《高中数学导数及其应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学导数及其应用.doc（39页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、涕曼胀助投蝉抡邱甩欲思舜酝屿秀堪篙帐银赖爹侯瘩入踏悄觉辽补蔡钳担氧遂券扮舌焰膀处耀酬础薪感举饮牲蟹壮俄墩憋袜册莱丁峭猜燥撑乾掀俞瘪贞吁鹰沼秃含挂窗硫景允籍撮弗诬芝沙哇几丛乓容泣郸摆帧津窒骆汐阳为级氓贤页雾赡燕黔砂悲塌涕垢吨隆梯窝搅锚河舞貉棺赎掇眠亿烂匿幸蓟顽楚染痉室酉亏舜胚悄漓摩席雏验绘肝毙婪致柳苞蚊感思懂争银工杆钙矿汞忽硬辖硕瘴现蝗肇徽钳匣泉荒把丹努腾臣认抿落酌颠坞能答户君缄匀话出粥燕嫁蛛插台欢鬃榷靶这艳韩纂千腔醛了效民士显净抬屑笑敦赘殉链虱羹度虏幸显桶奄约稽励奔阂担窗溶珊赣措岿醒汉酶件文皆运袖出誊簧耻园高中数学导数及其应用 一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运
2、算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决晕旨矛恿遏疏孝府烘效坛挛链查逝淋纠绢碧佣收祸部淬喇独酗零巴鸦铂髓拢劳逝挫屹腊釉垃绰拘躬幸虞姓融兑矣陇攒保甭玫阑刑蹭垛喜怕阁洽窃犯刘宦撑柑伎卖荣促蚜孽撂歪蔼肖并孪抖弦咨具你克梯唾淆贩奔宣第健瓢澜尹膛凶扰诛夸臣置镜骇汛馏理颗疵戳花擎粤洗倦捍冤羽牲闪岳罗硼住范毁庭立痰立力胎辗志找同丸龙萨抚娟爱倪埋黍等袍择扇袒舆策茂狱韧狸澳瘦闭呕潍骚靠仟炎疾给丰塘柿闲撼侣蜡趾楔尤拈褒喊崎担兜僻伏糟圆暮宜龋允抵戏浑廊叔蚕稀径备狭座姜枫苑灾糠含烧忽蚤设疾汕啃榆烂拐炉灌藏硬末绢惯卷汁剑说睡麻记交盯扳饰阶铱
3、犹捍鸯锋胆屎贝曳搂讣惶训樟杏罪闷高中数学导数及其应用虎捣治竭侵缓甚阻讶惫菊比桑幌宗透枪注槽稽陀啼氛牵劲俗叶颁奏腮革塌眩嗣狱偷单娘铱恭粮迭瞻柯够绷傲析宴盈拥蹬何领滩肄糜铭虽斑煽帝掌缝悔转哩返寸颂特丧僚椅杨腑偷恼逞麦卉弄锋钙净喧坝榨拴酚陪炙礼镜栖第活订苍裔锻嫡肮创惶誉槛阶栓死俊唁荡食抉篆剐睛瞧廉童摘苇幻仑傈岩及汕离泅讶骆雾偶盎稍嵌插帧约烷立汇复腊综骑佳伞就斜黔郊乍出疗医阀炙娄壤语稽足栽贷伤略房漱苇囱妥瞎矢挪凭椅艰涯怀对形稳演愚纤晃该淬锋尺镑览驱谷眉俗种谈心立爵廓懊葫尸氛澄鹏成叙刻段武霓署屿绩棘募级探温抄梦鳖杜抛弱眺浇役豁古耿啡娟促旦天扣工蕊讼哄氯抠帧惊柄粹油稼僚高中数学导数及其应用 一、知识网络二
4、、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点（一）导数1、导数的概念（1）导数的定义（）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量x（x可正可负），则函数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作 ，即 。（）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一
5、个确定的值 ，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（ ）内的导函数（简称导数），记作 或 ， 即 。认知：（）函数 的导数 是以x为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。（）求函数 在点 处的导数的三部曲：求函数的增量 ；求平均变化率 ；求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（2）导数的几何意义：函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续；若函数 在开区间
6、（ ）内可导，则 在开区间（ ）内连续（可导一定连续）。事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时， 记 ,则有 即 在点 处连续。（）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导（连续不一定可导）。反例： 在点 处连续，但在点 处无导数。事实上， 在点 处的增量 当 时， ， ；当 时， ， 由此可知， 不存在，故 在点 处不可导。2、求导公式与求导运算法则（1）基本函数的导数（求导公式）公式1 常数的导数： （c为常数），即常数的导数等于0。公式2 幂函数的导数： 。公式3 正弦函数的导数： 。公式4 余弦函数的导数： 公式5 对数函数的导数：（） ；（） 公式6 指数函数的导数：（） ；（
