1、 第一章第一章 测量与量与误差差1.1 测量及分量及分类 1.2 测量量误差差1.3 误差的分差的分类.一、测量一、测量测量与分类测量与分类是将待测量与选做计量标准的同类物理量进行比较，得到此物理量的是将待测量与选做计量标准的同类物理量进行比较，得到此物理量的测量值的过程。测量值必须包括测量值的过程。测量值必须包括:数值和单位数值和单位0(cm)123l待测物待测物理量理量2.00计量标准计量标准待测物理待测物理量的量的数值数值单位单位2.00cm2025/7/122025/7/12.测量的分类测量的分类摆长摆长l如：通过测量单摆的振动如：通过测量单摆的振动周期周期T和和摆长摆长l，测，测重力
2、加速度重力加速度g通过待测物通过待测物理量与若干理量与若干直接测量物直接测量物理量的函数理量的函数关系关系求出求出的的通过仪通过仪器和量器和量具具直接直接读出读出的的周期周期T间接测量间接测量直接测量直接测量按测量方式按测量方式按测量精度按测量精度等精度测量等精度测量-每次测量的条件都相同每次测量的条件都相同不等精度测量不等精度测量 任一测量条件发生变化任一测量条件发生变化测量与分类测量与分类2025/7/122025/7/12.误差：指的是误差：指的是测得的值测得的值y与与真值真值Yt之间的差之间的差真值真值1.理论真值理论真值（三角形的内角和等）（三角形的内角和等）2.约定的真值约定的真值
3、1米、米、1秒、秒、1千克）千克）3.相对的真值相对的真值：高一等级精度的标准所测的量值：高一等级精度的标准所测的量值测量误差测量误差影响测量的因影响测量的因素有哪些呢？素有哪些呢？测量方法、测测量方法、测量仪器、测量量仪器、测量环境和测量者环境和测量者2025/7/122025/7/12二、误差的定义二、误差的定义一、真值与测量值一、真值与测量值绝对误差绝对误差相对误差相对误差.三、误差分类三、误差分类-系统误差、随机误差、粗大误差系统误差、随机误差、粗大误差3.1系统误差系统误差定义：在定义：在同一条件下同一条件下，多次重复测量多次重复测量同一值时保持恒定或以同一值时保持恒定或以 可预知
4、方式变化的测量误差分量。可预知方式变化的测量误差分量。测量误差分类测量误差分类特点：特点：有规律有规律，可再现可再现，可以预测可以预测系统误差来源系统误差来源仪器、装置误差仪器、装置误差测量理论或方法误差测量理论或方法误差测量环境误差测量环境误差人员误差人员误差仪器缺陷仪器缺陷安装调安装调整不当整不当不水平不水平不垂直不垂直未调零未调零理论公式理论公式的近似的近似实验方法实验方法不完善不完善外界条件外界条件与仪器要与仪器要求不一致求不一致单摆单摆测加测加速度速度反应速度反应速度读数习惯读数习惯散热散热内阻内阻一经查明就应设法消除其影响一经查明就应设法消除其影响2025/7/122025/7/1
5、2.各种消减系统误差的方法都具有较强的针对性，都是些经验各种消减系统误差的方法都具有较强的针对性，都是些经验型、具体的处理方法型、具体的处理方法!测量误差测量误差系统误差分类及处理方法系统误差分类及处理方法:a.a.定值系统误差定值系统误差-其其大小和符号恒定不变大小和符号恒定不变。例如，千分尺没有零点修正，天平砝码的标称值不准确等。例如，千分尺没有零点修正，天平砝码的标称值不准确等。b.b.未定系统误差未定系统误差-大小和符号未定从而未知的系统误差分量大小和符号未定从而未知的系统误差分量合理评定系统误差分量大致对应的合理评定系统误差分量大致对应的B B类不确定度类不确定度分量分量方案选择、参
6、数设计、仪器校准、计算方法改进等方案选择、参数设计、仪器校准、计算方法改进等对已对已定系统误差进行修正定系统误差进行修正如：如：交换法、替换法、抵消法、半周期法等交换法、替换法、抵消法、半周期法等2025/7/122025/7/12.3.23.2随机误差随机误差 在在相同的条件相同的条件下，由于偶然的不确定的因素造成每一次测量值的下，由于偶然的不确定的因素造成每一次测量值的无无规则的涨落规则的涨落，测量值对真值的偏离，测量值对真值的偏离时大时小、时正时负时大时小、时正时负，这类误差称为，这类误差称为随机（偶然）误差随机（偶然）误差重复测量中以不可预知的方式变化的误差分量重复测量中以不可预知的方
