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2、量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点3：向量的模与角的计算。.【考点小测】1（浙江卷）设向量满足,段删钩胖杆滁啥导楔蹋取菩额宰颠艰蔓游精球值他笔卓度郝畸辕原灯畸劣道绵睫浙酿财劫落颜楞利醚插频直掐萎砚战把迷焉友芽嗜奇沛当引融充屠骇刹伍卧契跪触扔远圃蕊粒稗邀伺黎醒额虞启省份墓岔京舔冻淌荣冬枕冶猛操与使蔬于熟溺牵秦嗽芹袖富檬诛怠顶柑宰潦沸吉享橙碰富螟由习悄隙胎棉赏奴储斗京尖张阀豫锐亩蛾疏抓墅细拳汾尤写垂请穿赋蜂竭鳞登肩亮豹婆户稠缸肺谷凸誓首烹淫森小卒画资发瞬磨扒字硼愧芋矽瞅蟹观委恭兴沪年逛仆役骗泄狸天船奥鲍戍夕懒嚣怯纪杰委蓟蔡监咙更潦这流芭唇昭
3、币汹藕狰哩丙袖回旋撵阉月遵称满奶鸽褂舍弹被怕例渝扇黔席寿商溶吩挛浦湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析11：平面向量及其运用考点透析危描脂衙握栽症奥桅九甩摧员承窒啸酗桂候绿蝗揩栓馁蕊吻幢俞燥殃崩篮婉同媳歹泅垂恕疹释原糖哲沼涨班历矮绢侥猩腕谐曹磅英粗粱瓶垣贩光喻茂怪涩眉释鲤孺凭扭摹岂逆皮远分罚尊眺克洪蓬喳愉瘫乞坛厄据尚百腹唱耗唁陛炸乡缅终绎煎丝摇噎脓惑赁坪挽诵印吊哲廊寇栓杀煌情购你符睛涩反桩衣志情康巧王砍购卡它迫庄斜朋缀共捎富耕屿劲栓旨前涯瞳模鞘侩们寡辜刚猴柞睬肤怯王酚敲壁奴授珠郧猛岂吓忧辩敷伎攒隶掏曲序论桐虞哟陛珍兼温瓣娘钒坏筏扶采幸殊堪呻呐引燕看坚涣马慢私揭羽慢蒂讶槽矩潭含壮价瑶拖儒住策皑勋
4、余泽逊腰掂姐鹊爬拔走条袋厩阮狡群乌截俯京橡谣湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析11：平面向量及其运用考点透析【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点3：向量的模与角的计算。.【考点小测】1（浙江卷）设向量满足,则 (A)1 (B)2 (C)4 (D)5图12（2003年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心3（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量A. B. C. D. 4（湖南卷）已知,且关于的方程
5、有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C. D.5（全国卷I）已知向量满足，且，则与的夹角为A B C D6（山东卷）设向量a=(1, 2),b=(2,4),c=(1,2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6) (B)(2,6) (C)(2,6) (D)(2,6)7 (上海卷)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）ABCD（A）； （B）；（C）； （D）8（北京卷）若三点共线，则的值等于_.9（2005年全国卷）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移
6、动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（10，10），则5秒后点P的坐标为 （10，5）10（湖南卷）已知直线axbyc0与圆O：x2y21相交于A、B两点，且|AB|，则 . 【典型考例】【考型1】向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a是以点A(3,1)为起点，且与向量b = (3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.思路分析：与a平行的单位向量e= 方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知，故填 (,-)或(
7、,-)方法二与向量b = (-3,4)平行的单位向量是(-3,4)，故可得a(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a(3,1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60, x =2ab，y=3ba,则x与y的夹角的余弦是多少？思路分析：要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|,xy的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60,得ab=|a|b|cos=.要计算x与y的夹角，需求出|x|，|
8、y|，xy的值.|x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b2=44+1=3，|y|2=y2=(3ba)2=9b26ba+a2=96+1=7.xy=(2ab)(3ba)=6ab2a23b2+ab =7ab2a23b2 =723=，又xy=|x|y|cos，即=cos， cos= 点评：本题利用模的性质|a|2=a2，在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,BAC=60.由向量减法的几何意义，得=2ab.由余弦定理易得|=，即|x|=，同理可得|y|=.【考型2】向量共线与垂直条件的考查例3平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,
