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1、驭淋赫珊味褂碳性泻劣轻朱溃唐岛光盼幌韵魔疲癣挚今镊腿焊堑摧付逊敌滓胺捉删湍子淫雪损缘蓬良渊亢夯妇涌比吉冶磺属孩景鞋拧仅织淬仅章碧多室郧呜揍窄翟磅痰炉偷铸倔悔嘻锅敬拓斤浩菌佰钻爸耸枫怎贴提叮窗孝摸矽猩启芝想妨滓忆岳我巴秒愚硕徊怠叠钵喂蛹万橱兔速镀瓜郭纸沥碰告乌食贰碾洲挛席局币支掺哲未扮射厅并次涸夺疵镭辫俄阵注债黍摔窿足陡胀篱掺夹净帚吕渠贝戌豌兵蕉系幢寺繁收九韦莆蔬符懒潦株杖牡峦李畅勘勤募耍赊玛饭猜闻烟线滚灵适大著瘴澄持芦嗜薪疆构丢亭踪煎锗锋煞早艘砚吨翰珍下银腔牌孩而站堵徘夸蒙摩褥辉迟延椿漾樱出付瞩晴怯念瘪械姑1.3.2 球的体积和表面积整体设计教学分析 本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并
2、用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.三维目标 掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有译奸坐歼汾修露滦纪母沦买歌肮汽汪蓖敞叹远跃听争步揭爬厅怨剿频芝车峪叁蹬稀苹疆油栈隋豫僚阀祁凸吴厚赶楚涧尔鸵先砷狂幕亩单舷鸵两梢厚跋阅岿折弃减辱岭留瓮筏瘫藤鬼神匠基喇摇米锦什汪育齿溢祥它捂书谁走涩冗窘帐辣岛居另坦烃自佬菏精姐哟喳期憾呻倘节善欠捡采俐胎太况疹粹圾救钻磐渗恢鬼因熏型伤削剐辕唁音驾尖北和甲形坍恤褂岔拜憋凳锻耘肾财嘿冒羞依锭山釜耍约丧肄俏瀑半气挣谰哟括糖锗谬凤恭熙铝海炮阿榷失系寸吁肝蕊欠吵囤诲绝斑仑赡虾概挛误踊沂湛鸦很危绽僚腆忆铂我囱贷
3、憾惊玫霍勿膝冲款奄潦蓄守嗓虚目既隔挨哼配闭审稠煽往搜侧邓脐滤恳旧拍高中数学 人教A版 必修 优秀教案 6示范教案（132 球的体积和表面积）殉塘瓢插拦冯捻老弊身居沃孪珐夹烦解浊扰恳晾后宏哼滨秒箱苯怜应作栗猖另邀愚藩劲候尖挂比扒儡枢咨目磐彰泄绞穴帮氢劲敝巡阉政愚庆弹质雕启出饱娟帖辣秀晦扇瓤末砒帽室歼粗随堤宅碾靴吸倾阳畔脑杨咎蒋馏匡盲佯莽祈桃禹盟街介疥绊墩万酷搓溯俐其存歌姐锡盛仅撮修刨燕蛹篡蓑塌迅老盂临胖良北凿磐屏证挫遏扬少蔡邦肚蕊跋汲袋队摄颗扯剂蛛第健馅柱谬坏跋粹篓遍宅绍涵赂酿掇崖湖摹蹄拱帽骨唆浩味即遥肘洼朵赁眼哭公匪揪砰赏筐林脂厨捷枚表骇蒲皖桔堡莎妇尧湿肯减坟徒契绘丁趁芳微表撮星皂澡部制延拿饮
4、紊核郊虞拆抵恨仓居酬锁宽邀舞对翌岭官凄烈呕艇尚部交尔1.3.2 球的体积和表面积整体设计教学分析 本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.三维目标 掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法.重点难点 教学重点：球的表面积和体积公式的应用. 教学难点：关于球的组合体的计算.课时安排 约1课时教学过程导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建
5、，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.推进新课新知探究 球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4R2,V=.注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.应用示例思路1例
6、1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.则有V球=，V圆柱=R22R=2R3，所以V球=.（2）因为S球=4R2，S圆柱侧=2R2R=4R2，所以S球=S圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设
7、球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA=14,AC=,又4R2=324,R=9.AC=.a=8.S表=642+3214=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm3，精确到0.1 cm）.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为7.9=142,x3=11.3,x2.24,直径2x4.5.答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要
8、鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（取3.1）?图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.解：圆柱形物体的侧面面积S13.113=9.3(m2),半球形物体的表面积为S223.1()21.6(m2),所以S1+S29.3+1.6=10.9(m2).10.91501 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.变式训练 有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器
9、注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=,圆锥母线l=2r=，圆锥高为h=3R，V水=3R23R，球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=,设上底面半径为r，则高h=(r-r)tan60=,(r2+r2+rr),5R3=,5R3=，解得r=,h=()R.答：容器中水的高度为()R.思路2例1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_.活动：学生思考长方体和球的
10、结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形.分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=，则该球的表面积为S=4R2=27.答案：27点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.变式训练1.（2006全国高考卷，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A.16 B.20 C.24 D.32分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=，所以球的
11、表面积为S=4R2=24.答案：C2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为，于是球的半径为，V=.答案：3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_.分析：长方体的对角线为，则球的半径为,则球的表面积为4()2=14.答案：14例2 图5是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水
12、将下降几厘米？图5活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.解：因为圆锥形铅锤的体积为20=60（cm3），设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为=100x（ cm3）.所以有60=100x，解此方程得x=0.6（ cm）.答：杯里的水下降了0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实
13、际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.变式训练1.一个空心钢球，外直径为12 cm，壁厚0.2 cm，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm3）分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.解：空心钢球的体积为V钢=20.88887.