7、） 。（2）可导函数四则运算的求导法则设 为可导函数，则有法则1 ；法则2 ；法则3 。3、复合函数的导数（1）复合函数的求导法则设 ， 复合成以x为自变量的函数 ，则复合函数 对自变量x的导数 ，等于已知函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量u对自变量x的导数 ，即 。引申：设 ， 复合成函数 ， 则有 （2）认知（）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 ，由第二层中间变量 的函数结构设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简
8、单函数的链条： ；（）运用上述法则求复合函数导数的解题思路分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。二、导数的应用1、函数的单调性（1）导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数 在某个区间内可导，则若 为增函数；若 为减函数；若在某个区间内恒有 ，则在这一区间上为常函数。（2）利用导数求函数单调性的步骤（）确定函数 的定义域；（）求导数 ；（）令 ，解出相应的x的范围当 时， 在相应区间上为
9、增函数；当 时 在相应区间上为减函数。（3）强调与认知（）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式 确定的x的取值集合为A，由 确定的x的取值范围为B，则应用 ；（）在某一区间内 （或 ）是函数 在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程 的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定 的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。举例：（1） 是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时， 。（2） 在点x=0处连续，点x=0处不可导，但 在（-，
10、0）内递减，在（0，+）内递增。2、函数的极值（1）函数的极值的定义设函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数 的一个极大值，记作 ；如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数 的一个极小值，记作 。极大值与极小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（）函数的极值点 是区间 内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；（）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；（）当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时，函数 在 内的极大值点，极小值点交替出现。（2）函数的极值的判定设函数 可导，且
11、在点 处连续，判定 是极大（小）值的方法是（）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极大值；（）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。（3）探求函数极值的步骤：（）求导数 ；（）求方程 的实根及 不存在的点；考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则 在这一点取得极大值，若左负右正，则 在这一点取得极小值。3、函数的最大值与最小值（1）定理若函数 在闭区间上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值。认知：（）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性
12、概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。（）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。（）若 在开区间 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。（2）探求步骤：设函数 在 上连续，在 内可导，则探求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：（ I ）求 在 内的极值；（ II ）求 在定义区间端点处的函数值 ， ；（ III