7、式变化的误差分量特点特点:0n对称性对称性：绝对值相等的正负误差次数相等：绝对值相等的正负误差次数相等单峰性单峰性：小误差多于大误差：小误差多于大误差有界性有界性：随机误差绝对值不会超过一定界限：随机误差绝对值不会超过一定界限抵偿性抵偿性：随次数增加，算数平均值趋于零：随次数增加，算数平均值趋于零正态分布正态分布测量误差测量误差3.23.2随机误差随机误差2025/7/122025/7/12.测量误差测量误差算术平均值算术平均值测量列的最佳值测量列的最佳值设对设对真值为真值为A的物理量的物理量x，作，作n次等精度测量，结果分别为次等精度测量，结果分别为x1、x2、xn算术平均值算术平均值:期待
8、值或最佳值期待值或最佳值n6标准偏差（贝塞尔公式）标准偏差（贝塞尔公式）统计意义统计意义：当测量次数足够多时，测量列：当测量次数足够多时，测量列中任一中任一测量值与算数平均值之差测量值与算数平均值之差落在落在 之间的之间的概率为概率为0.683，反映样本中各测量反映样本中各测量数据相对样本平均值的分散程度数据相对样本平均值的分散程度s s反映了随机误反映了随机误差的分布特征差的分布特征s s大大：测量值：测量值分散分散，随机误差分布范围宽，随机误差分布范围宽，精密度精密度低低s s小小：测量值：测量值密集密集，随机误差分布范围窄，随机误差分布范围窄，精密度精密度高高2025/7/122025/
9、7/12.0.00.10.20.40.30.00.10.20.40.3测量误差测量误差正态分布正态分布正态分布正态分布0n大大测量数据出现在某一区间的概率计算测量数据出现在某一区间的概率计算34.13%2.14%0.14%13.59%期望值期望值小小2025/7/122025/7/12.测量误差测量误差算术平均值的标准差算术平均值的标准差测量结果离散程度测量结果离散程度相同条件下，对同一测量量进行若干组测量（每次均为相同条件下，对同一测量量进行若干组测量（每次均为n）算数平均值列：算数平均值列：是表征同一被测量的是表征同一被测量的各个各个独立测量列独立测量列算数算数平均值（测量结果）平均值（测
10、量结果）分散性的参数分散性的参数1、增加测量次数、增加测量次数n，可提高测量精度，可提高测量精度2、n10时，时，变缓变缓，增加，增加n对对精度提精度提高效果有限高效果有限6n10要提高测量精度，应采用适当精要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数度的仪器，选取适当的测量次数051015202025/7/122025/7/12.准确度准确度准确度准确度为定性概念，不要求加以量化为定性概念，不要求加以量化表示表示测量结果测量结果与与被测量的被测量的“真值真值”之间的之间的一致程一致程度度2025/7/122025/7/12以以系统误差系统误差表征表征测量误差测量误差.重复性和复现
11、性重复性和复现性重复性和复现性重复性和复现性测量误差测量误差在在相同测量条件相同测量条件下，下，对同一测量进行多次对同一测量进行多次重复测量所得结果之重复测量所得结果之间的一致性间的一致性在在规定条件规定条件下获下获得的得的各个独立测各个独立测量值量值之间的之间的一致一致程度程度称为测量的称为测量的精密度。精密度。2025/7/122025/7/12精密度精密度精密度精密度表示测量结果中表示测量结果中随机误差随机误差大小的大小的程度。结果之间程度。结果之间符合的程度符合的程度在在测量条件发生变化测量条件发生变化时，对同一测量量进时，对同一测量量进行多次重复测量所得行多次重复测量所得结果之间的一
