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1、一种基于灰色关联分析和超效率DEA的MCDM模型doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.02.034 MCDM model based on gray correlation analysis andsuper-efficiency DEA LI Ling1, LIU Jian-yong1, FU Cheng-qun1, WU Zhong-jun1,2 (1. Engineering Institute of Engineering Corps, PLA University of Science & Technology, Nanjing 210007, Chin
2、a; 2. Command & Engineering Institute of Chemical Defense, Beijing 102205, China) Abstract:In view of the defect that the weights of multiple criteria decision making (MCDM) are hard to determine objectively, this paper proposed a hybrid model combined gray correlation analysis with super-efficiency
3、 DEA (data envelopment analysis). On the basis of gray correlation analysis, it calulated the point correlation degree of each criterion. In order to obtain relative optimal gray correlation degree of each criterion and rank them completely, suggested the super-efficiency DEA method. The hybrid mode
4、l could ascertain the weight vector more objectively. It broke through the constraint that the sum of each weight vector was equal to 1, thus the homogeneous weight could be more flexible. The improved model could lead to relative optimal gray correlation degree of each criterion. Super-efficiency D
5、EA could enhance the discernment ability as well. It stu-died the influence factors of vacant commercial housing in Beijing city.The results show that the correlation order of influence factors. The numerical example illustrates the availability and efficiency of the hybrid model. Key words:gray cor
6、relation analysis; super-efficiency DEA; weight; MCDM; vacant commercial housing 0 引言 MCDM广泛应用于生产计划制定、生产效率分析、影响因素决策等多种问题。在MCDM问题中,决策者通过分析比较不同性质的属性对相似决策单元进行评估及排序1, 2。灰色关联分析方法是一种典型的属性辨识和解析工具,它根据分析对象的取值频率与常见分布取值频率的相似程度来判断评价对象的分布规律。它具有所要求的试验数据少、易于流程化、计算过程简单等特点3, 4。然而,传统的灰色关联分析方法在解决MCDM时常常出现属性权重难以客观确定的问题
7、,而且权重系数一旦被确定则用于所有决策单元的灰关联度计算,这种均一性的权重往往不能得到最优结果。 DEA是一种评价决策制定单元(DMU)相对有效性的非参数方法,是一种常用且重要的分析工具和研究手段5, 6。它能够与灰色关联分析很好地结合,通过求解各DMU和数据有效前沿面的相对距离确定各灰关联属性的相对最优权重系数及关联度。然而,传统的CCR(charnes, cooper and rhodes)模型得到的相对最优关联度可能存在同时有效的情况,即效率值都为1。在这种情况下,对DMU的比较不能将其充分排序,本文利用一种改进的DEA模型,即超效率DEA模型解决这一问题79。与一般的DEA模型不同,超
8、效率DEA将评价单元的参考集去除被评价单元本身,将评价单元与其他所有评价单元的线性组合作比较,其得到的超效率值能够将相对最优灰关联度进行充分排序,具有更好的分辨能力。本文还通过北京市商品房空置影响因素的实例分析验证了该混合算法的有效性。 1 基于灰色关联分析的MCDM模型 1.1 MCDM问题 对于MCDM问题,通过分析比较不同属性对决策单元进行评估研究,其数学模型表示如下: A1 A2 AnD=C1C2Cmx11x12x1nx21x22x2n?螃螃?xm1xm2xmn(1) Y=y1y2yn(2) =12n(3) 其中:A1,A2,An为n个观察点;C1,C2,Cm为m个属性;xij为第i个
