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1、一道高考数学题的多解溯源变式与创新 我们来看一道高考数学题2008年高考数学江苏卷第14题: 已知f(x)=ax3-3x+1对于x-1,1总有f(x)0成立,则a= . 一、多解 解法1:(构造函数法)(略) 解法2:(最值思想) x-1,1时,f(x)0恒成立,f(1)=a-3+10a2,而f(x)=3ax2-3,由导数的性质可知f(x)在区间(-1,-),(,1)上分别增函数,在区间(-,)上为减函数.要使x-1,1时,f(x)0恒成立,则f(x)min0即可,即f(-1)0f()0a4a4a=4. 解法3:(特殊值法) x-1,1时,f(x)0恒成立,取x=-1与x=,则f(-1)0f(
2、)0a4a4a=4. 二、溯源 引例的背景,事实上是人教版的教科书(A版)选修1-1第110页复习题.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=-2处有极大值,求c的值.原题与考题比较,已知函数有极大值,求未知参数,解题思路清晰,而考题条件相对强一些,条件与结论关系抽象,学生不易理解,增加了解题的难度. 三、变式 变式1 (2004年全国,文21)若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+)上为增函数,试求实数a的取值范围. 解:函数f(x)的导数f(x)=x2-ax+a-1. 令f(x)=0,解得x=1或x=a-1. 当a-11,即a2时,函数f(x
3、)在(1,+)上为增函数,不合题意. 当a-11,即a2时,函数f(x)在(-,1)上为增函数,在(1,a-1)内为减函数,在(a-1,+)上为增函数.依题意应有 当x(1,4)时,f(x)0. 所以4a-16,解得5a7.所以a的取值范围是5,7 变式2(2005山东卷)已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的极值点,其中m,nR,m0f(1)0a,b满足的约束条件为b0a+2b+10作可行域即右图中阴影部分,又目标函数z=可理解为可行域中的点(a,b)与点(1,2)连线的斜率的取值范围,设P(a,b),A(-1,0),C(-3,1),则kAP=1,kPC=所以的取值范围是(,1),故选A. 2.(2005全国卷)已知a0,函数f(x)=(x2-2ax)ex. (1)当x为何值时,f(x)取得最小值,证明你的. (2)设f(x)在-1,1上是单调函数,求a的取值范围 (答案:(1)x=a-1+时,f(x)取得最小值;(2)a的取值范围是,+) 责任编辑 邹韵文