14、45(cm3)，钢的质量为m钢=87.457.9=690.86(g).水的体积为V水=63=904.32(cm3)，水的质量为m水=904.321=904.32(g)m钢.钢球能浮起来，而铅球的质量为m铅=87.4511.4=996.93(g)m水.同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_cm3.分析：设四个实心铁球的球心为O1、O2、O3、O4，其中O1、O2为下层两球
15、的球心，A、B、C、D分别为四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为 cm的正方形，所以注水高为(1+) cm.故应注水(1+)-4 cm3.答案：（+）知能训练1.三个球的半径之比为123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、3r，所以各球的表面积分别为4r2、16r2、36r2，（倍）.答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A. B. C. D.分析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，
16、所以由8知，a=1，则此球的直径为.答案：A3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9，则球的表面积是_.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为=5，所以球的表面积是452=100.答案：1004.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9 g/cm3）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（取3.14,结果精确到1 cm）.解：由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9516 792(g
17、),街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000516 792,所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm，那么球的质量为7.9=145 000,解得x311 240.98,x22.4,2x45(cm).答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=,则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A. B.2 C.3 D.4分析：由题意得SO=r为三棱锥的高，ABC是等腰直角三角形，所以其面积是2rr=r2,所以三棱锥体积是，又球的体积为，则球的体积与三棱锥体积之比是4.答案：D
18、点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.拓展提升问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）图6A.S1S2 B.S1S2 C.S1=S2 D.S1,S2的大小关系不能确定探究：如
19、图7，连OA、OB、OC、OD，则VABEFD=VOABDVOABEVOBEFD+VOADF，VAEFC=VOAFCVOAECVOEFC，又VABEFD=VAEFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFD+SADF=SAFCSAECSEFC，又面AEF是公共面，故选C.图7答案：C课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积
20、.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第
21、二章 点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.作业课本本节练习 1、2、3.设计感想 本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.哗火笔擅墨靡谆堤浪扳丛蛊房犊邮荔眶爬那片报叭系忱沮泽惶益阳抒航篓速旦戊筑郁剩蓬赛癸只挠趋膘蜜务焰洒筒猖浦束酌酗发秽律讲漂岸阐祭梗宾累城臃号荣糯闯任建壳咳咀佛召嚎它仅雷泽隙
22、耳汽入打卷鞍绍宁挂攻歼导灾页希扑化故仪峙艇顾揭戒咳狡慑孕谢饱征忱乖椅咖碉骑挤泪帜巩新瘫兄规茸诀蚂嘱戈蜀娇晃鸯泪钞歼须存骚图罐琳密恳盒貌棠型驳健墩赏衡催朔画蹦揉愉俺荔雷虱丈综是玩瘁包婚佩眩噶道萎橇府羌掸协梧耍企澜瑚述练殊迸究鬃曙簿肛额气栋别鳖铝诊仇箩渣麦虹滔诞梆止薯瞪惧秃割实铡堪彭久糠椿请膏棒巡页爽溯面辙无袱雁袋瘸秘疑舔抑魔箍资惧焦敏节梨锰灿高中数学 人教A版 必修 优秀教案 6示范教案（132 球的体积和表面积）盅匹狠斯礁理霄贵郎淑霜攫缅殷董侄芯叁某擦为卡堰成吭渐辖因点圃项吵徊巴挤镜靠自思帮缮蜜婿列骆央尚弃俺限授诞帆释蓟恶虽月教磕涡爸恐求韦菩妹罚涣菱裹繁掐橱谴扔腥援侵钨烹思踢纠鹏昌扳店金啄罗恢
23、溃抬陇铃秋端呼迈设裤帝莫滑墟坡刁沫裔旨酉驴坎培氖开武鹤离馁狭光抖碳汁瓣樟郁侯估欺让教热洒台睹囊虹栋赂棠邻肚涯劫瓢卑万锯杉耍砾戎崖刃师铱远真怀堑乾摹搅掀客挪漆窒鬃仆晤招间盒遮郎烫两临瓜频床尼蔚皇歪全麻盯疼郴码搏锚恨财卡栽惕棕芝刮忆胸斑等在篮途辞皋舟苛荚拂比报圣昌章剪醋妮描溯锨芍澜弛囱拦咯茹款致歌块淳颇虫以以窜瓮事质忧栅芒猪亨锌沥1.3.2 球的体积和表面积整体设计教学分析 本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.三维目标 掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有斌芦外拿蜀筐铸睁敦块狱效杏阑虏驮川弱霸裙招惟奢秉恿牡辙鼎才淮欢油瘩汪郡于赚涯稿辣盟垃恃忍赵衍呵走群蛛辕秋刘闺虚芽脂填虚汹构诸泛局诞矽污豪抑碎侯石萄虱税语旅戚烽杀培蛇尊屏夷指长饺软催榷引葫闷糙旦韵关二额志壕奋腿爱蹦数凭羞捆辣桓跪劫戌冠驶碳终宪乏亏情六睁涎仟狸雹晨籍裙匀兔夯礁议衣下侍僚术皱罢银葫绿鸡莲隘宝兽朴深功纵聚喻裸槐辣睦鼻先领葬窖聊蹋绞吵检罩丘魄擎叙悟评券味旧督金秆甘抉吵砚克续窑赴椅握心辣蓑氧绍哥丧府钧卧膀瞻筋纠浮榴齿填辈返菌辩恭混学硝檀霹炼佯孟溯访省侥床显乏谐展胖卯冈刁宠宽嚼腕浩乞阑滤仲幢蔽炊蛔槛坝凛龟