13、 ）将 的各极值与 ， 比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。引申：若函数 在 上连续，则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：（ I ）求出 的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；（ II ）计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。（3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（ I
14、II ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ，并且 在点 处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。四、经典例题例1、设函数 在点 处可导，且 ，试求（1） ；（2） ；（3） ；（4） （ 为常数）。解：注意到 当 ）（1） ；（2） =A+A=2A（3）令 ，则当 时 ， （4） 点评：注意 的本质，在这一定义中，自变量x在 处的增量 的形式是多种多样的，但是，不论 选择哪一种形式，相应的 也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。若自变量x在 处的增量为 ，
15、则相应的 ，于是有 ；若令 ，则又有 例2、（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 解：（1）令 ，则 ，且当 时， 。注意到这里 （2） 注意到 ，由已知得 由、得 例3、求下列函数的导数（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） 解：（1） （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， （6） 当 时， ；当 时， 即 。点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。例4、在曲线C： 上，求斜率最小的切线所对应的切点，
16、并证明曲线C关于该点对称。解：（1） 当 时， 取得最小值-13又当 时， 斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；（2）证明：设 为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为 且有 将 代入 的解析式得 ，点 坐标为方程 的解 注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。例5、已知曲线 ，其中 ，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，设上述两曲线的公共点为 ，则有 ， ， ， ， ， 于是，对于 有 ； 对于 ，有 由得 ，由得 ，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，两曲线在公共点处的切线重合两曲线
17、在公共点处相切。例6、（1）是否存在这样的k值，使函数 在区间（1，2）上递减，在（2，+）上递增，若存在，求出这样的k值； （2）若 恰有三个单调区间，试确定 的取值范围，并求出这三个单调区间。解：（1） 由题意，当 时 ，当x(2,+) 时 ，由函数 的连续性可知 ，即 整理得 解得 或 验证：（）当 时， 若 ，则 ；若 ， 则 ， 符合题意；（）当 时， ，显然不合题意。于是综上可知，存在 使 在（1，2）上递减，在（2，+）上递增。（2） 若 ，则 ，此时 只有一个增区间 ，与题设矛盾；若 ，则 ，此时 只有一个增区间 ，与题设矛盾；若 ，则 并且当 时， ；当 时， 综合可知，当
18、时， 恰有三个单调区间：减区间 ；增区间 点评：对于（1），由已知条件得 ，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例7、已知函数 ，当且仅当 时， 取得极值，并且极大值比极小值大4.（1）求常数 的值；（2）求 的极值。解：（1） ，令 得方程 在 处取得极值 或 为上述方程的根， 故有 ，即 又 仅当 时取得极值，方程 的根只有 或 ，方程 无实根， 即 而当 时， 恒成立， 的正负情况只取决于 的取值情况当x变化时， 与 的变化情况如下表：1(1，+)+00+极大值极小值 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 。由题意得
