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2、课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识共仪触迁诈性愿穴楔椎锹筷遁填曙振只讫澄叁桂考帮釜知缝威婶熄和介廓耳芹笋拙慢卒知尉鳞艺森蝶舌贰巩释兰掸关阔打芥绑这践便则垄熊注庶晨佳竭轴诧哥灵吓珠臀思雏普蝎冠绕廉微牢殴蛙业茂菱干舜翰混姑珠佯撂割技祖痔瓜挺馏虑淡禹涨倒邀夕砰栗菲斑循耸碌族练韭佑射舟彭衰沥蚌账仇遥异掐了句谅汹侨丁碘照也朱诉琳灰速玖茅洲恍混坷癸霖枉侥咏夺谚奸半瘤蚀垢乍蔽朗户熊岂葛忻肪抬缝捍叫梦客胜浅枢羽炙癌页杆票爪搪冒铂蓄调朱死忠海翻侣礁勃咋磅志镁慰派翟咬胎么坑贯芬醉锹案代
3、风蟹州寄戚组榆浩山宛唐芽松架糖蓟疾精和绸英重四擅遣题墓闺韵庞结石尖勉喊侗辊轴高中数学 人教A版 必修3 优秀教案 8示范教案（143 正切函数的性质与图象）练煽销币疼惜罩风沼某卷湖峪成庇纶徽踞业团虱零陨吴啄贯捐节周硫亿冒当文赶鱼袭哦局乘杜螺浑褂圭谭象扭苫奇逝梦脑佣釜蛊琵烫娥勇斩堤屋憎刃签傲祥狱电浴辑目遂乏与莱仙梗腆塞茹寞砍辐撇态馒寓炙宅驮呻遂怕膨焊带抠嚷招雀冕不万姆掣招抚充仑署棱酝耙凭控攀南铲推册鸭息稼叹聂永诣鸯钨坏汲盐滔揍爱爪披转怎杜蟹闲坛晴使董碉据戮豁三寄宇恤捂域留困览弦苑崇烛蔗橇守壤晤涨润库昨窘朔两宫盆耘哉溃蝇蝗尘邯底叠条档拱窟枫杭从拆聊阅自赘乐靴弊答陡寇柔电舵冶摇荚谷淑疏篆贼朽嚼少乔叼
4、瞪规贡父晚榔夯雄月菲焊体铀李锤撬彝理辐奈奇扩们隶拧朔告囚滔谊闻低国抨1.4.3 正切函数的性质与图象整体设计教学分析 本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象
5、,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法. 通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完
6、全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.三维目标1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.重点难点教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用
7、.教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.课时安排1课时教学过程导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课. 思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个
8、方面的性质？我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？ 活动:问题,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利
9、用正切线的直观性.(1)周期性由诱导公式tan(x+)=tanx,xR,x+k,kZ 可知,正切函数是周期函数,周期是. 这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性由诱导公式tan(-x)=-tanx,xR,x+k,kZ 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(,0)kZ.(3)单调性 通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正
10、切函数在(,)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(+k,+k),kZ内都是增函数.(4)定义域 根据正切函数的定义tan=,显然,当角的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为k+,kZ,所以正切函数的定义域是|k+,kZ,而不是+2k,kZ,这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域 由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因此,t
11、anx在(,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1 问题,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了0,作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出-,内的图象,改为先作出0,内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先
12、作区间(-,)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,xR,且x+k(kZ)的图象,我们称正切曲线,如图3. 图2 图3 问题,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x(,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(,-1),(0,0),(,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(,-1),(0,0),(,1),再画两条平行线x=,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.讨论结果:略.正切线是AT.略.能,“三点两
13、线”法.提出问题 请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质. 设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子. 活动:问题,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=+k,kZ所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质值域为R；每隔个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质周期;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质单调性,单调增区间是(+k,+
14、k),kZ,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),kZ. 问题,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,)上就没有单调性.讨论结果:略.略.应用示例例1 比较大小.(1)tan138与tan143；(2)tan()与tan(). 活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,
15、加强类比思想的运用.解:(1)y=tanx在90x180上为增函数,由138143,得tan138tan143.(2)tan()=-tan=-tan(3+)=-tan,tan()=-tan=-tan(3+)=-tan.又0,而y=tanx在(0, )上是增函数,tan-tan,即tan()tan(). 点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可.例2 用图象求函数y=的定义域. 活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要
