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1、一道理科立几题的难因分析 2010年广州一模刚刚结束,当师生们对理科数学试题进行总结研究时,大家谈论最多的是第18题立体几何题.大家对这道题是既爱又恨,爱的是它是决定数学成绩好与差的一道分水岭,因为前面简单题大家都会,后面难题大多数人拿不到多少分,而这道题立几题就成了能否让成绩上一个档次的关键,这也是历年广东高考数学试题的一个规律;恨的是这道位列仅第三的大题,此次得分(全区均分为4.37)居然与后三道压轴题旗鼓相当.人们不禁要问,面对这道看似简单的立几题,究竟是什么原因导致如此低的得分率呢? 题目:正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD,线段CD为圆O的弦,AE垂直于圆O所在的平面,垂
2、足E是圆O上异于C、D的点,AE=3,圆O的直径为9. (1)求证:平面ABCD平面ADE; (2)求二面角D-BC-E的平面角的正切值. 看似简单的原因: (1)本题的排位在六道大题中的第三位,按常规前三道题是中等偏易的题目. (2)题目的条件背景简单,图形结构新颖而不陌生,类似于2006、2008年广东高考立几题. (3)设问的方式很常规,是常见的一证一求问题. (4)入手的第(1)问简单,一般的同学都能完成. 第(1)问证明:AE面CDE,又CD面CDE,AECD,又CDAD,且ADAE=A,CD面ADE,又CD面ABCD,面ABCD面ADE. 所以无论从那方面来看,此题都应该是一道较简
3、单能拿满分的题.然而,当同学们满怀信心做第(2)问时,此题的“难”终于露出了它的真面目.以向量坐标法为例来说明(对于求角问题大多数同学选择坐标法求解,这也是高考立几题考察的一个侧重方向). 感到“难”的原因: (1)建系困难.此题条件只有一个垂直关系即AE面CDE,若以A为坐标原点,另一个垂直关系原图中没有直接给出,若随意作垂直建系,找坐标无疑是相当困难的.较多同学想到了以D为坐标原点建系,但没有给出CDDE的证明,省略了建系过程,实际上此环节占4分.有些同学审题不清,默认CE是圆的直径,得出CDDE.还有同学不会自己作出z轴. 建系过程:由第(1)问的证明有CD面ADECDDE,即以D为坐标
4、原点,DC、DE分别为x轴和y轴,以平行于AE的直线为z轴建系如图2. (2)找点的坐标困难,特别是B点的坐标.考完后,有同学说“找”不出CD和DE的长度. 的确,这里的长度不是找出来的,而是要通过一定的努力求出来. 在RtCDE中,CD2+DE2=92,在RtADE中,由AD=CD,DE2+32=CD2,联立方程得:CD=3,DE=6,C(3,0,0),D(0,0,0),E(0,6,0),A(0,6,3). 而大多数没有完成此题的同学还是卡在了B点的坐标,同学们习惯了找坐标,但B点在底面的射影在哪里呢?不知道.在做对此题的同学中有相当部分同学是猜对B点坐标的. 事实上,在圆O内,可作以CD、
5、DE为边的圆内接矩形CDEF,连接BF,如图2,可证BF/AE,则BF面CDE,即F为B在面CDE上的射影,则B(3,6,3). 而更简捷的方法是求B点坐标.设B(x,y,z),由=,即(x-3,y,z)=(0,6,3),利用向量相等即得. (3)计算困难.经过前面困难的两关,剩下的仅仅是一个计算法向量的过程了.但面对计算关,仍有许多同学跌落此处.较大的数字、含根号的运算,让同学们叫苦不迭,最后能正确运用公式,得出正确答案的同学寥寥无几. 设平面ABCD的一个法向量为=(x1,y1,z1),则•=0,•=0, 即6y1+3z1=0,3x1=0,可得=(0,1,-2).
6、设平面BCE的一个法向量为=(x2,y2,z2),则•=0,•=0, 即6y2+3z2=0,3x2+3z2=0,可得=(2, -2). cos=,设所求二面角为,可知为锐角,cos=,sin=,故tan=为所求. 启示:“难”和“易”是相对的.通过分析,我们认为此题仍然是一道常规的立几题.造成让同学们对此题感到“难”的原因是在向量坐标法引入到立体几何后,同学们弱化了自身对几何推理论证、求值运算能力的要求,忽视了对辩图、识图能力的培养,对高考理科立几题命题的特点、趋势不够了解,缺乏针对性的训练.因此,在立体几何的学习中,同学们要努力做到: (1)重视几何推理论证、数值运算
7、能力的培养.在向量坐标法引入到立体几何后,对避免一些繁杂的几何证明求值,起到了很重要的作用,特别是求角、求距离,传统的“证”“找”“求”变成仅是计算问题,也因此立体几何曾经失去了几何味,难以发挥其培养同学们空间想象能力的功能.因而,近几年的高考立几题在两种方法兼顾的前提下,坐标法在建系找点坐标的过程中,往往需要经历几何推理证明和求值的过程.同学们要扎实掌握线线、线面、面面关系的几何推理证明,同时培养自己辨图、识图能力. 建系时,在没有明显的三线两两垂直的情况下,要给出充分的推理证明过程,否则,将会在此环节失分.此外,建系要将尽量多的相关点放在坐标轴上,便于后续计算. (2)加强找点坐标的训练.得到点的坐标是整个向量坐标法做题过程的关键,找错一个点的坐标将全盘皆输.在图形中找坐标是基本要求,但有时一些长度需要运用平面几何知识计算出来,有时一些点的坐标要根据条件如向量垂直、平行、相等等相关的公式求得. (3)熟记公式,确保运算的准确度.要熟练运算的过程,简化运算程序,能准确求出法向量,所取法向量最好不含分式.对三个角(线线角、线面角、面面角)一个距离(点到面距离)公式要有区分记忆,确保不失分. 责任编校 徐国坚