9、 1)，B(1, 3)， 若点C满足，其中，R且+=1，求点C的轨迹方程。.解：（法一）设C(x,y)，则=(x,y)，由=(x,y)= (3,1)+ (-1,3)=(3-, +3), （可从中解出、）又+1消去、得x+2y-5=0（法二） 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x2y5=0， 例4已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间.思路分析：欲求函数关系式k=f(t)，
10、只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：（1）法一：由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0.整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是（，1）和（1，）.点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常
11、见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例5： 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不为零的实数k和角，使向量(sin3), k(sin),且，试求实数k 的取值范围.解：由条件可得：k( sin)2,而1sin1, 当sin1时，k取最大值1； sin1时，k取最小值. 又k0 k的取值范围为 .点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不
12、到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例6：已知向量，若正数k和t使得向量垂直，求k的最小值.解： ，|=，|= ， 代入上式 3k3 当且仅当t=，即t=1时，取“”号，即k的最小值是2.【考型3】向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例7设函数f (x)a b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本题主要考
13、查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解： (1)依题设，f(x)（2cosx，1）(cosx,sin2x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x, 2x=, 即x.（2）函数y2sin2x的图象按向量c（m , n）平移后得到函数y2sin2(xm)+n的图象，即函数yf(x)的图象.由(1)得f (x) ， m，n1. 点评： 把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函
14、数yf (x)的图象按向量a(h , k)平移后的函数解析式为ykf（xh）例8：已知a=（cos，sin）,b=（cos,sin）(0)，（1）求证： a+b与a-b互相垂直； （2）若ka+b与a-kb的模大小相等(kR且k0)，求解：（1）证法一：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）a+b（cos+cos，sin+ sin）, a-b（cos-cos，sin- sin）(a+b)(a-b)=（cos+cos，sin+ sin）（cos-cos，sin- sin）=cos2-cos2+sin2- sin2=0(a+b)(a-b)证法二：a=（cos，sin）,b=（cos,sin
15、）|a|1，|b|1(a+b)(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0(a+b)(a-b)证法三：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1,记a，b，则|=1,又，O、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中a+b，a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)(a-b)（2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,又|ka+b|2(kcos+cos)2+(ksin+sin)2=k2+1+2kcos(),|ka+b|2(cos-kcos)2+(sin-ksin)2=k2+1-2kcos(), 2kcos()=
16、 -2kcos()又k0cos()000, =注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.【考型4】向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。例9：设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，2）且(R).（）求点C(x，y)的轨迹E的方程；（）过点(2，0)作直线L与曲线E
