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1、一则基于合作学习的探究性教学案例 一、教学设计的背景和思路 浙教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册第一章三角形中，在研究了三角形全等的四种判定方法后，在课后练习第23页给出了这样一个题目：有两条边和一个角分别对应相等的两个三角形是否全等?这个问题其实涉及到两种情况：一、这个角是两条边的夹角；二、这个角是其中一边的对角对于第一种情况，两个三角形一定全等，即SAS定理，而第二种情况的结论则具有一定的综合性和复杂性，在以往的教学中，受应试功利主义的影响，教师往往直接举出反例，说明这样的两个三角形不一定全等，这种教学导致的结果是经过一段时间以后，大部分学生只知道不一定成立，因为有SAS定理，而
2、反例早就抛到脑后了其实，在这个结论的探索过程中不仅用到很多相关知识，而且涉及到分类思想、实验操作等方法论的内容，非常具有研究的价值 美国几何教材中，编排了大量体现一种应用性学习的课程设计作业即在综合所学的知识和技能的基础生，通过对有关问题的探究，提出解决问题的方案策略，再根据正确的策略进行实践操作得到问题的结论美国Massachusetts(马萨诸塞州)1998版初二几何教材关于设计作业涉及一个课题：使用变形其主要内容是这样描述的：选择一个关于三角形全等的条件和方法，然后写出一个计划来证明转变后的条件和方法 上述中美两套教材涉及的两个问题不谋而合，于是，笔者就这个问题设计了一节基于合作学习的探
3、究性教学案例，试图通过体验感悟、实践操作、发现问题、解决问题、表达与交流等活动方式，让学生更好地理解数学，学会象数学家那样思考和认识数学世界，使数学学习成为数学探究的简约复演，即数学的“再创造” 二、教学实录 上课开始，教师用多媒体出示课题名称：三角形条件全等的拓展和应用，开门见山提出问题：前几节课我们研究了三角形全等的条件，大家回忆一下，一共有哪些方法可以判断两个三角形全等? 学生齐声回答：SSS，SAS，ASA，AAS 教师板书这四种方法后，接着说：很好，我们知道，这4种方法都是从三角形的基本元素边和角出发进行讨论的，这些条件不仅是边或角中三个元素的组合，而且边和角还有位置上的限制，如SA
4、S中的角必须是两条边的夹角那么是否还存在其他的组合呢?比如AAA，能判断两个三角形全等吗?为什么? 学生1：不能比如这两个三角形形(指着手中的一个三角板)，三个内角分别都是45，45，90，但这两个三角形显然不全等 教师：非常好!这样的反例很多，其实，如果仅仅已知三角形的三个内角，我们可以画出无数个三角形，也就是说，已知三角形的三个内角，三角形的形状和大小是不能确定的 所以，AAA不能判定两个三角形全等 教师接着追问：那么SSA呢?能否用这样的条件判断两个三角形全等？学生一时语塞，陷入沉思 片刻后，教师启发道：这个问题相当于让我们探究有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗? 课件显示
5、： 探究有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗? 教师继续启发：我们很难直接想到明确的答案那么首先让我们来思考用什么方法可以解决这个问题呢? 话音刚止，学生2立刻举手发言：不一定全等，当已知角是直角时，两个三角形全等；当已知角是钝角时，两个三角形全等；当已知角是锐角时，两个三角形不全等 教师惊叹：太棒了，你几乎说出了这个问题的正确答案，你能告诉同学们，你是怎么思考的吗? 学生2犹豫一下，说：我直接想出来的教师微笑：哦，直接想出来的，不错，说明你的数学直觉很好，但解决问题仅仅凭数学直觉是不够的再想想我们在说明SSS，SAS，ASA，AAS定理时，是用什么方法得到的? 学生2：哦，对了，
6、画三角形，已知三角形的两边和其中一边的对角，画出这个三角形，然后把画得的三角形跟同学进行比较，就知道能否全等了 教师：非常好!下面我们一起动手通过画三角形来探究这个问题 课件显示： 小组合作学习： 1每组分别编一个画三角形的作图题，要求画一个三角形，使这个三角形的两边和其中一边的对角是已知量(注意：要使已知条件能构成三角形，否则要重新调整数据) 2根据每组自编的题目，每个组员画出满足要求的三角形 3把你画出的三角形跟组内其他同学所画的三角形进行比较，它们全等吗? 4请小组代表在班上交流你们组发现的结论 小组操作，教师巡视，参与指导和点拨，约十分钟左右，学生纷纷举手要求发表意见 学生3：我们组从
