《浙江专用2018版高中数学第四章圆与方程4.24.2.1直线与圆的位置关系学案新人教A版必修2201.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专用2018版高中数学第四章圆与方程4.24.2.1直线与圆的位置关系学案新人教A版必修2201.wps（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、4.2.14.2.1 直线与圆的位置关系 目标定位 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置 关系. 自 主 预 习 直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 个 1 个 0 个 几何法：设圆心到直线的距离 |AaBbC| A2B2 d dr 判定 方法 AxByC0 代数法：由（xa） 2（yb）2r2) 消元得到一元二次方程的判别式 0 0 0 时，即 m0 或 m0或 m2时，即 1， 所以点 A 在圆外. (1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k， 则切线方程为 y3k(x4).即 kxy34k0， 因为圆心 C(3，
2、1)到切线的距离等于半径 1， |3k134k| 所以 1，即|k4| k21， k21 15 所以 k28k16k21.解得 k . 8 15 所以切 线方程为 y3 (x4)， 8 即 15x8y360. (2)若直线斜率不存在， 圆心 C(3，1)到直线 x4 的距离也为 1， 3 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x4. 综上，所求切线方程为 15x8y360 或 x4. 规律方法 1.过一点 P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点 在圆外，切线有两条，一般设点斜式 yy0k(xx0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存 在的情况，若点在圆上，则切
3、线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜 式可直接得切线方程. 2.一般地圆的切线问题，若已知切点则用 k1k21(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的 斜率)列式，若未知切点则用 dr(d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式. 【训练 2】 求过点(1，7)且与圆 x2y225相切的直线方程. 解 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为 k，则切线方程为 y7k(x1)， |k7| 4 3 即 kxyk70. 5.解得 k 或 k . k21 3 4 4 3 所求切线方程为 y7 (x1)或 y7 (x1)， 3 4 即 4x3y250 或 3x4y250. 类型三 圆的弦
4、长问题 【例 3】 求直线 l：3xy60 被圆 C：x2y22y40 截得的弦长. 3xy60， 解 法一 由x 2y22y40，) 得交点 A(1，3)，B(2，0)， 弦 AB 的长为|AB| （21）2（03）2 10. 3xy60， 法二 由x 2y22y40，) 消去 y 得 x23x20. 设两交点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则由根与系数的关系得 x1x23，x1x22. |AB| （x2x1）2（y1y2）2 （x2x1）23x26（3x16）2 （132）（x2x1）2 10（x1x2）24x1x2 10 （324 2） 10， 即弦 AB 的
5、长为 10. 法三 圆 C：x2y22y40 可化为 x2(y1)25，其圆心坐标为(0，1)，半径 r 5， |3 016| 10 点(0，1)到直线 l 的距离为 d ， 3212 2 4 |AB| 10 2 10 r2d2 （ 5） 2( 2 ) 所以半弦 长为 ， 2 2 所以弦长|AB| 10. 规律方法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦心距为 d，圆的半径为 r，弦长为 |AB| 2 |AB|，则有( 2 )d 2r2. 即|AB|2 r2d2. (2)代数法：如图 2 所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的
6、两交点分别是 A(x1，y1)， B(x2，y2)， 1 则|AB| （x1x2）2（y1y2）2 1k2|x1x2| 1 |y1y2|， k2 其中 k 为直线 l 的斜率. 【训练 3】 若直线 2xy0 与圆 C：(x2)2(y1)29 交于 A、B 两点，则ABC(点 C 为 圆心)的面积等于( ) A.2 5 B.2 3 C.4 3 D.4 5 解析 过圆心 C(2，1)向 AB 作垂线，垂足为 D， |2 2（1）| 则|CD| 5， 5 所以|AB|2 |CB|2|CD|2224， 1 所以 SABC 4 52 5. 2 答案 A 课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较 简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构 成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的 5