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1、一道高考几何存在性问题的代数证明 2005年重庆第16题）联结抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号） 菱形， 有3条边相等的四边形， 梯形， 平行四边形， 有一组对角相等的四边形 本小题是一个区分度较高的试题，很多学生无从下手，因其是几何作图的存在性问题，所以没有办法构造出适合题意的四边形，要根据以往的解题经验进行联想，从而构造出特殊的四边形，特殊化是解决此题的思维利器显然，平行四边形和菱形不可能，梯形是可能的 条件有3条边相等的四边形，如图1所示，构造如下：设点D是抛物线的顶点，点A，C是抛物线上关于其对称轴对称的两点，以点C为圆心，DC为半径作圆交抛物线于点B，联结
2、AB，BC，CD，DA所得四边形就适合题意 图1 图2 条件有一组对角相等的四边形，如图2所示，设A是抛物线顶点，过点A作两条互相垂直的直线交抛物线于点B，D，以线段BD为直径作圆与抛物线交于点C，则四边形ABCD适合题意（因为圆和抛物线均为二图3 次曲线，只要它们不是相切的特殊位置，其公共点应该成对出现，由于已经存在3个公共点，必有第4个公共点）；或者如图3所示：设A、C为抛物线上任意两点，只要AC与抛物线的对称轴不垂直，则作线段AC的垂直平分线交抛物线于点B、D（因为线段AC的中点在抛物线的内部，则过抛物线内部的点的直线必与抛物线交于两点），易得四边形ABCD的一组对角BCD=BAD，故适
3、合题意 对于一般圆锥曲线f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，令 =B2-4AC,若 0，则 f(x,y)=0为椭圆型；若=0，则 f(x,y)=0为抛物线型，若0，则 f(x,y)=0为双曲线型 性质若直线AB的方程为F1（x,y)=0，直线BC的方程为F2（x,y)=0，直线CD的方程为F3（x,y)=0，直线DA的直线方程为F4（x,y)=0，则方程F1(x,y)?F3（x,y)+F2(x,y)?F4（x,y)=0表示过A，B，C，D四点的二次曲线方程（其中为参数） 证明平行四边形 证明： 设Ax+By+Ci=0 (i=1,2), Ax+By+Ci=0 (i=1,2)
4、分别为一平行四边形的两组对边，则过其四个顶点的二次曲线系为： （Ax+By+C1)(Ax+By+C2)+(Ax+By+C1)(Ax+By+C2)=0，其中 x2的系数为A2+A2, y2的系数为B2+B2，xy的系数为2（AB+AB)，而 =4(AB+AB)2-4(A2+A2)(B2+B2)=-4(AB-AB) 又 0，A A B B ，故 0，故二次曲线方程不表示抛物线 菱形是特殊的平行四边形，显然不可能 证明梯形 证明： 设梯形EFGH，其中EF： Ax+By+C1=0, GH:Ax+By+C2=0， FG：A1x+B1y+C3=0, HE: A2x+B2y+C4=0，则过其四个顶点的二次
5、曲线系为：（Ax+By+C1)(Ax+By+C2)+(A1x+B1y+C3)(A2x+B2y+C4)=0，其中x2的系数为A2+A1A2，y2的系数为B2+B1B2，xy的系数为2AB+(A1B2+A2B1)，而 =2AB+(A1B2+A2B1)2-4(A2+A1A2)(B2+B1B2)= (A1B2-A2B1)22+4AB(A1B2+A2B1)-4A2B1B2-4B2A1A2 因为直线FG与HE不平行，所以 A1B2A2B1 即 A1B2-A2B10 =AB(A1B2+A2B1)-A2B1B2-B2A1A22=(AB1-BA1)(AB2-BA2)2 又因为 EFGH，FG与EF不平行，HE与
6、EF不平行，所以 AB1-BA10，AB2-BA20， 则 0恒成立，即存在0使得=0成立，故二次曲线方程可表示抛物线 证明有3条边相等的四边形 证明： 设四边形为ABCD且BC=CD=DA=2a，以CD为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立如图4所示坐标系，则 C（-a,0), D(a,0)，设直线AD的倾斜角为 (0)，直线BC的倾斜角为 (0) 则 A（2acos, 2asin), B(2acos, 2asin) 直线AD： y=tan(x-a)， 即 tan?x-y-atan=0， 直线BC：y=tan(x+a)， 即 tan?x-y+atan=0， 直线CD： y=0 直线AB的斜率 k
7、AB= 2asin-2asin 2acos-2acos = sin-sin cos-cos . 直线AB： y-2asin= sin-sin cos-cos (x-2acos) 即 （sin-sin)x-(cos-cos)y+2asin(cos-cos)-2acos(sin-sin)=0， 则过ABCD四点的二次曲线系为： (sin-sin)x-(cos-cos)y+2asin(cos-cos)-2acos(sin-sin)y+(tan-y-atan)(tan?x-y+acos)=0，其中x2的系数为tantan，y2的系数为-(cos-cos)，xy的系数为（sin-sin)-(tan-ta
8、n)，而 =(sin-sin)-(tan+tan)2-4tantan-(cos-cos)= (tan-tan)2+2(tan-tan)(sin+sin)+(sin-sin)2 当 =时，四边形ABCD为菱形，二次曲线方程不表示抛物线 当时，=4(tan-tan)2(sin+sin)2-4(tan-tan)2(sin-sin)2= 16(tan-tan)2sinsin 又因为 0，0 ，所以 0恒成立，即存在 0使=0成立，故二次曲线方程可表示抛物线 图4 图5 证明有一组对角相等的四边形 证明： 取符合上述条件的特殊的四边形ABCD且ABC=ADC, AB=AD，BC=CD，则对角线AC与BD
9、垂直，以BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图5所示的坐标系，则A（0,b), B(-a,0), C(0,c), D(a,0) 直线AD：x a + y b =1 即 bx+ay-ab=0， 直线AB： x -a + y b =1 即 bx-ay+ab=0, 直线BC：x -a + y -c =1 即 cx+ay+ac=0， 直线CD：x a + y -c =1 即 cx-ay-ac=0 则过ABCD四点的二次曲线系为： （bx+ay-ab)(cx+ay+ac)+(bx-ay+ab)(cx-ay-ac)=0 其中x2的系数为（1+)bc， y2的系数为（1+)a2，xy的系数为（1-)(ab+ac)，而 =(1-)2(ab+ac)2-4(1+)2a2bc= a2(b-c)22-2(b+c)2+8bc+(b-c)2 当b=c时，四边形ABCD为菱形，二次曲线方程不表示抛物线 当bc时，=2(b+c)2+8bc2-4(b-c)2(b-c)2= 8(b2+c2)bc+32(b+c)2bc+64b2c2 又因为 a0, b0, c0，所以 0恒成立，所以存在0使得=0，故二次曲线方程可表示抛物线 注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文