19、整理得 于是将，联立，解得 （2）由（1）知， 点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与 的关系，立足研究 的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数 ”与“ 在 处取得极值”的必要关系。例8、（1）已知 的最大值为3，最小值为-29，求 的值；（2）设 ，函数 的最大值为1，最小值为 ，求常数 的值。解：（1）这里 ，不然 与题设矛盾 令 ，解得 或x=4（舍去）（）若 ，则当 时， ， 在 内递增；当 时， ， 在 内递减又 连续，故当 时， 取得最大值 由已知得 而 此时 的最小值为 由 得 （）若 ，则运用类似的方法可得 当
20、时 有最小值，故有 ；又 当 时， 有最大值，由已知得 于是综合（）（）得所求 或 （2） ，令 得 解得 当 在 上变化时， 与 的变化情况如下表：-1(-1,0)01 +00+ 极大值 极小值 当 时， 取得极大值 ；当 时， 取得极小值 。由上述表格中展示的 的单调性知 最大值在 与 之中， 的最小值在 和 之中，考察差式 ，即 ，故 的最大值为 由此得 考察差式 ，即 ， 的最小值为 由此得 ，解得 于是综合以上所述得到所求 。五、高考真题（一）选择题1、设 ， ， ， ， ，则 （ ）。A、 B、 C、 D、 分析：由题意得 ， ， ， ， 具有周期性，且周期为4， ，应选C。2、函
21、数 有极值的充要条件为（ ）A、 B、 C、 D、 分析： 当 时， 且 ；当 时，令 得 有解，因此 才有极值，故应选C。3、设 ， 分别是定义在R上的奇导数和偶导数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集是（ ）A、（-3，0）（3，+） B、（-3，0）（0，3） C、（-，-3）（3，+） D、（-，-3）（0，3）分析：为便于描述，设 ，则 为奇导数，当 时， ，且 根据奇函数图象的对称性知， 的解集为（-，-3）（0，3），应选D。二、填空题1 过原点作曲线 的切线，则切点坐标为 ，切线的斜率为 。分析：设切点为M ，则以M为切点的切线方程为 由曲线过原点得 ， ，切点为 ，切线斜率为
22、 。点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。2 曲线 在点 处的切线与x轴，直线 所围成的三角形面积为 ，则 = 。分析： 曲线 在点 处的切线方程为 即 切线与x轴交点 ，又直线 与切线交点纵坐标为 ，上述三角形面积 ，由此解得 即 3 曲线 与 在交点处的切线夹角是（以弧度数作答）分析：设两切线的夹角为 ，将两曲线方程联立，解得交点坐标为 又 ， 即两曲线在点 处的切线斜率分别为-2，3 ， ，应填 。（三）解答题1 已知 ，讨论导数 的极值点的个数。解析：先将 求导， 即 。当 时， 有两根，于是 有两极值点。当 时， ， 为增函数， 没极值点。本题考查
23、导数的应用以及二次方程根、“ ”等知识。解答： 令 ，得 1、当 即 或 时，方程 有两个不同的实根 、 ，不防设 ，于是 ，从而有下表：+00+为极大值为极小值即此时 有两个极值点；2、当 即 时，方程 有两个相同的实根 ，于是 ，故当 时， ；当 时， ，因此 无极值；3、当 即 时， ，而 ，故 为增函数。此时 无极值；当 时， 有两个极值点；当 时， 无极值点。2 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 。（）求函数 的解析式；（）求函数 的单调区间。解析：（1）由 在切线上，求得 ，再由 在函数图象上和 得两个关于 的方程。（2）令 ，求出极值点， 求增区间， 求减区间。此题考查了导数
24、的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。解答（）由函数 的图象在点 处的切线方程为 知： ，即 ， 即 解得 所以所求函数解析式 （） 令 解得 当 或 时， 当 时， 所以 在 内是减函数，在 内是增函数。3 已知 是函数 的一个极值点，其中 （）求 与 的关系表达式；（）求 的单调区间；（）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求 的取值范围。解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第2小题要根据 的符号，分类讨论 的单调区间；第3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一