7、最简单的情况入手，设计的题目是：求作ABC，使AB=4，AC=3；C90我们发现满足条件的三角形的形状和大小都是确定的，由此可以得到，当SSA中的角为直角时，三角形全等其他情况还在探索中 实物投影展示：组内同学所作的四个满足条件的三角形，分析比较后得到四个三角形全等 教师：很好，有没有与他们得到的结论一样的小组? 小组1举手示意 教师继续追问：其他小组有不同的意见吗? 学生4：我们小组设计的题目是：求作ABC，使AB4,AC=2，C=120我们发现满足条件的三角形的形状和大小也是确定的，由此可见，当SSA中的角为钝角时，三角形全等(实物投影展示实验结果) 教师：非常好，有没有小组设计的题目中的
8、已知角是锐角的情况? 学生5：我们小组设计的题目是：求作ABC，使AB=3，AC=2，C=60但是我们发现满足条件的三角形的形状和大小也是确定的，由此可见，当SSA中的角为锐角时，三角形也是全等的(实物投影展示实验结果) 学生6马上站起来，发表意见：不对，我们小组设计的题目是：求作ABC，使AB3，AC4，C=30，发现满足条件的三角形可以画出两个，也就是说满足条件的三角形的形状和大小是不确定的，由此可见，当SSA中的角为锐角时，三角形不全等(实物投影展示实验结果) 教师：同学们，从实验数据看，这两组同学说的都有道理，那么问题出在哪里呢? 这时，同学们陷入了沉思中，学生7犹豫着站起来了：这里的
9、角都是锐角，我觉得好像跟两条已知边有关系，如果第二个题目(指学生6的题目)中的AB取5的话，那么又只能画一个三角形了 其他同学若有所悟，教师启发：很有道理，同学们继续观察，全等的时候，两条已知边有什么关系?不全等的时候，又有什么关系? 学生7：我想应该是若已知角所对的边是两条边中较长的那条边时，那么两个三角形全等；若已知角 所对的边是两条边中较短的那条边时，那么两个三角：形不一定全等 至此，通过教师的点拨和学生的积极参与，问题已经得到了很好的解决，教师投影总结问题的各种情况，并归纳出直角的情形，其实是HL定理，指出关于定理的证明留到以后再完成，出示HL定理的应用 投影显示： 没有量角器，利用刻
10、度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗? 小红的画法： 如图，用三角板画角平分线的方法： (1)利用三角板在AOB的两边上分别取OM=ON； (2)分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P； (3)画射线OP 则射线OP就是AOB的角平分线 师生共同完成解答过程，最后总结本节课的知识和方法 三、课例分析 关于公式、定理、法则教学课，宜侧重选用尝试发现、自主探索方式、教学实验方式和多向合作交流方式本节课从已有的判定三角形全等的条件入手，通过类比改变条件，尝试发现的方式抛出问题，放手让学生通过几何实验(画图)的方法以及自主探索、多向合作的方式进行探究性学习，从而得到问题的解决 1关于合作 这里的合
11、作包括三方面的合作：师生合作、组内合作、组间合作在本节课中，教师是探究活动的组织者，是探究材料和学习任务情境的提供者，是探究方法手段设计的帮助者而且，教师对学习过程进行监控，对学习中存在的问题提出建设性意见，指导学生反思整个探究学习组内合作与组间合作首先应注意如何合理分组，笔者根据组内人员异质(即基础水平有上、中、下三类)、组间同质的原则，利用位置上的方便，采取前后两桌四人一小组 本节课通过教学实验方式和多向合作交流方式的实施，使问题得到圆满解决的同时，也使学生初步认识数学的另一个侧面，自觉领会和遵循社会人生存的规范和准则，在发挥个体作用、经受个体竞争考验的同时，可启迪学生善于与在人合作，使学
12、生的团队精神和竞争意识得到激励和培养 2关于探究性学习 在传统的课堂教学中，学生体验到的数学基本上是“数学成品”，学生很少有机会尝试、实验或探究，找寻各种不同的问题答案有效的数学学习活动不能单纯地模仿与记忆，学习不单是听讲，而且还应研究、发现或实验动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式在探究性学习模式中，教师呈现给学生的是一个或多个问题，或需要予以解决的疑难情境教师对问题不给予直接的答案，学生根据问题有目的地动手实践、自主探究、分析信息，同教师或其他同学进行交流讨论，最终解决问题在这一过程中，教师的任务主要是给予学生适当地引导，没有教师的引导学生会失去探究的方向在大多数学习过程中，学生往往只能独立解决部分难题，探究性学习也不是经常独立运作的，需要小组内部和外在的反馈，以帮助理解问题、理解对象的结构有些帮助有助于学生形成合理的认知策略，保证学习的顺利进行本节课，通过学生自主编写三角形作图题来研究三角形全等的判定条件，从方法论的高度给学生以启发；同时，在几何作图的过程中，需要用到一些作图原理，通过合作交流，弥补个别学生作图知识的不足 本节课，不仅通过组内合作探究，而且通过组间互补，使问题得到圆满地解决