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1、一个几何模型的应用一、问题探究,数学建模 问题:在一片广阔的大草原上,有一条美丽的河流(直线a),不远处有一个牧马人(点A)想先到河边饮马,再回到自己的帐篷(点B)中去,请你给他设计一条路线,使他走的路程最短,他应到河边哪一点去饮马最好呢?请你帮他确定出点P。 猜想1:连结AB,作线段AB的垂直平分线与直线a有一个交点P,这个交点P的位置即是牧马人饮马的位置。 实验:用TI图形计算器在直线a上任取一点P,测算PA、PB、PA+PB的长度.拖动P点观察,当PA=PB时,即P在AB的垂直平分线上时,PA+PB的值是最小吗?(演示) 经过实验发现猜想1错误。 猜想2:过A作APa于P,连结BP,则P
2、A+PB最小。 实验:继续拖动P点观察,当APa时,PA+PB的值是最小吗? (演示) 经过实验发现猜想2错误。 猜想3:如下图(1):P点拖到这个位置时,左右两边的值都在变大,猜想应是点A关于直线a的对称点A与点B的连线与直线a的交点。 实验:作出点A关于直线a的对称点A,连结AB,观察AB与直线a的交点与拖动到的使PA+PB的值最小的点重合,如图(2)。 证明:如图,在直线a上任取一点P1,利用两边之和大于第三边即可。 学生对本题进行小结:通过两个图形的轴对称(镜面反射),使折线化为一条线段,是求这一类几何最值(最大值或最小值)问题的最常用的方法之一。 数学建模:已知直线a和直线a外同侧A
3、,B两点,作出点A关于直线a的对称点A,连结AB,则AB与直线a的交点P就是使PA+PB的值最小的点。 二、问题转化,强化建模,巧解几何极值问题 1:背景为角 在一个新的开发区,有两条新修的交叉公路,中间有一个小区A,公路ON旁有一个超市B,在公路OM旁要建一个菜市场C,由小区到菜市场再到超市,要铺设两条小路,菜市场C应建在什么位置,才能使材料最省? 上面这一问题可以转化为几何模型: 即实际问题几何模型几何极值问题不等关系两点之间线段最短。一个动点在一条直线运动且到两个定点的距离之和为最短研究和运用。 2:背景为四边形 如图,在菱形ABCD中 ,点E平分DC,点P在BD上,且PE+PC=1,那
4、么,AB的最大值。 问题转化为几何模型: 进而问题最终转化为两点之间线段最短,从而解决问题。 3.背景为圆 如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是 的中点,P点是直径MN上一动点,已知O的半径为1,则AP+BP的最小值为( )。 A.1 B. C. D. 核心问题: 理解轴对称,会利用轴对称的有关性质解决实际问题。能针对实际问题转化为几何极值问题,建立几何模型解决问题。 三、对此类问题的反思及延伸 轴对称变换在解决问题中所起的作用是什么呢?“实现了线段长度的等量转化,将直线同侧两定点问题转化为直线异侧两定点问题,利用轴对称变换实现了线段长度的等量转化。”再利用“两点之间线段最短”将问题得以解决。 如图,公园内两条小河汇合,两河形成的半岛上有一处古迹P,现计划在两条小河上各修建一座小桥,并在半岛上修三条小路,连通两座小桥与古迹,这两座小桥应建在何处,使所修建的道路最短? 1. 实际问题数学化如图,P为MON内一定点,分别在OM与ON上找点A、B,使ABP的周长最小。 2. 问题求解 解:作点P关于OM、ON的对称点P1、P2,连接P1P2 , P1P2与OM、ON分别交于A、B,点A、B即为所求。 总之:在教学过程要善于积累点滴经验,抓住轴对称在几何极值中起到的关键作用,将实际问题数学化,就可以激发学生兴趣,起到事半功倍的作用。 【