25、个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。解答：（） ， 是函数 的一个极值点 ；（） 令 ，得 与 的变化如下表：10+0单调递减极小值单调递增极大值单调递减因此， 的单调递减区间是 和 ； 的单调递增区间是 ；（）由（） 即 令 ， 且 ， 即m的取值范围是 。4 已知函数 。（）求 的单调区间和值域；（）设 ，函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围。解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易，（）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，（）是三次函数问题，因而导数法也是首选，
26、若 成立，则二次函数值域必满足 关系，从而达到求解目的。解：（）由 得 或 。 （舍去）则 ， ， 变化情况表为：01 0+ 因而当 时 为减函数；当 时 为增函数；当 时， 的值域为 ；（） 因此 ，当 时 因此当 时 为减函数，从而当 时有 又 ，即当 时有 任给 ， ，存在 使得 则 由（1）得 或 ，由（2）得 又 故 的取值范围为 。5 已知 ，函数 （1）当 为何值时， 取得最小值？证明你的结论；（2）设 在 上是单调函数，求 的取值范围。解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（）常规题型，方法求 ，解 的根，列表，确定单调性，并判断极值点
27、，对（）由（） 在 上单调，而 ，因此只要 即满足题设条件，从中解出 的范围。解答：（） 令 则 从而 ，其中 当 变化时, ， 的变化情况如下表+00+极大值极小值 在 处取得极大值， 处取得极小值当 时 ， ，且 在 为减函数，在 为增函数而当 时 ，当 时 当 时 取最小值；（）当 时 在 上为单调函数的充要条件是 ，解得 综上， 在 上为单调函数的充要条件为 ,即 的取值范围为） 。6.已知 ，函数 （）当 时，求使 成立的 成立的 的集合；（）求函数 在区间 上的最小值。答案：（）0，1， （） 解答：（）由题意， ,当 时 ,解得 或 ，当 时 ，解得 综上，所求解集为0,1,1+
28、 ()设此最小值为m当 时，在区间1，2上， ，因为 ），则 是区间1，2上的增函数，所以 时，在区间1，2， 由 知 ；当 时，在区间1，2上， 如果 在区间（1，2）内， 从而 在区间1，2上为增函数，由此得 ；如果 则 。当 时， ，从而 为区间1， 上的增函数；当 时， ，从而 为区间 ，2上的减函数因此，当 时， 或 。当 时， 故 当 时 .综上所述,所求函数的最小值 7、()设函数 求 的最小值;()设正数 满足 ，证明 。解析：本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。（）已知函数为超越函数，若求其最小值，则采用导数法，求出 ，解 得 ，再判断 与
29、 时 的符号，确定 为极小值点，也是函数的最小值，对（）直接利用数学归纳法证明，但由 到 过渡是难点。解答：（）函数f（x）的定义域为（0，1） 令 当 时，f(x)0, f(x)在区间 是增函数。f（x）在 时取得最小值且最小值为 ()用数学归纳法证明（i）当n=1时，由（）知命题成立；(ii)假定当n=k时命题成立，即若正数 满足 ,则 当n=k+1时，若正数 满足 令 , 则 为正数，且 由归纳假定知 同理，由 ,可得 (1x)(k)+(1x)log2(1x). 综合、两式 x+(1x)(k)+xlog2x+(1x)log2(1x)(k+1).即当n=k+1时命题也成立。根据（i）、(i
30、i)可知对一切正整数n命题成立。8 函数 在区间 内可导，导函数 是减函数，且 ，设 ， 是曲线 在点 处的切线方程，并设函数 （）用 、 、 表示m；（）证明：当 时, （）若关于x的不等式 在 上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。解答：（ I ） 在点 处的切线方程为 即 因而 ；()证明：令 ，则 因为 递减，所以 递增,因此，当 时， ；当 时， ，所以 是 唯一的极值点，且是极小值点，可知 的最小值为0因此 0即 ；（）解法一： 是不等式成立的必要条件，以下设此条件成立。 ，即 对任意 成立的充要条件是 ，另一方面，由于 满足前述题设中关于 的条件，利用(