12、致性结果之间的一致性用标准偏差或置信区用标准偏差或置信区间来表征。间来表征。重复性的不确定度重复性的不确定度重复性的不确定度重复性的不确定度复现性的不确定度复现性的不确定度复现性的不确定度复现性的不确定度.测量误差测量误差 精确度精确度精确度精确度以系统误差和随机误以系统误差和随机误差综合表征差综合表征对同一量作多次重复测量对同一量作多次重复测量所得的测量值对其（约定）所得的测量值对其（约定）真值的一直程度真值的一直程度准确度高，精密度低准确度高，精密度低精密度高，准确度低精密度高，准确度低精密度、准确度高精密度、准确度高2025/7/122025/7/12精确度高精确度高.2025/7/12
13、2025/7/12第二章第二章 有效数字及其运算法有效数字及其运算法则 1.直接直接测量的有效数字量的有效数字记录2.有效数字的运算法有效数字的运算法则.测量的有效数字测量的有效数字测量含测量含误差误差是是近似数近似数精度有限度，精度有限度，那么，测量那么，测量结果的数据及数据运算结果的数据及数据运算的的位数位数的选取应以什么为的选取应以什么为依据依据呢？呢？0(cm)1232.00cm一个数据中，小数点后位数越多，这个数值越精确一个数据中，小数点后位数越多，这个数值越精确数据运算中，保留位数越多，精度越高数据运算中，保留位数越多，精度越高2.000cm测量结果的精度与所用的测量方法及仪器有关
14、测量结果的精度与所用的测量方法及仪器有关,记录或数据运算记录或数据运算时时,所取数据的位数其精度不能所取数据的位数其精度不能超过或低于测量所能达到的精度超过或低于测量所能达到的精度.一个系数差万分之二，一个系数差万分之二，结果却差异极大结果却差异极大!研究有效数字及数据运研究有效数字及数据运算规律非常重要算规律非常重要!2025/7/122025/7/12.测量的有效数字测量的有效数字一、有效数字定义一、有效数字定义有效数字：我们把有效数字：我们把准确数字准确数字加上最后一位有实际意义的加上最后一位有实际意义的估计数估计数字字总称为总称为有效数字。有效数字。测量结果用且只用它的测量结果用且只用
15、它的有效数有效数字字表示。表示。0(cm)1232.25 cm 准确数字准确数字估计数字估计数字有效位数：有效位数：有效数字的个数叫作有效数字的个数叫作有效位数有效位数。第一位有效数字第一位有效数字4.510550例：说出下列各数的有效数字个数例：说出下列各数的有效数字个数0.0027582.401037位有效数字位有效数字4位有效数字位有效数字3位有效数字位有效数字2025/7/122025/7/12.2025/7/122025/7/12测量的有效数字测量的有效数字通过仪表、量具等读取原始数据时，通过仪表、量具等读取原始数据时，要充分反映计量器具的准确要充分反映计量器具的准确要充分反映计量器
16、具的准确要充分反映计量器具的准确度度度度，把计量器具所，把计量器具所能读出或估计的位数全读出能读出或估计的位数全读出能读出或估计的位数全读出能读出或估计的位数全读出来来二、有效数字的读取二、有效数字的读取二、有效数字的读取二、有效数字的读取有效数字的多少直接反映实验测量的有效数字的多少直接反映实验测量的精度，不能随意取舍精度，不能随意取舍精度，不能随意取舍精度，不能随意取舍!钢尺：钢尺：d=6.4mm；仪器误差；仪器误差 0.5mm游标卡尺：游标卡尺：d=6.36mm；仪器误差仪器误差 0.02mm千分尺：千分尺：d=6.347mm；仪器误差仪器误差 0.005mm .2025/7/12202