9、属性、第j个观察点的值;为权重向量,k为第k个观察点的权重。 1.2 基于灰色关联分析的MCDM建模 由上述定义,将数据进行如下处理: x1(0)(k)=x1k/x1; k=1,2,n x2(0)(k)=x2k/x2; k=1,2,n xm(0)(k)=xmk/xm; k=1,2,n 其中:xi为第i个属性的n个观察点的平均值,得到m个新的序列 X1=x1(0)(1),x1(0)(2),x1(0)(n) X2=x2(0)(1),x2(0)(2),x2(0)(n) Xm=xm(0)(1),xm(0)(2),xm(0)(n) 上述均值化过程能够消除不同属性量纲的影响,同样对母属性进行均值化得到:
10、X0=x0(0)(1),x0(0)(2),x0(0)(n) 其中:x0(0)(k)=yk/Y(k=1,2,n),Y为母属性的n个观察点的平均值。 令M=1,2,m,N=1,2,n,得到 1=miniMminkN|x0(0)(k)-xi(0)(k)| 2=maxiMmaxkN|x0(0)(k)-xi(0)(k)| 3=|x0(0)(k)-xi(0)(k)| d0i(k)=1+23+2;k=1,2,n(4) 其中:d0i(k)为Xi和X0在第k个观察点的相对距离,称其为Xi和X0在第k个观察点的关联度;为分辨系数,通常取01,一般取=0.5。由权重k0,kN,令r0i=nk=1kd0i(k),iM
11、,r0i即为Xi和X0的关联度,它反映了第i个属性和母属性之间的关联程度,通过比较r0i可以对各子属性与母属性之间的关联程度进行排序,为决策者提供所需信息。 为了计算r0i,需要确定灰关联度权重向量k。在确定权重向量时主要存在以下问题: a)通常的方法是采用专家打分、经验取值及AHP方法,然而这些方法人为因素较大,得到的结果往往过于“主观性”。 b)一旦权重系数被确定,则将其用于每个属性的关联度计算,这种均一性的方法使得权重系数对某些属性有利,而对其他属性不利,因此所得关联度缺乏公正性。 c)传统的方法要求权重和为1,这一方法是基于统一权重的思想,各属性的关联度不一定最优。 利用DEA方法,将
12、其与灰色关联分析结合,可以解决以上问题。 2 基于超效率DEA的灰关联分析模型 2.1 超效率DEA 传统的CCR模型中,当多个DMU为有效时,则会出现这些DMU之间无法比较的问题。超效率DEA模型的参考集不包括被评价的伪装方案DMU0本身,将评价单元与其他所有评价单元的线性组合作比较。将某个DMU能增加其投入而保持相对有效性的最大比例值称为超效率值,该值显然可能大于1。在CCR模型中结果为有效的DMU,通过比较超效率化得到的超效率值可解决DMU充分比较的问题。 设有n个DMU,输入指标数为m,输出指标数为s。Xj=(x1j,x2j,xmj)T为输入数据集,Yj=(y1j,y2j,ysj)T为
13、输出数据集,其中j=1,2,n。评价单元第j0(下标为0,下同)决策单元DMU0的超效率DEA模型(相对于DEA(CCR)模型而言): max h0=sr=1ryr0 s.t.mi=1ixi0=1 mi=1ixij-sr=1ryrj0 j=1,2,n(j0) i,r0,i,r(5) 2.2 超效率DEA改进灰色关联分析 为计算r0i,利用上述超效率DEA模型对灰色关联分析进行改进。构造输入值均为1的m维输入向量,将MCDM中的每一个属性看做一个DMU,其相应输出值为该点的点关联度值。输入/输出结构如图1所示。 基于超效率DEA模型改进灰色关联分析,得到以下混合模型: max r0i=nk=1k
14、d0i0(k) s.t. 01=1 01-nk=1kd0i(k)0 i=1,2,m(ii0) k,00,k(6) 其中:0为输入值权重,k(k=1,2,n)为输出值权重,即为灰色关联度中各属性点的权重,每一属性分别对应n个权重值。式(6)可以简化为以下模型: max r0i=nk=1kd0i0(k) s.t. nk=1kd0i(k)1 i=1,2,m(ii0) k0,k(7) 求解式(7)得到最优解为k及r0i,分别为第i0个属性的权重和相对最优灰色关联度。在传统的灰色关联分析中,要求权重和为1,当权重被确定后,用于每一属性的关联度计算,这样导致了无法得到每一属性的相对最优关联度。式(7)克服
15、了以上缺点,对于每一属性,模型给出相应的权重向量及相对最优灰色关联度,结果更加客观、合理。 对m个属性计算m次式(7),对得到的r0i值进行排序,可以得到该m个属性与母属性的关联度排序,即r0i值越大则子属性与母属性越相关。 通过对MCDM问题进行数学描述,提出利用灰色关联分析方法对其进行建模,进而利用超效率DEA方法对灰关联模型进行改进优化。这样两阶段建模改进MCDM得到的混合模型不但发挥了灰色系统所需数据少、计算简单的优点,还利用超效率DEA克服了权重的弊端。同时,混合模型在最优关联度及其分辨与排序上更具优势,是一种较好的解决MCDM问题的方法。 3 实例分析 商品房空置面积的影响因素是复
16、杂的,它受经济、社会、人口、环境、政策等因素的影响,其主要影响因素如图2所示。 根据北京市2007年国民经济和社会发展统计公报及北京市统计年鉴,20002007年北京市空置商品房影响因素如表1所示。属性C1C8为影响因素子属性,最后一行为商品房空置面积数据,作为灰色关联分析的母属性。 表1 20002007年北京市商品房空置面积及影响因素 影响因素20002001200220032004200520062007 C1/元/平方米4919.05062.04764.04737.05052.96274.08280.012436.0 C2/亿元3161.03710.54330.45023.86060.