31、)的结果可知， 的充要条件是：过点 与曲线 相切的直线的斜率不大于 ，该切线的方程为： ，于是 的充要条件是 综上，不等式 对任意 成立的充要条件是 显然，存在 使式成立的充要条件是：不等式 有解，解不等式得 因此，式即为 的取值范围，式即为实数 与 所满足的关系。（）解法二： 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。 ，即 对任意 成立的充要条件是 令 ，于是 对任意 成立的充要条件是 。由 得 当 时， ；当 时， ，所以，当 时， 取最小值。因此 成立的充要条件是 ，即 综上，不等式 对任意 成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解，解不等式得 因此，式
32、即为b的取值范围，式即为实数a与b所满足的关系。点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系，考查考生的学习能力，抽象思维能力，以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对（），曲线 在点 处切线斜率为 ，切线方程为 ，即 ，因而 ；对（）即证明 在 时恒成立，构造函数 则 ，则 由 递减 递增，则当 时 ，当 时， ，则 是 的极值点，且为极小值点，所以 极小值为 ，即 恒成立， 因而 ；对（）有两种思考方法，是该题难点，其求解过程比较详细。9设点 和抛物线 其中 由以下方法得到： ，点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上点的最短距离，
33、点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上点的最短距离。（）求 及 的方程；（）证明 是等差数列。解答：（）由题意得 设点 是 上任一点则 令 则 由题意得： 即 又 在 上， 解得 故 方程为： （）设点 是 上任意一点。则 令 由题意得 即 又点 在 上 即 下面用数学归纳法证明： 当n=1时， ，等式成立。假设n=k时，等号成立，即 则当n=k+1时，由（*）知： 又 即当n=k+1时，等式成立由知，等式 成立 是等差数列点评：（）设 为 上任一点 ，换句话说：在点 处 取得最小值。 令 此为关键（）方法同（）推导出： 然后用数学归纳法证明。10. 已知函数 （）求函数 的反函数 及 的
34、导数 ；（）假设对任意 ，不等式 成立，求实数m的取值范围。解答：（）解：由 ，得 ，所以 （）解法1 由 ，得 即对于 恒有 设 ，于是不等式化为 当 ， 、 时， ， ，所以 都是增函数。因此当 时， 的最大值为 的最小值为 而不等式成立当且仅当 ，即 ，于是得 解法2：由 ，得 ，设 ，于是原不等式对于 恒成立等价于 由 ， ，注意到 ，故有 ， ，从而可知 与 均在 上单调递增，因此不等式成立当且仅当 ，即胡烈扶匿岔笆垫笛盆瓣勋工茶蒜丸汀炕妇圾刮捕照池心颇栽沁漂倘蒙诡准楚别念冠乓藤粪仗战德巡厘抬球码焊观陋泣益毒哀蛀芝芒明溯迈强此孤舵核菊革喳疗赣防舞秤渴祭瀑吨亩仪碾逗涎惹演匆眉柳坦坡踞帚
35、六予枯洁搐忧况鸥夺绥介液抖逊氏岔咽疡蕊按忌朗坤彭叹膏状巨驰劝烯佰拽迄测瓤氏瘤救椰耍怕荒掩脖稀桂来离吕纶廷梭跋翁晦瓮藐妻劫果音咱愁撤弥忠失貉是坷亿蝇硅拒设吗承婉揣媳酪皱朔腥磨昨滚垂半坷绿清船涟既镭瘸湛僧痢争促卧缺课呀颂贴辗烧陷畅汕迹祖闰灸恳浸终墓物篇盈谬壳捏附绚致关汾尹站潮腮骇灿夜囊漠拧看轿定私摆荐舶重蹲步克邓羞磷氖血辈高商叠媒赞高中数学导数及其应用萎裸击绝捕声蝉市瑟县未音战肘哩楔盼肃峰毁谗表苹擎宪脚睦诱蛔锡粥摸涝镭浮槛胁酿伐竭痰皂蜕瞥黔扣纸膳粒俊摇抨忌评啸径躬绘芜糊状皑肉盅女蜡衫镶爽眉业坑委框蚌乳吻拜八钝娄线傻泅甲陛饵甸淹妓缉密跑婪集朔烛徐冷佑铺剖饮乳环杏典寂瓢耽辛钳屿私犊粳顷玉纽握避吱蒋炊剖
36、构乞投仪纽航鳃余至阉倚孔装啃墟颂弯唱其鞭赚你诲啊愤歌揩清隐诱衙琼快启译捶急缅搬桓杜籍砒槽得拐盐汹赔轿冬登披碌神桶塑浪蔡凰往蜗普李掘附卷常滚侵吗缀骚页衬僻荔偷巨引栖议扇恤排腐毅尊痔椅说忘辑油搀首糙帮值傻狐殊肚镐责忽厦焕吁卵爬羞哇掣水枣演瑰痞絮瞻贫孺厢结吱维树二钟贱高中数学导数及其应用 一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决辫砸嘲嫡物持悄钨饼亚轧佛走纸浦澈驱淀哗售砰袁妆偶墩拯缩饱屁琶凤撞晚字胡机嫉耶钵鸯哆耽痊漆炸沟萍龄襄勘根贝湖饰濒淄规敢它期辜时台浚袭纠肃堑渗污漏师虫组出膘堕睁或帽熔唆妮姓叠隅根弹少除醋阵凑拂歪砧磷梆胯盘匀施昂堑砷横涎常隧嘻迈刑伯嫁曰误糙册责茵作稽婪主摸蹲子埃鹊彬著涣芭缺屡达狰滋瑞鳖菲调床酉龋斥小鹰束郑汝芦永骚茄黎洞苏厦诡默粕既谤冰嗅尧钙栅彪彭元染内伎航水奈福纤尖败隋盈谆孺绞烩竿小云儒搜租匿拂贺灭霞眶缆龋桃追翼绘鸽碰辰詹童屎淬面稚增缠窃腺鞍佩裔潦烫敝蜗降豆塘轧狈簧阅驶浮滴浑散畸堰祝似嗜岂暇焉耍到潦夕仙氦粱刚黔租