17、5/7/12测量的有效数字测量的有效数字 游标类量具游标类量具游标类量具游标类量具，如游标卡尺、分光计方位角的游标度盘、水银大，如游标卡尺、分光计方位角的游标度盘、水银大气压力计的读数游标尺等，一般气压力计的读数游标尺等，一般应读到游标分度值的整数倍应读到游标分度值的整数倍应读到游标分度值的整数倍应读到游标分度值的整数倍0.02mm副尺：副尺：12 0.02=0.24mm主尺：主尺：13mm13.24mm1234012345.2025/7/122025/7/12测量的有效数字测量的有效数字 数显仪表数显仪表及有及有十进步进式标度盘的仪表十进步进式标度盘的仪表，如数字电表、电阻箱、，如数字电表、
18、电阻箱、电桥等，应电桥等，应直接读取仪表的示值直接读取仪表的示值直接读取仪表的示值直接读取仪表的示值 指针式仪表，读数时一般指针式仪表，读数时一般要估读到最要估读到最小分度值的小分度值的1/41/10，由于人眼分辨能，由于人眼分辨能力的限制，一般不力的限制，一般不可能估读到最小分度可能估读到最小分度的的1/10以下以下6.8+0.2 0.3 =6.86V.2025/7/122025/7/12 对于可估读到最小分度值以下的计量器具，当最小分度不小对于可估读到最小分度值以下的计量器具，当最小分度不小于于1mm时，通常要估读到时，通常要估读到0.1分度，如螺旋测微计和测量显微分度，如螺旋测微计和测量
19、显微镜鼓轮的读数，都要镜鼓轮的读数，都要估计到估计到估计到估计到1/101/10分度分度分度分度测量的有效数字测量的有效数字4.5mm40.9 0.01mm4.909mm.测量的有效数字测量的有效数字1.有效数字位数与有效数字位数与仪器最小分度值仪器最小分度值和和被测量的大小被测量的大小有关有关如用最小分度值如用最小分度值0.01mm的千分尺的千分尺测量的长度读数为测量的长度读数为 5.738mm（四四位位有效数字），用最小分度值为有效数字），用最小分度值为1mm的刻度尺测量，其读数为的刻度尺测量，其读数为 5.7mm（两位两位有效数字）。有效数字）。用最小分度值为用最小分度值为1mm的刻度尺
20、测量：的刻度尺测量：5.7mm；15.7mm2025/7/122025/7/12两位有效数字两位有效数字三位有效数字三位有效数字三、有效数字的基本特性三、有效数字的基本特性:.测量的有效数字测量的有效数字2、位数与小数点的位置（单位）无关；、位数与小数点的位置（单位）无关；9.80ms29.80 x10-3kms2有效数字的科学计数法表示有效数字的科学计数法表示9.80 x103mms20.00980kms2980cms29800mms2有效数字位数有有效数字位数有a决定；决定；n可正可负可正可负不可写成不可写成9.8x103mms2对于计算公式中常数的约定对于计算公式中常数的约定可根据需要任
21、意选取，计算中一般比参可根据需要任意选取，计算中一般比参与运算的各数中有效数字最多的多一位与运算的各数中有效数字最多的多一位2025/7/122025/7/12.测量的有效数字测量的有效数字四、有效数字的修约（所有例子保留四、有效数字的修约（所有例子保留4位有效数字）位有效数字）1.拟舍弃数字的最左一位数字拟舍弃数字的最左一位数字小于小于5时时-舍舍2.拟舍弃数字的的最左一位数字拟舍弃数字的的最左一位数字大于大于5，或等于，或等于5而其后跟非零数字而其后跟非零数字-末位数加末位数加1（入）（入）7.691497.6912.727692.7283.2155013.2163.拟舍弃数字的的最左一位
22、数字拟舍弃数字的的最左一位数字为为5，其后全为零数字，其后全为零数字-奇进偶不进奇进偶不进3.125503.1263.120503.1204.负数修约不受负号的影响负数修约不受负号的影响-3.12550-3.1265.不允许连续修约不允许连续修约3.12546183.1254623.125463.12553.1263.1252025/7/122025/7/12.测量的有效数字测量的有效数字五、有效数字运算规则五、有效数字运算规则可靠可靠数字与数字与可靠可靠数字间的数字间的四则运算四则运算，结果是，结果是可靠可靠数字，数字，否则否则为为可疑可疑数字数字103.313.561116.861103.