17、36886.37870.39006.2 C3/万平方米1365.61707.42384.42593.73067.03770.93193.92891.7 C4/亿元522.1783.8989.41202.51473.31525.01719.91995.8 C5/元10349.711577.812463.913882.615637.817653.019978.021989.0 C6/万人1058108011181151118712861333.31379.9 C7/亿元2923.23536.34389.75293.56122.38315.89515.09155.3 C8/平方米/人16.7517.
18、6218.2018.6719.0919.4520.0620.30 商品房闲置面积/万平方米627.4774.0919.01123.41044.11374.21039.71136.2 对表1数据进行灰色关联分析,得到各属性的点关联度,分别利用传统灰关联分析方法、CCR模型和本文提出的混合模型进行权重的优化和关联度计算,结果及对比如表2所示。对于灰关联分析,基于传统权重确定方法,八个影响因素的排序为 C2C5C3C7C1C6C8C4 其中:“?骸北硎居庞?,即子属性与母属性的关联程度更接近。可以看出,商品房平均售价C1的关联度过小,不符合市场实际情况。对于CCR模型,C1、C2、C3、C5及C7的
19、关联度均为1,因此无法将其充分排序。利用超效率DEA模型对其进行优化,可以将其区分开来,该八个影响因素的排序为 C2C1C5C3C7C6C4C8 可知,地区生产总值、商品房售价及城镇居民人均每年可支配收入为影响商品房空置面积最主要的因素,城镇人口总数、房地产开发投资额及城镇居民人均住宅使用面积对商品房空置面积的影响较小。 表2 超效率DEA改进灰色关联分析结果及比较 影响因素20002001200220032004200520062007灰色关联度基于CCR的灰关联度基于超效率DEA的灰关联度 C110.8310.6700.5490.6120.5240.9750.5840.71811.241
20、C210.9440.9140.8330.7990.9880.5470.4920.81511.464 C310.9840.7810.9020.6340.6380.5960.7660.78811.158 C410.7900.7000.6620.4650.5790.3810.3330.6140.8120.812 C510.8970.7940.6910.8680.6750.7860.7620.80911.236 C610.8250.7110.5890.6500.5080.7170.6650.7080.9160.916 C710.9770.9650.9800.7000.6060.3860.4320.75
21、611.133 C810.8470.7270.5980.6670.4940.6860.6270.7050.4620.462 4 结束语 本文研究了MCDM问题,利用灰色关联分析求解各属性的点关联度,并用超效率DEA模型对灰色关联分析算法进行改进,优化了权重向量及灰色关联度,得到的混合模型具有以下优点: a)它克服了MCDM权重向量难以客观确定的问题,利用DEA这一非参数估计方法改进模型使得权重更加客观。 b)传统算法中不同观察点的所有属性对应同一权重,且同一属性在各观察点的权重和为1,文中混合算法所得权重突破了权重和为1的限制且更加灵活,能够得到各属性的相对最优灰色关联度。 c)超效率DEA能够提高传统DEA模型的分辨能力,将同为DEA有效的关联度值进行充分排序区分。 进一步研究方向可以将灰色关联分析扩展到模糊数范围,对于观察点的关联度分析也可以考虑利用超效率DEA进行优化。