《两个变量的线性相关》教学设计.doc

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1、两个变量的线性相关教学设计 教材分析 本课是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学第三模块第二章第三节变量间的相关关系的内容。教材安排四课时，本节课是第二课时。本节内容安排在随机抽样、用样本估计总体之后，是在学生系统地学习了收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法之后，引导学生考察变量之间的关系。在讨论这种关系的过程中，学生能认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系，从而体会研究变量之间相关关系的重要性。 上节课侧重对估算方法的设计，学生经历了用不同的估算方法描述两个变量线性相关关系的过程，体会了回归直线作为变量相关关系代表这一概念特征。在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关

2、的过程后，在学生现有知识能力范围内，选择一个最优方法，成为知识发展的逻辑必然。 本节课的重点是用代数式刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，让学生在此基础上了解更为科学地确定回归方程的方法最小二乘法，有助于学生更好地理解“回归直线”的概念。而回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中有所渗透。 “最小二乘法”作为经典的回归方程估算方法：通过用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”这一直观的几何描述，采取合适的数学处理方法，最终获得回归直线，对学生认可统计估算的科学性有很大帮助。而对于线性回归方程系数的计算，由于公式的复杂性，可直接给出。因此，一方面，既要通过教学设计合理

3、体现知识的发生过程，不搞“割裂”；另一方面，要充分利用计算机或计算器，简化繁琐的求解系数过程，简化过于形式化的证明说理过程。 学生分析 统计知识的教学从小学到初中分为三个阶段，在每个阶段都要学习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法，但随着学段的升高逐步提高要求。在高中阶段，学生首次接触到如何用“最小二乘法”确定回归方程，容易产生认知上的困难。所以，学生必须亲自经历、体验用“最小二乘法”确定回归方程的过程。 另外，学生第一次接触到利用Excel软件做散点图、回归直线及添加回归方程，这激发了学生的学习兴趣。但是，学生在实际操作时可能比较生疏，因此要给学生充分的时间实际操作。 教学目标 知

4、识与能力目标：能识别两个变量是确定性关系还是相关关系；知道最小二乘法的思想，了解其公式的推导过程；会利用信息技术（如Excel软件）求线性回归方程。 过程与方法目标：通过亲自操作，了解线性回归方程和由它所作出的预报具有随机性的特点；通过解决实际问题，体会事件、样本数据与回归方程三者之间的关系，提高运用所学知识与方法及运用现代信息技术解决实际问题的能力；经历较为系统的数据处理全过程，学会如何处理数据。 情感、态度与价值观目标：认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值，感受生活离不开数学；体验信息技术在数学探究中的优越性；增强自主探究数学知识的能力，在学习的同时，体会与他人合作的重要性。 教学策略

5、 针对学生的认知障碍和学习过程中的困难，遵循课程标准中谈到提高数学的思维能力时，特别指出的：在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与构建等思维过程，这些过程是数学能力的具体体现，能力培养是在过程中体现的。新课标强调数学教学要以人的发展为本，一切教学活动要围绕学生的发展。教师提供实例，让学生自己动手操作计算机，教师恰当地把握课堂学习的节奏和进程，使学生有充分的操作、观察、思考、交流、发现的时间与空间。 学生利用计算机实际操作Excel软件，直观展示回归直线的图像，以学会观察图像、分析数据。学生在学习

6、的过程中把握两个变量的线性相关关系，进而理解回归直线与样本点（观测数据）的关系。 教学准备及环境 学生两人一组，每组一台计算机，学生自主操作Excel软件观察散点图、回归直线，添加回归直线。在电子白板教学环境下，利用多媒体技术，形象直观地展示教学流程。 教学过程 1.复习导入 师：前面我们学习了两个变量的线性相关，而且知道可以用散点图来判断两个变量是否具有线性相关关系，是正相关还是负相关。下面我们来看一个问题。 【问题1】下面两个散点图中，两个变量之间是否具有线性相关关系（如图1、图2）？ 生：图1中的两个变量不具有相关关系，图2中的两个变量正相关，而且是线性相关，因为所有的点都位于一条直线附

7、近。 师：这条直线就是上节课我们所说的回归直线。通过散点图，我们可以定性地知道两个变量之间具有线性相关关系，但是如果我们能够求出这条回归直线的方程，我们就可以更加清楚地知道这两个变量间的关系。今天我们就来定量地对这些问题进行综合分析，在上节课的基础上探求回归方程。 2.新知探研 师：假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：（x1,y1)(x2,y2) (xn,yn)。那么，所有这些样本点都应位于回归直线附近（如图3）。 到底哪条直线作为回归直线比较恰当？在上节课，有些同学谈到经过的点最多的直线；有些同学说直线两侧点的个数均等的直线。后来我们经过探讨得出结论，以偏差最小