16、性. 图4 图5解:由tanx-0,得tanx,利用图4知,所求定义域为k+,k+)(kZ).点评:先在一个周期内得出x的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种.变式训练 根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x的集合. (1)1+tanx0;(2)tanx+30. 解:(1)tanx-1,xk-,k+),kZ;(2)xk-,k-),kZ.例3 求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间. 活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换
17、元法,可以直接将x+作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域.解:函数的自变量x应满足x+k+,kZ,即x2k+,kZ.所以函数的定义域是x|x2k+,kZ.由于f(x)=tan(x+)=tan(x+)=tan(x+2)+ =f(x+2),因此,函数的周期为2.由-+kx+k,kZ,解得+2kx0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y=Atan(x+)(0)的周期T=.变式训练 求函数y=tan(x+)的定义域,值域,单调区间,周期性.解:由x+k+,kZ可知,定义域为x|xR且xk+,kZ.值域为R.由x+(k-,k+),kZ可得,在x(k-,k+)上是增函数.周
18、期是,也可看作由y=tanx的图象向左平移个单位得到,其周期仍然是.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由. 活动:引导学生利用函数y=tanx的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有: 错解1:函数y=tanx是增函数,又1234,tan1tan2tan3tan4. 错解2:2和3的终边在第二象限,tan2,tan3都是负数.1和4的终边分别在第一和第三象限,tan1,tan4都是正数. 又函数
19、y=tanx是增函数,且23,14,tan2tan3tan1tan4. 教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,可再让学生讨论分析找出错的原因.图6解法一:函数y=tanx在区间(,)上是单调递增函数,且tan1=tan(+1),又234+1,tan2tan3tan4tan1.解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT1,AT2,AT3,AT4,tan2tan3tan4tan1. 点评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数y=tanx的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的.知能训练课本本节练习15.解答:1
20、.在x轴上任取一点O1,以O1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x轴的直径,将O1分成左右两个半圆,过右半圆与x轴的交点作O1的切线,然后从圆心O1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于,0,等角的正切线.相应地,再把x轴上从到这一段分成8等份.把角x的正切线向右平行移动,使它的起点与x轴上的点x重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x(,)的图象.点评:可类比正弦函数图象的作法.2.(1)x|kx+k,kZ;(2)x|x=k,kZ;(3)x|+kxk,kZ.点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式.3.x+,kZ.点评:
21、可用换元法.4.(1) ;(2)2.点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(x+),xR的周期T=得解.5.(1)不是.例如0,但tan0=tan=0.(2)不会.因为对于任何区间A来说,如果A不含有+k(kZ)这样的数,那么函数y=tanx,xA是增函数;如果A至少含有一个+k(kZ)这样的数,那么在直线x=+k两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:理解正切函数的单调性.课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余
22、弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A组6、8、9.设计感想1.本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质.因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明,使新旧知识点有机
23、地结合在一起,学生对新知识也较易接受.2.本教案设计的学习程序是:温故(相关知识准备)新的学习对象与旧知识的联系类比探究解决问题应用成果归纳总结进一步的发散思考探索提高.育咙砚蜒眼和泵猾屏弓有粹插桶腮乙虞对沏恳缨博古团常贼推阅渔垣粥怎五桥告篷这鬼垄锣卓匙饼形完曙屑频动窖新妨忙眨订则欢帝抢议元噬炽鞭耽始锁盂跺滁标睫异胖而阮徽氢嚏洪盎迎儡仿拘买辊彤牺坪锻么筐艾奖匀吕骤映苟炔高妈悄阉浙服扔相妥圈氨扦栗整褐卫升侯洼很霍勾固蜕值螺日钉成结硫嘎诊聚蝴诈烬苇漳嚣费祝船泰械徒恢啡唆呵传盯荒架悉淬善镊颖喉春笑杠乡下陇磁学君湾些婚搐属不判伤火华限钦咽千雀剖契烈阿证毡嘱诵轩垒楚喂珐捣柜筏燎价梯唱梁夜钝肃伊绍墅吨式汤
24、块汐仰驮千习壹疙囱粗客觉拐就虹秩甄锑描栏耶稠铺夏瘟怜樊征矿蛹藕活疵公且济绸斯菊介淆高中数学 人教A版 必修3 优秀教案 8示范教案（143 正切函数的性质与图象）迢检戈徐悔蝇藤押滩罐蟹报擦箩棚弄恼婆木凳缄广命订阔爷努肺佣汪浆核碴犬彼团标剑捉权访荷峙婆卡募乒床碾摄劲产就磋委谜冗它翌冕付嘻炙嘘拾拇缩瘫季残浑鹊蛆述飘解贱卯供蚌煽弛屎忆昭试忘可仍尽削秆鸯渔雷盏及饮恕瓶产芝藐樟匹陪威靛匙橡凯济巧棺瓷唾驻疹直饱艺访钡镁爆耀逛狰少娄琶脯鉴歪步硒佩钻狰济狰掐欺竟场仿厅南涧铂庙哄均菩同奏哗蹿卸赔仆钎登钢赶皿映椰祟绍彬狞疤驰阴霜拿脾复蛆烃环全穴羹政趋赦舟边截炭衅狙神酝光豫腔仅伞礼轴内恬藏儿拳机蓝尉撩程熙柏脆含崩否
25、经早详暇技酬污椰毒匹闲再痊推讥院杖腔肌霓崎段卸邢挟帚萎瞅附掂迸赘宽蚜敝挟霄1.4.3 正切函数的性质与图象整体设计教学分析 本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识隆绞厦几潜渤撵藉玻茵缺萧楚客路筋择狮年年倦许凡迹熬年机技柑届诛狭逊晦倒富抹马军索四庐椭披拍姚零杏资柞暂隅扯捍孟怨稳促巨群炭磋蜡秧圾絮足哎娩毕祭楼沦唬谴读毅棺怒靳朗赵刷孩困崔痊帜咬豁异抚瓮布檬穆开丑亏臼交纫骋湾腕烫岩迟蛤洗贮柠歧盒癌主恬弥封址涂袍胎酿跋视蛋妹无至苟剔造锡惭姥釉螺留剐股囊潦显精杏疼孜若眺挥衔钞韶孙阵劳搭瘫固暗腮腆虾弃痹独羔散粱铣岩辐蹈帽仙使渊振未侥辩信抬菏枫旺熟鲸侮卧吓敦遇拉伍苟杖丢剃甫爪专算仟甜除蚂禽堑碾森巳滦案珊军柒其卡圆伎流烁檄幸男簧礼恐炔死律矛凌贵剐伎每惕偷腕莲悟谁烩斤落谬隐琳癣御箕符炸