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1、四川省资阳中学2017-2018学年高二数学下学期4月月考试题 理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 双曲线与双曲线的A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等【答案】C【解析】解：由题意，双曲线与双曲线焦距相等，2. 下列值等于1的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：A选项：；B选项：；C选项：；3. 已知，则A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解本题求出是关键步骤先求出，令，求出后，导函数即可确定，再求【解答】解：，令，得，故选A4. 已知曲线在点处的切线经过点，则的值为A. B
2、. C. eD. 10【答案】B【解析】解：对求导得：，切点坐标为，所以切线的斜率，则切线方程为：，把点代入切线方程得：，解得，5. 双曲线与直的公共点的个数为A. 0B. 1C. 0或1D. 0或1或2【答案】C【解析】解：由双曲线，得到，双曲线的渐近线方程为，当时，直线与双曲线没有公共点；当时，直线与双曲线渐近线平行，与双曲线只有一个公共点，综上，双曲线与直的公共点的个数为0或1，故选：C由双曲线解析式确定出渐近线方程，分类讨论与，确定出双曲线与直线公共点个数即可6. 若，则a的值是A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】解：因为，所以，所以；7. 已知双曲线上有一点M到左焦点的
3、距离为18，则点M到右焦点的距离是A. 8B. 28C. 12D. 8或28【答案】D【解析】解：双曲线的，由双曲线的定义可得，即为，解得或28检验若M在左支上，可得，成立；若M在右支上，可得，成立故选：D求得双曲线的，运用双曲线的定义，可得，解方程可得所求值，检验M在两支的情况即可8. 双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：由题意可得，且，菱形的边长为，由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为由面积相等，可得，即为，即有，由，可得，解得，可得，或舍去9. 已知函数，则的图象大致为A. B. C. D.
4、【答案】A【解析】解：令，则，由 0/，得，即函数在上单调递增，由得，即函数在上单调递减，所以当时，函数有最小值，于是对任意的，有，故排除B、D，因函数在上单调递减，则函数在上递增，故排除C，故选A利用函数的定义域与函数的值域排除，通过函数的单调性排除C，推出结果即可本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力10. 已知抛物线的焦点为F，设是抛物线上的两个动点，如满足，则的最大值A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：如图，又，在中，由余弦定理得：又，的最大值为，故选：B由题意画出图形，利用抛物线定义结合已知可得再由余弦定理，结合
5、基本不等式即可求出的最大值本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题11. 已知函数的定义域为，且满足 0(f(x)/是的导函数，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：设，则， 0，g(x) 0/，即在为增函数，则不等式等价为，即，即，在为增函数，即，即，故不等式的解集为，故选：B根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键12. 若函数在上是单调函数，则a的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：由题意得，因为在上
6、是单调函数，所以或在上恒成立，当时，则在上恒成立，即，设，因为，所以，当时，取到最大值是：0，所以，当时，则在上恒成立，即，设，因为，所以，当时，取到最大值是：，所以，综上可得，或，所以数a的取值范围是，故选：B由求导公式和法则求出，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.14. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的
7、渐近线方程是_【答案】【解析】解：抛物线的焦点为，双曲线的一个焦点为，双曲线的渐近线方程是故答案为：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的一个焦点，求出a，即可求出双曲线的渐近线方程本题给出抛物线与已知双曲线有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题15. 对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为_；计算_【答案】；2012【解析】解：，由得，；它的对称中
8、心为；设为曲线上任意一点，曲线的对称中心为；点P关于的对称点也在曲线上，故答案为：；2012由于，由可求得；设为曲线上任意一点，由于函数的对称中心为，故点P关于的对称点也在曲线上，于是有从而可求值本题考查实际问题中导数的意义，难点在于对“对称中心”的理解与应用，特别是：的分析与应用，属于难题16. 从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为_【答案】【解析】解：如图，设，则，又，则由，得，切线PA的方程为，切线PB的方程为，即切线PA的方程为，即；切线PB的方程为，即点在切线PA、PB上，可知是方程的两个根，得故答案为：设，由直
9、线AB的倾斜角为，可得，利用导数分别求出过的切线方程，可得是方程的两个根，利用根与系数的关系可得，即本题考查抛物线的简单性质，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知函数求曲线在点处的切线方程；求经过点的曲线的切线方程【答案】解：函数的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，切点为，即有曲线在点处的切线方程为，即为；设切点为，可得，由的导数，可得切线的斜率为，切线的方程为，由切线经过点，可得，化为，解得或1则切线的方程为或，即为或【解析】求出的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；设切点为
10、，代入，求得切线的斜率和方程，代入点，解m的方程可得或1，即可得到所求切线的方程本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，正确求导是解题的关键，属于基础题和易错题18. 已知分别是椭圆C：其中的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线有一个公共的焦点求椭圆C的方程；过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，求线段AB的长度【答案】解：抛物线的焦点为，椭圆的左焦点为又，得，解得舍去故椭圆C的方程为直线l的方程为联立方程组，消去y并整理得设故则【解析】由抛物线方程求得焦点坐标，进一步得到椭圆左焦点坐标，把代入椭圆方程，结合隐含条件求得的答案
11、；写出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到的横坐标的和与积，代入弦长公式求得线段AB的长度本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了利用弦长公式求弦长，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题19. 已知函数x的极值点为1和2求实数的值；求函数在定义域上的极大值、极小值若关于的方程有三个零点，求的取值范围.【答案】解：，的极值点为1和2，的两根为1和2，解得由得：，函数的定义域是，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，故【解析】求出函数的导数，根据的极值点，求出的值即可；求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求
12、出函数的极值即可本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题20. 已知函数是自然对数的底数求证：；若不等式在上恒成立，求正数a的取值范围【答案】证明：由题意知，要证，只需证，求导得，当时，当时，在是增函数，在时是减函数，即在时取最小值，即，不等式在上恒成立，即在上恒成立，亦即在上恒成立，令，以下求在上的最小值，当时，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，在处取得最小值为，正数a的取值范围是【解析】要证，只需证，求导得，利用导数性质能证明不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数性质求在上的最小值，由此能求出正数a的取值范围本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是
13、中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用21. 如图，抛物线C：的焦点为F，抛物线上一定点求抛物线C的方程及准线l的方程；过焦点F的直线不经过Q点与抛物线交于两点，与准线l交于点M，记的斜率分别为，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】解：把代入，得，所以抛物线方程为，准线l的方程为由条件可设直线AB的方程为由抛物线准线l：，可知，又，所以，把直线AB的方程，代入抛物线方程，并整理，可得，设，则，又，故因为三点共线，所以，即，所以，即存在常数，使得成立【解析】把代入，得，即可求抛物线C的方程及准线l的方程；把直线AB的方程，代入抛物线方程，并整理，求出，
14、即可得出结论本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化22. 已知函数若函数在处的切线方程为，求实数a的值；设，当时，求的最小值；求证：【答案】解：函数在处的切线方程为，此时，即切点坐标为，则切点也在函数上，则，则，函数的导数，由得，由得，即函数在上为增函数，在上为减函数，当，即时，当，即时，当时，令，则，由知，即，当时，取等号，则，即，即，【解析】求出切点坐标，代入函数进行求解即可求好的导数，判断函数的单调性进行求解即可令，利用的结论，构造不等式进行证明即可本题主要考查导数的综合应用以及利用导数证明不等式，综合性较强，难度较大- 12 -