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1、“一一对应”在解计数问题和二项式问题中的转化作用 上世纪80年代中叶,日本动画片聪明的一休风靡一时,其中一集中有这样的剧情:老方丈为了考察众小僧的智力,在烈日中,将众小僧带到一个屋檐下,命他们快速数出屋顶上瓦片的行数.众小僧迎着刺眼的阳光,争先恐后地数了起来.无奈阳光实在太毒辣了,刺得他们连眼睛都睁不开,实在没办法数下去.只有一休,背对阳光,低头数起屋檐下瓦片投下的阴影,并很快数出了屋顶上瓦片的行数.因此他受到了老方丈赞誉.事实上,一休无意中运用了数学上的“一一对应”原则:屋顶上一行瓦片在地面上投下一轮阴影,一轮阴影对应一行瓦片,数数阴影的轮数,就能得到屋上瓦片的行数.好个聪明的一休!这种方法
2、在数学上有着广泛的运用.刚学计数原理、二项式定理的同学尤其要体会这种方法的优越性. 例1 圆周上有20个点,过任意两点连接一条弦,这些弦在圆内的交点最多有多少个? 解析 将思考的重心放在过任意两点的弦上,但这些弦有的相交,有的不相交,若要理清它们是否相交,则会陷入“泥潭”. 换个角度,弦在圆内的交点一定是相应的圆内接四边形对角线的交点,因此交点的个数与圆内接四边形的个数相同,又可能有交点重合的情况,故交点最多有C4 20 =4 845个. 例2 某教研室有6个参加全国英语口语大赛的指标,分给甲、乙、丙三所学校,每所学校至少分得一个指标,则不同的分配方案有多少种? 解析 用“”表示1个指标,将6
3、个指标排成一排,为, 用两个挡板将它们隔成三部分,则一种隔法对应一种分法,且一种分法对应一种隔法,如/这种隔法对应着甲学校分得一个指标,乙学校分得三个指标,丙学校分得两个指标.因此有多少种分隔方法便有多少种分配方案. 而两个挡板插入6个指标间的五个空隙,有C2 5 =10种插法,因此共有10种分配方案. 例3 求x+y+z=6的非负整数解的组数. 解析 在上例中,设甲、乙、丙三校分别分得x,y,z个指标,则x+y+z=6(x,y,zN*). 由此可知,x+y+z=6的每组正整数解对应着每一种分法,于是此方程共有C2 5 =10组正整数解. 但这里是x+y+z=6(x,y,zN).如何求x+y+
4、z=6的非负整数解呢? 令x1=x+1,y1=y+1,z1=z+1,则x1+y1+z1=9(x1,y1,z1N*). 故x+y+z=6的非负整数解一一对应着x1+y1+z1=9的正整数解. 由挡板法,知后者的正整数解有C2 8 =28组,故前者的非负整数解有28组. 例4 求(1+2)9的展开式中所有的有理项系数之和及所有的无理项系数之和. 解析 如果直接运用二项式定理展开,则无疑会陷入冗长的演算. 由展开式的通项Tr+1=Cr9 (2)r=2rCr 9 x (r=0,1,2,8),可知r=0,2,4,6,8时,Tr+1为有理项,而r=1,3,5,7,9时,Tr+1为无理项. 于是可知(1+2
5、)9的展开式的有理项、无理项分别一一对应着(1+2x)9的展开式的x的偶次项、奇次项,而且系数对应相等. 因此求展开式中所有有理项系数之和及所有无理项系数之和,只需求展开式中所有x的偶次项系数之和及所有x的奇次项系数之和. 设f(x)=(1+2x)9,令原式所有有理项系数之和为S,所有无理项系数之和为T,则S+T=f(1)=39,S-T= f(-1)=-1,所以S=(39-1),T=(39+1). 1. 求(x+)100的展开式中系数为有理数的项数. 2. 为构建和谐社会出一份力,一文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,再添2个小品节目,则不同
6、的节目顺序有多少种? 3. 从一楼到二楼的楼梯有17级,上楼时可以一步走一级,也可以一步走两级,若要求11步走完这楼梯,则有多少种不同的走法? 4. 将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数. 5. 从1,2,3,10这10个自然数中,取出4个互不相邻的自然数,有多少种方法? 6. 同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人写的贺年卡,不同的拿法有多少种? 1. 17. 2. C1 2 C1 5 +C2 5 =30. 3. C5 11 =C6 11 =462. 4. 先在编号为1,2,3,4的四个盒子内分别放0,1,2,3个球,再把剩下的14个球放到四个盒子里,每盒至少放1个,知有C3 13 =286种方法. 5. 相当于向6个位置之间(包括头尾)插入4个位置,且插入的位置不连续,相当于从7个位置中选4个位置,故共有C4 7 =35种方法. 6. 相当于用数字1,2,3,4组成1不在千位,2不在百位,3不在十位,4不在个位的没有重复数字的四位数.当1在百位时,有3个,即2 143,3 142,4 123;同样当1在十位和1在个位时也均有3个,所以共有3+3+3=9种不同的拿法.