8、的这条直线作为回归直线更为恰当一些。 【问题2】你能用代数式来刻画，“从整体上看，各点与直线的偏差最小”吗？ 首先要找到每个点到直线的偏差，然后求和。设回归方程为y=bx+a,请同学们说说这些点到直线的偏差怎么写？ (x1,y1)对应直线上的点为(x1,1)，则偏差为y1-1?颍? (x2,y2)对应直线上的点为(x2,2)，则偏差为y2-2?颍?   (xn,yn)对应直线上的点为(xn,n)，则偏差为yn-n?颍? 把这些偏差相加，得到y1-1+y2-2+ +yn-n?颉?求它的最小值需要把绝对值去掉，那怎么办？用平方来解决这个问题。得到Q=(y1-bx1-a)2+

9、(y2-bx2-a)2+(y3-bx3-a)2+ +(yn-bxn-a)2。 将完全平方展开会得到一个二次函数。这里样本点所对应的数据都是已知的，a,b是未知的，所以可以通过配方找到a,b取何值时Q最小。具体的配方整理过程留给学有余力的学生去完成。通过配方发现当 时，Q最小。即偏差平方和最小。这种使“偏差平方和最小”的方法称为最小二乘法，也就是说通过最小二乘法，我们可以确定回归方程里面a,b的取值，从而确定回归方程。大家知道这里a,b的值是我们通过最小二乘法利用样本数据得到的估计值，所以记作a,b。 【思考1】要求a,b的值，你会先按怎样的顺序求呢？ 【思考2】要求出线性回归方程系

10、数，需要计算哪些量？ 为了便于计算，我们可以利用表1： 【问题3】你能根据表2所提供的样本数据，求出线性回归方程吗？把计算结果填在学案上。 师：计算量是不是非常大。事实上，可以利用Excel软件画出回归直线，同时求出回归方程。大家跟老师一起来操作（计算器操作流程也可以打印在学案上）。 利用Excel表格求解回归直线方程的步骤及操作说明： （1） 直接在工作表中输入数据； （2） 选中数据(单击数据区域的第一个单元格，再拖动鼠标到最后一个单元格)； （3） 单击“图表向导”或在“插入”菜单上单击“图表”)； （4） 单击“图表类型”中的“散点图”，单击“完成”按钮，得到数据的散点图； （5） 单

11、击选中散点图中的任一点，在“图表”菜单上单击“添加趋势线”(或右击，在弹出的菜单中单击“添加趋势线”)； （6） 单击选中“类型”选项卡中“线性”选项，单击“确定”按钮，得到数据的回归直线； （7） 单击选中数据的回归直线，在“格式”菜单上单击“趋势线格式”(或右击，在弹出的菜单中单击“趋势线格式”)； （8） 单击选中“选项”命令，单击选中“显示公式”复选框，单击“确定”按钮，得到数据的回归直线方程。 幻灯片演示回归直线的图像（如图4）。 教师演示制作的整个过程，学生跟随教师同步完成。 【思考1】你能预测数学成绩为90分的学生化学成绩为多少吗？ 【思考2】关于两个变量之间的关系你能得出什么结

12、论？ 请学生独立完成以下问题。 【问题4】利用Excel求出下面两组样本数据的回归方程（如表3、表4）。 【思考1】同样问题背景，为什么回归直线不只一条？分别利用两条回归直线方程预测年龄为62岁的人体内脂肪含量为多少。 【思考2】回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？ 【思考3】在引入的过程中，有同学认为经过点最多的直线就是回归直线，现在求出来了回归直线的方程，请同学们看看这两条回归直线（若观察图像就可以得到结论，则没必要通过计算验证）经过了几个样本点？ 师：通过散点图，我们可以判断两个变量是否线性相关，定性的分析两个变量间的相关关系；通过最小二乘法，我们可以求出回归方程，定量

13、的分析两个变量间的相关关系；同时，我们可以将图像和回归方程相结合，对事件作出预测和分析。这也体现了统计知识在实际生活中的应用价值。 3.巩固练习 【问题5】在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下页表5。 （1） 画出表中数据的散点图； （2） 求y对x的回归直线方程（结果保留到小数点后3位数字）； （3） 试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度为多少； （4） 对于腐蚀深度与腐蚀时间两个变量之间的关系，你能得出什么结论？ 4.课堂小结（略） 5.布置作业（略） 教学反思 教学中，教师组织学生有意识地反思探究过程，尤其是探索设计思路的重要环节。例如，用n个