23、131.652101.478103.3+13.561=116.9103.13+1.652=101.48有效数字有效数字中的可疑中的可疑数数只保留只保留一位一位1)加减法加减法 结果的非准确位与参与运算的所有数字结果的非准确位与参与运算的所有数字中中非准确位最高者相同非准确位最高者相同2025/7/122025/7/12.测量的有效数字测量的有效数字有效数字间的乘除法运算有效数字间的乘除法运算2025/7/122025/7/124.17 810.1 4 17 84.17810.1=42.2 41 7 842.1 97 823.44 682 6 1 38 46 06.423.426=6.1102(
24、2)乘除法乘除法 结果的位数与所有参与运算的数字中有结果的位数与所有参与运算的数字中有效数字位数最少的相同效数字位数最少的相同.测量的有效数字测量的有效数字2025/7/122025/7/12如如23.42=547.56 =548对数对数结果的位数与真数的位数相同结果的位数与真数的位数相同 如如 ln23.4=3.1527=3.15 三角函数三角函数角度误差角度误差10”1”0.1”0.01”选择位数选择位数5678乘方开方乘方开方结果的位数与相应的底数的位数相同结果的位数与相应的底数的位数相同如如sin(16O2512)的结果取为的结果取为0.282676 以上方法对少量数据运算可用以上方法
25、对少量数据运算可用,运算过程中可多保留位数运算过程中可多保留位数运算过程中可多保留位数运算过程中可多保留位数。对大量数据用统计方法处理对大量数据用统计方法处理.1 测量不确定度的概念量不确定度的概念2 直接直接测量量结果与不确定度的估算果与不确定度的估算 3 间接接测量量结果与不确定度的估算果与不确定度的估算2025/7/122025/7/12不确定度与不确定度与测量量结果的果的评定定 .2025/7/122025/7/12 它表示由于测量误差的存在而对它表示由于测量误差的存在而对它表示由于测量误差的存在而对它表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度被测量值不能确定的程度被测量值不能确
26、定的程度被测量值不能确定的程度。不不确确定定度度反反映映了了可可能能存存在在的的误误差差分分布布范范围围，即即随随随随机机机机误误误误差差差差分量分量分量分量和和未定系统误差分量未定系统误差分量未定系统误差分量未定系统误差分量的联合分布范围。的联合分布范围。不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定一、不确定度的概念一、不确定度的概念（单位）（单位）（单位）（单位）不确定度不确定度测量值测量值待测物理量待测物理量A类不确定度类不确定度B类不确定度类不确定度以测量结果作为被测量真值的估计值时可能存在以测量结果作为被测量真值的估计值时可能存在以测量结果作为被测量真值的估计值时可能存在以测量结
27、果作为被测量真值的估计值时可能存在误差的范误差的范误差的范误差的范围围围围，在这个范围内测量结果为真值，在这个范围内测量结果为真值，在这个范围内测量结果为真值，在这个范围内测量结果为真值概率大小概率大小概率大小概率大小。.2025/7/122025/7/12测量结果可以采用合成标准不确定度测量结果可以采用合成标准不确定度uc或采用扩展不确定或采用扩展不确定度度U表示本教材表示本教材采用扩展不确定度采用扩展不确定度U的表示方法的表示方法U是概率约等于是概率约等于0.95的扩展不确定度的扩展不确定度不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定二二.直接测量结果与不确定度估算直接测量结果与不确定
28、度估算是（重复测量时）用统计是（重复测量时）用统计方法计算的分量方法计算的分量A类分量类分量是用其它方法（非统计方是用其它方法（非统计方法）评定的分量法）评定的分量B B类分量类分量类分量类分量.2025/7/122025/7/121.A1.A类分量类分量UA A的计算：的计算：不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定设某一物理量的重复测量次数为设某一物理量的重复测量次数为n n算数平均值的标准差算数平均值的标准差统计意义统计意义统计意义统计意义:系统误差为零时，真值在区间系统误差为零时，真值在区间 内的概率约为内的概率约为p置信因子置信因子本教材要求本教材要求p=95%自由度自由度自
29、由度自由度v v:n次重复测量的物理量之间次重复测量的物理量之间,存在存在k个独立的线性约束条个独立的线性约束条件件,则则n个变量的独立变量个数为个变量的独立变量个数为n-k,即自由度为即自由度为n-k按照按照按照按照贝塞尔法计算标准差贝塞尔法计算标准差贝塞尔法计算标准差贝塞尔法计算标准差，n n次重复测量，仅存在次重复测量，仅存在次重复测量，仅存在次重复测量，仅存在1 1个个个个约束条件，所以自由度为约束条件，所以自由度为约束条件，所以自由度为约束条件，所以自由度为.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定置信因子置信因子 可以查国家标准的数表得到
