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1、数字信号处理中存在的难点问题解析数字信号处理1作为信息处理、电子工程等专业的专业基础课程，有很强的理论性和实践性，对于学生从事电子类的工作和继续深造电子信息类专业，都有不可低估的基石作用。但是由于这门课程公式繁杂、理论性强、很抽象，所以学生在学习过程中显得有些力不从心。为了能够解决学生在学习中普遍遇到的一些难点问题，本文做了详细的解析。 一、线性卷积、周期卷积和圆周卷积 卷积2是数学运算中的一种重要运算，也是信号处理中的一个重要理论。在线性系统中，如果输入信号是x（n），系统的冲激响应是h（n），则输出信号为x（n）和h（n）的卷积。卷积描述了信号通过系统后的变换，反映了线性时不变系统中输入和
2、输出的关系，但是在数字信号处理中出现了三种卷积，线性卷积、周期卷积和圆周卷积，这三种卷积往往使学生感到很迷惑，容易混淆。 线性卷积：y（n）=x（n）h（n），x（n）的长度为N1，h（n）的长度为N2； 周期卷积：（n）=（n）（n），（n）和（n） 的周期为N ； 圆周卷积：y（n）=x（n）h（n），x（n） 和 h（n）的长度均为N，不足者补零。 首先三种卷积针对的对象不同，线性卷积针对的序列x（n）和h（n）是任意的两个序列，而周期卷积针对的是两个周期序列和，而且周期同样都为N。圆周卷积针对的对象是有限长序列（n） 和（n），而且圆周卷积和周期卷积没有本质的区别，它和周期卷积的过程是
3、一样的，只不过结果只取了主值区间而已。其次三种卷积后的序列的长度有所不同。假设输入序列x（n） 的长度为 N1，h（n）的长度为N2，则线性卷积后序列的长度L为N1+N2-1。周期卷积后的序列依然是一个周期序列，而且周期跟输入序列的周期一样都为N。圆周卷积后序列的长度也为N，注意这里的N是周期序列的周期，N可能大于L，也可能小于L。当NL时，线性卷积和圆周卷积的结果是一样的，当NL时，N点的圆周卷积是线性卷积的结果以N点为周期的周期延拓序列的主值序列。如果学生能够从这两个方面对三种卷积进行比较的进行学习，将会使得对问题的理解更容易些。 二、离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶级数（DFS
4、）和离散傅里叶变换（DFT） 在教学过程中，需要对学生强调的是，本门课程的重点是离散傅里叶变换。DTFT和DFS实际上是学习DFT之前的预备知识，DFT才是数字信号处理的核心知识。所以在学习过程中，一定要遵循既要相互区别又要相互联系的学习方法，才能真正地理解所学知识点3。 傅里叶变换是法国数学家和物理学家傅里叶在1807年发表了一篇论文，提出任何连续周期信号的都可以由一组适当的正弦曲线组合而成，从而开辟了分析信号的另一个领域频域。傅里叶变换显然是时域和频域的对应关系，在理解DTFT、DFS和DFT时，显然要弄清楚这三种变换在时域和频域的相同点与不同点。 首先在时域上，离散时间傅里叶变换（DTF
5、T）的研究对象是任意一个序列，例如正弦序列，离散傅里叶级数（DFS）研究的对象是周期序列，如复指数序列ejn，而离散傅里叶变换（DFT）的研究对象是有限长的序列，如矩形序列RN（n）。 其次在频域上，离散时间傅里叶变换的频谱是连续且周期的函数，周期为2。傅里叶技术的频谱是离散且周期的函数，周期为N。离散傅里叶变换的频谱是离散且非周期的，长度为N。 在区别DFS和DFT的时候，一定要记住，DFS和DFT没有本质的区别，DFT只不过是时域和频域均取了一个周期的值而已。在DTFT和DFT的区别中，DFT是DTFT进行离散化后的取值。 三、z变换、拉普拉斯变换和离散时间傅里叶变换 z变换在离散时间系统
6、中的作用如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使得求解大大的简化。由于数字信号是又连续时间信号采样得到的，故数字信号的z变换与被采样的连续信号的拉普拉斯变换有密切关系。 学生往往对这三种变换之间的关系容易混淆，故将此关系进行梳理，找到相互联系的关键点，才能很好的进行理解。首先由表1看出，三种变换的研究对象分别为x（n）、x（t）和x（n），这三种信号的关系是理解三种关系的关键，即x（n） 是由x（t）采样得到的，在采样点上，x（n）和x（t）的数值是一样的。通过s平面到z平面的映射关系为纽带，并由奈奎斯特定理可知，得到x（n）的z变换和被采
7、样信号x（t）的拉普拉斯变换之间的关系式为X（z）z = esT = 1Tk = -Xa （s-j2Tk）。由该式可以看出，时域的抽样导致了频域的周期延拓，z变换中蕴含着周期性。 由表1第二列的关系式 z=ej可以看出，序列在单位圆上的z变换，就是序列的离散时间傅里叶变换。 四、高密度谱和高分辨谱4 在分析数字信号的频谱时，我们往往很关心信号的频率分辨力，对于信号x（n），n1nn2，信号的长度为T0，如果想提高信号的频率分辨力，必须增加信号的有效长度，使得信号的长度 TT0，如果通过在信号x（n）后补零来增加信号的长度，是不会增加频率分辨力的。这个问题给历届学生带来过困惑，很多学生会认为，补
8、零后增加了信号的长度，也就提高了信号的频率分辨力，这其实是错误的。补零后只会使得信号的谱线更加平滑，即得到高密度谱，而不会增加信号的任何信息，从而不会提高频率分辨力。 图（d）和（e）只显示了一个峰值，（e）较（d）更平滑，即补零使得谱线显得更加平滑，消除了栅栏效应，但是无法分辨出更多的谱线。（f）中则出现了两条谱线，即能够将信号中的两个频率成分分辨出来，从而说明增加信号的有效长度，能够提高信号的频率分辨力。 结束语 本文所述四个问题，均为上课过程中学生所普遍遇到的难点问题，这些问题如同前进大道上的沟沟坎坎，容易让学生陷进去出不来，如果能够将这些问题迎刃而解，在学习数字信号处理这门课的过程中，思路将更加清晰明了，不仅能够加深学生对知识的理解，提高学生解决问题的能力，而且能激发学生对学习的积极性和创造力。