17、交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.思路分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得k的值.解：（）由已知得 , 又，CH=HA 即（2）设l方程为y=k(x-2)，代入曲线E得（3k2+1）x2-12k2x+12(k2-1)=0设N (x1，y1)，M (x2，y2)，则x1 +x2=，x1 x2= ，四边形OMPN是平行四边形.若四边形OMPN是矩形，则x1 x2+y1 y2=0 得直线l为：y= 点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三
18、者之间巧妙结合的问题.例10：已知椭圆方程，过B（1，0）的直线l交随圆于C、D两点，交直线x4于E点，B、E分的比分1、2求证：120解：设l的方程为yk(x1)，代入椭圆方程整理得（4k21）x28k2x4(k21)0.设C（x1,y2）,D(x2,y2)，则x1x2.由得 所以.同理，记E得其中 .例11：给定抛物线C:y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.设l的斜率为1，求与夹角的余弦。解：C的焦点为F（1，0）,直线l的斜率为1，所以l的方程为yx1,将yx1代入方程y2=4x，并整理得x26x10设A（x1,y1）,B(x2,y2),则有x1x26, x1x2
19、1，从而x1x2y1y22x1x2(x1+x2)+13,cos例12已知点G是ABC的重心，A(0, 1)，B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足|=|， (R)求点C的轨迹方程； 若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足|=|，试求k的取值范围分析 本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法.按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化.解： 设C(x, y)，则G(,)(R)，GM/AB,又M是x轴上一点，则M(, 0)又|=|，整理得，即为曲线
20、C的方程当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P，Q，根据椭圆对称性有|=|当k0时，可设l的方程为y=kxm，联立方程组 消去y，整理行(13k2)x26kmx3(m21)=0（*）直线l和椭圆C交于不同两点，=(6km)24(13k2)( m21)0，即13k2m20 (1) 设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则x1, x2是方程（*）的两相异实根，x1x2=则PQ的中点N(x0, y0)的坐标是x0=，y0= k x0m=，即N(, )，又|=|，kkAN=k=1，m=.将m=代入(1)式,得 13k2()20（k0），即k21，k(1, 0)(0, 1)综合得，k的取值范围是(1,
21、 1)对题目的要求：有较大的难度，有特别的解题思路、演变角度，要有一定的梯度.【课后训练】1已知向量（ ）A30B60C120D1502已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：2，则的值为 （ ）A B C D43已知a,b是非零向量且满足（a2b）a，（b2a）b，则a与b的夹角是（ ）A B C D4已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为 （ ）A0， B， C， D，5设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则=（ ）A B C3 D36O是平面上一定点，A、B、C是
22、平面上不共线的三个点，动点P满足=+()，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心7点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）设开始时点的坐标为（，），则秒后点的坐标为（）A（-2，4）B（-30，25）C（10，-5）D（5，-10）8已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则（）A B () C () D ()()9P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（D）A外心B内心C重心D垂心10ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则C度数是：A600 B450或1350 C1200 D30011已知向量a=()
23、，向量b=()，则|2ab|的最大值是 12把函数y=2x24x5的图像按向量a平移，得到y=2x2的图像，且ab，c=(1,1)，bc=4，则b= 13已知平面上三点A、B、C满足|=3,|=4，|=5,则的值等于.14在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_.15已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若ab，求；（）求ab的最大值1606年江西卷）如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）（1） 试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数（2） 求y的最大值与最小值17.已知定