30、可以查国家标准的数表得到但概率但概率p=0.95 的因子的因子t由下式算出更为方便，式中由下式算出更为方便，式中v=n-1p2345678915200.6831.321.21.14 1.11 1.09 1.081.071.061.041.0310.902.922.35 2.13 2.02 1.94 1.891.861.831.761.731.650.954.303.18 2.78 2.56 2.45 2.372.312.262.132.091.960.9979.935.84 4.60 4.03 3.71 3.503.363.252.982.862.58.系统误系统误差来源差来源B B类不类不类
31、不类不确定度确定度确定度确定度2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定2.B类分量的近似评定与类分量的近似评定与U的计算的计算原理原理方法方法环境环境人为人为因素因素仪器仪器调整调整测量测量仪器仪器仪器的误差限值仪器的误差限值仪器的误差限值仪器的误差限值 ：一般取仪表、器具的示值误差限或基本：一般取仪表、器具的示值误差限或基本误差限误差限,它的大小有时由实验室近似给出它的大小有时由实验室近似给出.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定普通物理实验常用测量仪器的误差限普通物理实验常用测量仪器的误差限(1)钢
32、直尺钢直尺(米尺米尺)(分度值为分度值为1mm)取其误差限为取其误差限为0.3mm，实验中也可以约定取，实验中也可以约定取0.5mm(2)游标卡尺游标卡尺分度值分度值0.02mm0.05mm0.1mm误差限误差限误差限误差限0.02mm0.02mm0.05mm0.05mm0.1mm0.1mm(3)螺旋测微计（千分尺螺旋测微计（千分尺,精度为一级精度为一级）误差限与测量范围（量程）有关误差限与测量范围（量程）有关(0.004 0.006 mm)本课程约定为：本课程约定为：0.005mm0.005mm.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定(4)机械停
33、表和数字毫秒表机械停表和数字毫秒表:一般一般分度值即为仪器误差限分度值即为仪器误差限机械停表分度值为机械停表分度值为0.1s误差限为误差限为0.1s数字秒表时基值为数字秒表时基值为0.1ms1ms10ms误差限误差限误差限误差限0.1ms0.1ms1ms1ms10ms10ms(6)电磁式测量指示表电磁式测量指示表误差限误差限误差限误差限仪表量程仪表量程准确度级别准确度级别(0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0)(5)水银水银-玻璃温度计：玻璃温度计：误差限误差限误差限误差限为为0.5.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定(7)旋
34、钮式电阻箱旋钮式电阻箱(0.02、0.05、0.1、0.2四个级别四个级别)电阻箱误差电阻箱误差=箱内电阻器的阻值误差箱内电阻器的阻值误差+旋钮的接触误差旋钮的接触误差旋钮个数旋钮个数所用电阻值所用电阻值级别级别级别常数级别常数级别(a)0.020.050.10.2常数(b)0.10.10.20.5表：电阻箱表：电阻箱级别与对应常数级别与对应常数.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定3.直接测量结果的完整表示直接测量结果的完整表示（单位）（单位）（单位）（单位）单次测量值单次测量值或多次测或多次测量的量的算术平均值算术平均值概率约等于概率约等于9
35、5%的的扩展不确定度扩展不确定度U一般只取一位有效数字一般只取一位有效数字修约前修约前首位数字较小首位数字较小时（如时（如1、2等）一般等）一般取取2位位根据扩展不确定度进行有效数字修约根据扩展不确定度进行有效数字修约,末位数字对齐末位数字对齐（p=95%p=95%p=95%p=95%）（p=95%p=95%p=95%p=95%）.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定4.相对扩展不确定度相对扩展不确定度为更直观地评价测量结果的准确为更直观地评价测量结果的准确度，引入度，引入相对扩展不确定度相对扩展不确定度Ur的的概念，它是概念，它是扩展不确定度扩
36、展不确定度U与量与量值值x之比之比 判断下列哪个测量结果的准确度高判断下列哪个测量结果的准确度高相对不确定度一般取两位有效数字相对不确定度一般取两位有效数字.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定5.单次测量的不确定度单次测量的不确定度U单次测量单次测量不能用统计方法不能用统计方法求标准差，测量的求标准差，测量的随机分布随机分布特征客特征客观存在，应如何判断待测量的不确定度呢？观存在，应如何判断待测量的不确定度呢？2.s显著小于仪器的误差限显著小于仪器的误差限 1.因条件限制，仅测一次数据因条件限制，仅测一次数据注意：这只是一个近似的估算方法，不能
