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1、HPM视角下的“三角形的内角和”教学“三角形的内角和”是沪教版数学七年级下册的教学内容，之前学生已学习过平行线的性质、三角形相关概念等内容。三角形内角和定理是平面几何学中最重要的三个定理之一。本节课的教学目标：通过旋转法的实验操作、归纳总结、说理论证，让学生经历三角形内角和的探究过程；体会直观感知与理性思考之间的联系和区别，感受数学思维的多样性和灵活性，懂得直观结论需要说理证实的意义；借助数学史，让学生感受数学的悠久历史和多元文化、感受三角形内角和定理背后的人文精神。教学重点及难点是掌握三角形内角和性质的发现与说理方法。 1 历史材料的选择与加工 1.1 提波特旋转方法的历史 古希腊七贤之一、
2、著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了三角形内角和定理，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并未给出严格的证明。之后，古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明；法国数学家帕斯卡、克莱罗，德国数学家提波特等相继给出不同的发现方案。 提波特（Thibaut，1775-1832）利用旋转的方法发现了三角形内角和。如图1所示，将BC所在直线XY绕点B沿逆时针方向旋转B的度数，到AB所在的直线XY；将XY绕点A沿逆时针方向旋转A的度数，到AC所在的直线XY；最后，XY绕点C沿逆时针方向旋转C的度数，到直线BC所在直线，总共转过180度。
3、如果考虑顺时针方向旋转，即可证明三角形外角和定理。 19世纪西方平面几何教材大多采用毕达哥拉斯或欧几里得的方法来证明三角形内角和定理，但也有少数教材将毕氏和欧氏的方法推广到一般情形：不在某一顶点处作某一边的平行线，而在三角形内任一点处同时作三条边的平行线，如图2所示，可看作是将提波特的三点旋转改成了一点旋转。用这种方法易于证明三角形外角和定理，并可用于任意多边形。 1.2 历史材料的运用 以旋转方法为主线，让学生经历从“绕三顶点旋转”到“绕同一个顶点旋转”，再到“绕某一边上任一点旋转”，最后到“绕三角形内任一点旋转”的过程，逐一展现了历史上毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克拉斯以及19世纪西方几何教
4、科书中的方法，以重构、复制和顺应等方式融入数学史。 2 教学设计与实施 2.1 新课引入 教师演示几何画板，让学生观察三角形的形状变化。问题1 随着三角形形状的变化，单个角的度数是否确定？内角和的度数是否改变？学生很容易地给出答案：单个角的度数不确定，内角和的度数是确定的，三角形的内角和等于180度。 教师抛出本节课的探究任务。问题2 根据已知ABC，不添加其他条件，说明B+A+C=180？紫。你能解决这个问题吗？学生们感到匪夷所思，认为只有添加条件才能解决问题。教师顺理成章地引出德国数学家提波特的故事，通过几何画板演示了他的旋转方法：将三角形某一边所在直线分别绕三个顶点沿逆时针依次旋转相应角
5、度，验证了“三角形内角和等于180度”。 2.2 用旋转法探究三角形内角和 2.2.1绕同一个顶点旋转 教师首先复习旧知：说明B+A+C=180？紫，在已经学过的知识中，有哪些与180？紫有关？学生一起叙述出平角、邻补角和同旁内角。 教师引导学生运用提波特的旋转思想，将ABC的某一边所在直线绕其上某一顶点按逆时针旋转一次，将B+A+C转化为平角或同旁内角。通过师生互相交流，解决了如下问题：提波特的方法是将三角形的边所在直线绕着几个顶点按逆时针旋转呢？能否将某条边所在直线，绕着三角形的一个顶点，按逆时针方向旋转，就可以将B+A+C转化为平角或同旁内角？在前面方法的启发下，请你在任务单上利用操作图
6、动手完成该操作过程，看看会有什么发现。 通过几何画板演示，三名学生分别选择了AB，AC和BC所在直线进行了旋转（图3）：1.将AB所在的直线绕着点B逆时针旋转A的度数，EFAC，ABE=A，CBF=C，那么B+A+C是一个平角；2.将AC所在直线绕着点A沿逆时针方向旋转C的度数，PQBC，PAB=B，QAC=C，那么B+A+C是一个平角；3.将BC所在的直线绕着点C逆时针旋转B的度数，MNAB，得到的结果一样。 师生发现了直线绕一个顶点旋转的所有方法，因其选择边的不同而分成三类，为此选择其中一种方法利用图形进行说理。师生一起叙述，由教师板书毕达哥拉斯方法的严谨说理过程：如图4所示，过三角形AB
7、C的顶点B作AC的平行线，利用两对内错角相等，即得ABC+A+C=ABC+ABD+CBE=180？紫。教师阐述了这个方法是古希腊数学家毕达哥拉斯提出来的，通过探究，激励学生也可以达到他的思维水平，在几何上和他站在同一起跑线上。 通过上述操作还找到了古希腊数学家欧几里得的方法，后期数学家称这种方法宛若从天而降，既神秘又让人佩服。师生共同叙述，由教师在黑板上板书欧几里得方法的说理过程。欧几里得的方法：如图5所示，过点B作CA的平行线BD，则ABD=A，DBE=C，故得ABC+A+C为一平角。 教师和学生通过上述的操作一起发现，只要将ABC的边绕着顶点按逆时针旋转一次就可以将B+A+C转化为平角或同旁内角。并且无论旋转哪条边，本质是相同的。 2.2.2绕某一边上任一点旋转