《三角恒等变换的常用方法与技巧.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角恒等变换的常用方法与技巧.doc（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、三角恒等变换的常用方法与技巧 三角变换是运算、化简、求值、证明过程中运用比较多的解题技巧,熟练运用三角变换中的常用技巧是高考中所必需的.同学们要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算、化简的方法和技能.下面将介绍三角变换中常用的方法与技巧. 一、 角的变换 三角函数式中往往出现较多的差异角,注意观察角与角之间的和、差、半等关系,化多角为单角或减少未知角的数目,沟通条件与结论角的差异,使问题顺利获解. 例1 已知0cos,所以sin-cos=. 评析 切割化弦是三角变换的一种常用方法,若能把所给式子中的三角函数都化成同名、同角的三角函数,则此三角函数式的化简,实质上是代数式的变形. 三、 常数
2、的变换 在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,尤其要重视常数“1”的各种变形,这样,就增加了多种可用的工具. 例3 已知=5+2,求的值. 分析 要求的值,条件=5+2是非常重要的,需要从这一条件出发,将的某一三角函数值求出,即可获解. 解 =tan(45+)=5+ 2. 因为=tan(45+), 所以=5- 2. 评析 这里对1的代换很灵活,考虑到公式 tan(+)=,分子部分的1用tan45代换,而分母部分的项1不代换,系数1用tan45代换,可巧妙地化简. 四、 公式变换 三角公式作为恒等式,在运用时,不能仅局限于它的正用,逆用公式不仅能进一步熟悉掌握公式,而且更
3、便于解题. 例4 求tan25+tan35+tan25tan35的值. 解 因为tan(+)=,由此公式的变形,有tan+tan=tan(+)1-tantan,整理得tan+tan+tan(+)tantan=tan(+). 令=25,=35,即得tan25+tan35+tan25 tan35=tan60=. 评析 由此例还可以编拟出一系列有趣的恒等式,比如:令+=60,+=120,+=135等. 五、 升次变换 通过平方升次运算,可以避开直接解题时的麻烦,使解题思路更明显,解法更巧妙. 例5 已知sincos=,求cossin的取值范围. 分析 由已知和所求的式子,容易想到通过三角恒等式cos
4、2+sin2=1,使其产生联系,故尝试把两个式子平方. 解 由sincos=两边平方,得sin2cos2=, 又cos2sin2= (1-sin2)(1-cos2) =1-(sin2+cos2) +sin2cos2=-(sin2+cos2), 因为sin2=,所以sin2+cos2=+cos2=-cos2+1, 所以cos2sin2=-cos2+1=-cos2. 所以-cossin. 六、 降次变换 降次变换需要使用倍角公式:sin2=,cos2=. 例6 求sin4+sin4+sin4+sin4的值. 解 原式=sin22+sin22+sin22+sin22=1-cos2+1-cos2+1-cos2+1-cos2=1-2cos+cos+cos+cos+cos2+cos2+cos2+ cos2=1-cos+cos-cos-cos+1+cos+1+cos+1+cos+1+cos=1+cos+cos-cos-cos=. 1. 已知,成公比为2的等比数列(0,2),且sin,sin也成等比数列,求,的值. 2. 锐角,满足条件+=1,求+的值. 3. 已知0