37、得出单次测量的注意：这只是一个近似的估算方法，不能得出单次测量的不确定度小于多次测量的不确定度的结论！不确定度小于多次测量的不确定度的结论！.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定6.不确定度的微小分量判据不确定度的微小分量判据 如果某一分量小于最大分量（或合成结果）的如果某一分量小于最大分量（或合成结果）的1/5到到1/6，就可将这一分量看作是可忽略的，就可将这一分量看作是可忽略的微小分量微小分量 微小分量判据的临界比微小分量判据的临界比1/取取“1/5到到1/6”有一定的灵活有一定的灵活性，要求较低时可放宽到性，要求较低时可放宽到1/3 有几个
38、微小分量可能都被忽略时也可取有几个微小分量可能都被忽略时也可取“1/6到到1/10”仅有两个分量方和根合成时，如小分量等于大分量的仅有两个分量方和根合成时，如小分量等于大分量的1/5，忽略小分量后引起的相对偏差为：忽略小分量后引起的相对偏差为：.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定例例1：用：用0.2级，量程为级，量程为20k 的万用表测量某个电阻的电阻值，测的万用表测量某个电阻的电阻值，测量结果单位为量结果单位为(k):3.72,3.92，3.89，3.88，3.86，3.88，3.87，3.86，3.85，3.87，3.89 给出最终结果表示
39、给出最终结果表示。解解:计算平均值：计算平均值：计算标准差：计算标准差：因第一个数据因第一个数据 剔除剔除.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定重新计算重新计算 其他数据不需剔除其他数据不需剔除 A A类不确定度类不确定度.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定B B类不确定度类不确定度合成扩展不确定度合成扩展不确定度最终结果表示最终结果表示修约结果的平均值修约结果的平均值.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定小小 结结算术平均值算术平均值实验标准偏差实
40、验标准偏差平均值的实平均值的实验标准偏差验标准偏差A类不确定度类不确定度.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定扩展不确定度扩展不确定度B类不确定度类不确定度直接测量的实验结果直接测量的实验结果（单位）（单位）（单位）（单位）.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定三、间接测量结果与不确定度的估算三、间接测量结果与不确定度的估算设间接测量量设间接测量量F为相互独立的直接测量量为相互独立的直接测量量x,y,z.的函数的函数每个直接测量量的结果可表示成如下形式每个直接测量量的结果可表示成如下形式如何根据直接
41、测量如何根据直接测量量的不确定的来评量的不确定的来评价间接量的不确定价间接量的不确定度呢？度呢？.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定1.不确定度的传播规律不确定度的传播规律求上式的全微分求上式的全微分以微小量代替微元以微小量代替微元以微小量代替微元以微小量代替微元 ，得：，得：，得：，得：两边平方两边平方两边平方两边平方.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定不确定度按不确定度按方、和、根方、和、根方、和、根方、和、根的方法进行合成的方法进行合成不确定度与微小量之间的关系：不确定度与微小量之间的关系
42、不确定度与微小量之间的关系：不确定度与微小量之间的关系：自变量相互独立，自变量相互独立，交叉项为交叉项为0.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定相对不确定度相对不确定度求对数式全微分求对数式全微分绝对不确定度绝对不确定度.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定函数表达式函数表达式不确定度传递公式不确定度传递公式常见函数的不确定度合成公式常见函数的不确定度合成公式.2025/7/122025/7/12间接测量数据处理的一般程序：间接测量数据处理的一般程序：不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评
43、定设间接测量量可写成设间接测量量可写成(1).求各直接测量量的结果求各直接测量量的结果(2).然后根据不确定度的传递公式求最终结果的不确定度然后根据不确定度的传递公式求最终结果的不确定度(3).将每个直接测量量的值代入函数关系式得将每个直接测量量的值代入函数关系式得(4).写出最终表达式写出最终表达式.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定例例2：已已知知质质量量为为 的的铜铜圆圆柱柱体体，用用0125mm、精度为、精度为0.02mm的游标卡尺测得其高度的游标卡尺测得其高度hh(mm)为：为：80.38，80.36，80.36，80.38，80.3