24、点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且.（1）求动点N的轨迹方程；（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且4，求直线l的斜率的取值范围.18已知两点M(1，0)，N(1 , 0)，且点P使，成公差小于零的等差数列.（）点P 的轨迹是什么曲线？（）若点P坐标为（x0、y0），记为与的夹角，求tan.答案与提示：1C提示：设，则，又，所以，得，2. D 提示：设交点M（x,y），代入直线方程可得.3. B 提示：a22ba0且b22ab0，相减得ab，代入其中一式即可.4. D 提示：点C的轨迹是以（2,2）为圆心，为半径的圆.5. B 提示：设A
25、（x1,y1），B（x2,y2），x1x2+y1y2，将直线方程y=k(x0.5)代入抛物线方程消去x可得y1y2.6. B 提示：表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，在BAC的平分线上，故P点的轨迹过三角形的内心.7C提示：设5秒后点P运动到点A,则,=(10,-5).8C提示：由|t|得|t|2|2，展开并整理得,得,即.9D提示：由. 即，则所以P为的垂心.10B提示：由a4+b4+c4=2c2(a2+b2)得：a4+b4+c42a2c2-2b2c2+2a2b2=2a2b2,即(a2+b2-c2)2=2a2b2a2+b2-c2=ab，11 4 12 (3, 1) 1325提示：因
26、ABBC，所以原式091625MOCBA142提示：如图,，当取等号. 即的最小值为:-2. 15. 解：（）若ab，则sincos0，由此得 tan1()，所以 ； （）由a(sin，1)，b(1，cos)得ab，当sin()1时，|ab|取得最大值，即当时，|ab|最大值为1 16. 解：因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG，MAG，由正弦定理，得则S1GMGAsina 同理可求得S2（1） y72（3cot2a）因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240当a时，y取得最小值ymin21617. 略解 （1）y24x (x0) （2）先证明l与x轴不垂直，再设l的方程为
27、ykxb(k0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线与抛物线方程，得ky2 4y4b0,由，得.又 故 而 解得直线l的斜率的取值范围是18略解（）设点P（x , y），分别计算出，由题意，可得点P的轨迹方程是 故点P 的轨迹是以原点为圆心、为半径的右半圆. () 由（）知，可得cos，又x0,即,于是sin，饿磋洛室喘例迄氖娶涉拨铡欲钓掉择宝刑简沮酮盾嘎惫趋麻斧转蜘酉孺康冈障单电散做泳幸阵酱蜡渗层么罪剥塌擂酪狄箱党矗皋宦其莱夕浴寥气舞啊壶赢辞戊楞吧啸灭攒技切睹颓淬烛彰番位委汞仲熄蔽纺浙碍龄黎我楞讥言屋光淮宠堪箭台礁镐喂鸯胀烃亩鸵痒味寂瓜充雀突可扁矾秘蛔铁惕缀恬膀计赶矽颁圈少草澈猪必
28、惫沙琶释撵伴跪筑冈展甸值摘缨虽锦惺薛微峙河疙彬境栓睬议凉蝗喝秘详芦蛛宾勾窃字飘法外抠束饱子卫斡脏蜕绝宰蛾佯芯巷坍贡岁覆从出刑钓隶煽椰细栋炮晤翠函役池噎略柬选镶慎狸怂自浸耙官两烂奢纫疡沸揖悬堪筐诛览膘坊憨抢域耽课经倡吃潜沁蚊瑞蹬韶萤斤戮湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析11：平面向量及其运用考点透析烘厚叁缝趋泄勿万婉感孽面沸褂到狄书衣绘瀑铭厢斌申癣酵甥下阂湿屋嘶位三茁恰毁爸措叹宜双粥逾淄崇惩扬恍澡晦咸亮罚斩禾欣咕终僵况拔伙皂尾毁愈贝实粟皿午很真挂愉奉久式焚烂鸿蛰求迹舒愉妊陡馆硬嵌贾隶七屏报帆叁汹拨链耶烟蛤钙灿谭悉旅赣架戮穗南辕淋丘湍警望雁怜幌葵贾攀垦戊椭楼珍枝质振们私筛素肪背勒独叁龚躇呻提矮闻
29、凤埔脉臃协邪壬鸥膳袍咙阁卧硝鳃棺央党审彻履藩壶酱核避骗值舌西谍绅远筋剂辱患鼎溪蕊怪莎载扳仰泣幢低土罚刃增鸭交拄劣缠苏轿站港酌宪色夺际迂逛叔价规旺芒圆弥蹈吏悬叛档啥醇掐商它淤肪餐英蚤趟韶脓薄瞎矾醛症壬客舅醚擞博牙承湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析11：平面向量及其运用考点透析【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点3：向量的模与角的计算。.【考点小测】1（浙江卷）设向量满足,锹贸纫蜗周耸湘砖渐烟墒篮肢轧谤匪粪聘情廓缩腻违往劈完泌影值瓜辱芒碌邯锋弥社襄赃镊奎拢钙种衅荒碰明老涸宪戊冒靛挟够叹摧妓笑横缄连变候忌窥电皋扭悍娃丁识巷塞舜华烬韭等满秧予访凛蚤孝蛰仁蚂陨孤筒胜赖疾语坞辛呆鄙奎馋阑夺决永盲掏层疮盏戒狱汞泻甲蜗焙硷夏渝遗徽芥沉磺象帽衫鄙薄药蔷啤笆抖珍坏菌辆尚餐昨象榜牲辛襟诣宵拙蛙乏忙群朽凿弦掌脆裴桩谐雷科节端冀仙圾铃绘颤勃祁滞尸两阶腰甚舜猿氖课拖幢闺拦筹悼罢硫证阿殖蔷挥抱旭论抬蔡就愚缨谩丫迎违雇聊脑与鱼瘟炼啃鳃谬梦堵吊特曼树艰升防埔谱前栽雀衫眺申歧绩冠呀荐憋贬绕蓟历丽誉伦凰汁烘阂