14、样本点的偏差的平方和来表示n个点与相应直线在整体上的接近程度；用Excel的计算功能解决繁杂计算等。信息技术的应用有利于日后学生探索Excel的非线性模拟功能。 用新教材教两个变量的相关关系这一内容对授课者本人来讲是第一次。本教学设计的产生，经过了一次大的修改。 第一次产生的方案，借用了教材中用计算器求回归方程的过程（如图5）。 但在实施的过程中，发现该方案有很多不和谐的因素。比如，在操作过程中，学生输入一个错误数据就会导致整个计算结果错误，而学生在操作过程中出现错误的可能性很大；同时，学生感觉问题很简单，提不起兴趣，只是机械地操作，失去了对后续问题思考的兴趣；整个课堂非常沉闷，学生的思维参与

15、度不高，教学目标很难实现。为了改变这种情况，对教学设计进行了修改，产生了第二个设计方案。 第二次方案的产生是根据学校的硬件条件而做出的一个比较成功的教学设计。 将利用计算器的程序求回归系数，变为利用计算机直接添加公式，即利用Excel软件求回归方程。同时可以将散点图和回归直线呈现出来，变量间的相关关系可以更直观地体现出来。便于学生定性、定量地对问题进行分析，还原到实际问题中去。整个过程起伏跌宕，学生始终全身心地投入到学习中来，始终带着问题在思考和活动，真正体现了学生的主体地位。从课后的反馈中可以看出，学习效果非常好。 通过本节课教学，我真正体会到：统计的教学需要学生亲身实践，纸上谈兵是难以学会

16、统计知识、领会统计思想的。教学中应注意选择恰当的实例，创设问题情境，鼓励学生积极参与，在亲身实践中体会和理解所学内容的基本思想和意义。 这一节课中，信息技术发挥出了不可替代的作用，如果没有信息技术，学生将把大量的时间花在繁杂计算上，在这一点上信息技术确实是一根“救命稻草”。 点评 1.一个典型的“整合”教学课例 谷红霞老师针对学生的认知障碍和学习过程中的困难，遵循高中数学新课程标准所提倡的理念，在学习数学和运用数学解决问题时，提供实例，让学生自己动手操作计算器或计算机，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与构建等思维过程，为我

17、们提供了一个典型性的教学设计案例。 2.准确领会并践行了新课程提倡的数学与信息技术整合的理念 本课例谷老师循着“复习引入新知探研巩固练习课堂小结布置作业”的教学程序，采用师生探究与学生动手实践相结合的教学方式。在教学中，由于运用回归系数公式求解回归直线需要进行大量的运算，谷老师就引导学生利用计算器减轻繁琐的计算；在后续例题的解决过程中，让学生借助Excel软件做出散点图、回归直线，通过对回归直线比较分析，体会回归思想和随机思想。同时，在电子白板互动式教学的环境下，形象直观地展示教学内容。 现代信息技术与数学教学的整合，不是简单地将现代信息技术作为一种教学手段与传统数学教学手段进行叠加，而是通过

18、现代信息技术的介入，使数学教学中的各要素丰富和谐、协调共振，达到优化教学过程、教学资源、教学效果和教学效益的目的，实现数学教学的突破与发展。本课例谷老师在了解学生的基础上，首先确定哪些内容最适宜整合，然后考虑采用怎样的形式与方式整合，探索最佳整合点，寻找最佳切入口，为学生学习建构高中数学知识创设情境，搭建舞台。正如谷老师在课后反思所说：“整个过程起伏跌宕，学生始终全身心地投入到学习中来，始终带着问题在活动，真正体现了学生的主体地位。” 3.信息技术的应用突破了重难点 本课的重点是用代数式刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，让学生在此基础上了解更为科学地确定回归方程的方法最小二乘法；本课

19、的难点是建立回归思想，理解回归直线与观测数据的关系，这部分内容公式较复杂、图像不易画、过程较抽象，通过计算器和Excel的使用操作，提高了学生的学习兴趣，加深了对实际问题解决的体验，通过猜想、验算、归纳、推理，使数学教育由强调运算技巧向强调解决问题的能力转变。 4.一点建议：Excel功能的应用知其然更要知其所以然 信息技术介入到数学教学中，提供的不仅是超大的信息量、多媒体的信息传递方式，从学生的认知过程来分析，由于学生对计算机的依赖，往往使数学知识变得更直接，由形象到抽象的过程被计算机替代。鉴于此，我们不禁担心学生的思维停留在形象直观上，产生思维惰性，这恰恰与新课标理念对数学教学的要求相悖。因此，“整合”一定要把握好信息技术使用的度，注意时机和时间，注意为学生提供观察比较、分析综合、归纳概括的机会，让学生在做数学的过程中，体验感受数学，深入理解数学知识的生成过程。 正如几何画板的首席设计者Nicholas Jackiw所说：“要理解你了解的东西，而不仅仅是了解你理解的东西。”因此，在教师引导学生学会用Excel软件做散点图、回归直线及添加回归方程时，不仅要让学生学会使用，而且，更要让其清楚Excel此功能背后的基本原理。