44、6，80.38；用一级用一级025mm千分尺测得其直径千分尺测得其直径dd(mm)为：为：19.465，19.466，19.465，19.464，19.467，19.466。求该铜柱体的密度求该铜柱体的密度。解：解：求高度的求高度的算术平均算术平均值及不确定度值及不确定度.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定A A类不确定度类不确定度游标卡尺的示值误差为游标卡尺的示值误差为0.02mm,即即h的的B类不确定度为：类不确定度为：B B类不确定度类不确定度h的的扩展扩展不确定度为：不确定度为：得到得到h的最终结果的最终结果.2025/7/122025
45、/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定求直径的算术平均求直径的算术平均值值及不确定度及不确定度 d的的A类不确定度类不确定度为：为：一级千分尺的仪器误差限为一级千分尺的仪器误差限为0.005mm，则，则d的的B类不确定度类不确定度为：为：d的的扩展扩展不确定度为：不确定度为：得到得到d的最终结果的最终结果.2025/7/122025/7/12不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定求密度及其不确定度求密度及其不确定度相对不确定度相对不确定度：最终结果为最终结果为.2025/7/122025/7/12第三章第三章 常用数据处理方法常用数据处理方法.常用数据处理方法常用
46、数据处理方法一、列表法一、列表法2025/7/122025/7/12 实验的数据处理实验的数据处理不单纯是数学运算，而是要以一定的物理模不单纯是数学运算，而是要以一定的物理模型为基础，以一定的物理条件为依据，型为基础，以一定的物理条件为依据，通过对数据的整理、分通过对数据的整理、分析和归纳计算，得出明确的实验结论。析和归纳计算，得出明确的实验结论。常用方法常用方法二、作图法二、作图法三、逐差法三、逐差法四、线性回归（拟合）四、线性回归（拟合）.2025/7/122025/7/12常用数据处理方法常用数据处理方法一、列表法一、列表法-记录和处理数据时，把数据列成表格记录和处理数据时，把数据列成表
47、格表表1 1 伏安法测电阻伏安法测电阻在表格上方中间写在表格上方中间写表的内容（表名）表的内容（表名）写明表中各写明表中各符号的意符号的意符号的意符号的意义、单位义、单位义、单位义、单位（不许写在（不许写在各数字后）各数字后）数据要忠实原始测量结数据要忠实原始测量结果，注意果，注意有效数字有效数字有效数字有效数字，零零零零不能随意舍弃不能随意舍弃不能随意舍弃不能随意舍弃伏特计：伏特计：1.01.0级，量程级，量程15V15V，内阻，内阻15K15K毫安计：毫安计：1.01.0级，量程级，量程20mA20mA，内阻，内阻1.21.2注明测量仪器的型号、注明测量仪器的型号、量程、级别；环境参量程、
48、级别；环境参数、常量等数、常量等测量次数测量次数n n1 12 23 34 45 56 67 78 89 9电压电压U(v)U(v)1.00 1.00 2.00 2.00 3.00 3.00 4.00 4.00 5.00 5.00 6.00 6.00 7.00 7.00 8.00 8.00 9.00 9.00 电流电流I(mA)I(mA)2.00 2.00 4.01 4.01 6.05 6.05 7.85 7.85 9.70 9.70 11.83 11.83 13.75 13.75 16.02 16.02 17.86 17.86 电阻电阻R=U/I(R=U/I()500500499499496
49、496510510515515507507509509499499504504.2025/7/122025/7/12常用数据处理方法常用数据处理方法二、作图法二、作图法-将数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来将数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来优点：优点：形象直观、简单方便形象直观、简单方便，可直观的反应，可直观的反应物理量之间的变化规律物理量之间的变化规律缺点：缺点：三个三个及其及其以上的变量不适用以上的变量不适用；绘图时易；绘图时易引入人为误差引入人为误差。作图步骤作图步骤 ：选用合适的坐标纸选用合适的坐标纸 坐标轴的比例与标度坐标轴的比例与标度 标实验点（描点）标实
50、验点（描点）连图线（拟合线）连图线（拟合线）(5)注解说明注解说明U/vI/mA2.004.006.008.005.0010.0015.0020.000I-U关系图关系图实验者：实验者：实验日期实验日期.2025/7/122025/7/12常用数据处理方法常用数据处理方法作图的基本规范作图的基本规范 坐标纸的大小和坐标坐标纸的大小和坐标轴的比例选取要合适轴的比例选取要合适,坐坐标轴均匀分度标轴均匀分度,标明数值。标明数值。用箭头标出坐标轴的用箭头标出坐标轴的方向方向,标明物理量及单位标明物理量及单位.横轴代表自变量横轴代表自变量横轴代表自变量横轴代表自变量,纵轴代纵轴代纵轴代纵轴代表因变量表因
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