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1、MPCK视角下的数学专题教学 专题教学作为课堂教学内容的重要组成部分，如何组织专题教学值得深入研究. 本文从MPCK的视角纵观专题教学的出发点、立足点、落脚点，通过教学案例，阐述MPCK视角下专题教学的实践与思考. MPCK，数学专题，问题驱动，数学素养 数学专题是数学课堂教学活动的重要组成部分，它以具有一定综合性的内容为载体，以形成知识网络为指向，以提升学生综合运用知识解决数学问题、提升能力为目的，具有一定的操作性、指向性和实效性. 当前专题教学中，“大容量+大范围”的现象较为普遍，其结果是学生没有真正理解数学知识，不能抓住其本质，在解决问题时束手无策、无从入手. 存在这种现象的主要原因有有
2、些教师没有透彻地理解问题的实质，只是通过一些例习题带过，缺乏深入讲解，导致学生学习效果甚微；对专题教学认识不够、定位不准，以为学生会机械地模仿就能解题；不了解学生的认知规律，以为大容量、大范围、快进度就能带来高效率. 这样的专题教学往往失去了数学的本质，学生不知道数学思想源自何处、有何作用，自然也就对数学学习失去了兴趣. 一个具有优秀MPCK的教师在教学中会让学生充分地认识到数学专题不仅仅是“题海战术”，在实践和应用中更蕴含着“火热的思考”. ? MPCK的内涵与结构 20世纪80年代，美国学者舒尔曼提出了“缺失的范式”，给出了PCK概念，为人们进一步理解教与学提供了更加广阔的视角.就数学教育
3、而言，掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师专业发展，教师更需要具备MPCK，即具备数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK）以及教育技术知识（TK），才能将学科知识有效地传递给学生. 1. MPCK视角下的数学专题教学 数学专题不仅是对知识的深化和方法的拓展，更是对数学思想方法的探索过程的辨析与能力的提高. 因此，在数学专题教学中要突出学生的主体性，充分让学生参与教学过程，使学生生动、活泼、主动地学习.教师应从MK、PK、CK、TK的角度开展数学专题教学，让学生成为解题方法的参与者和发现者. 从MK的角度分析，教师应具备丰富、系统的数学学科知识. 在专题教学
4、中，教师应做到以下几点 “问题是数学的心脏.”专题教学中要选择一些知识点覆盖面广、解题方法多、思维含量高的习题作为素材，按照“知识问题化、问题层次化”的设计思路组织课堂活动. “学而不思则罔，思而不学则殆.” 要在专题教学中适时地归纳总结，挖掘问题中蕴含的数学思想，引导学生在建构基础知识的同时奏响数学思想的“主旋律”. 教师在专题教学中要注重知识的自然生成，潜意识地进行教学预设，激发学生的学习兴趣，有助于学生知识体系的建构. 从PK的角度分析，教师应选择恰当的教学方法组织教学，完成既定教学任务. 数学专题教学一般可按照以下步骤进行创设问题情境，引入专题；形成解题策略，分析解题困境；探究优化方法
5、，启发、引导问题解决；引申、变式、探究、研讨；总结、归类反思方法.在具体的教学中适时调整，以问题的发现、探究和解决为中心，通过发现、分析、创造性地解决问题去激发学生的求知欲、创造欲和主体意识. 从CK的角度分析，教师应充分把脉学生的知识水平、学习能力，确定教学专题做到因材施教，设计符合学情的教学活动，在活动中帮助学生夯实基础，又能突破专题难点. 从TK的角度分析，教师应根据专题教学的特点，合理运用现代教育技术辅助教学，运用现代教育技术直观、动态地呈现数学规律、数学现象. 此外，现代教育技术的应用也为提高专题复习课堂的效率提供了技术支撑. ? MPCK视角下的数学专题教学案例分析 以高三数学教学
6、专题“三角形中的三角函数”为例. 1. 课堂引入专题教学以问题驱动为出发点 普通高中数学课程标准（实验）强调“要让学生在现实、生动具体的情境中和已有知识的基础上体验和理解数学知识”. 因此，在专题教学中创设适当的问题情境，让学生感受数学，激发源动力. 引例1（2018年江?K卷）在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60，求BC的长及sinC. 引例2（2018年全国卷）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，求ABC的面积. 引例3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosB-bcosA=c，求的值. 引例4在ABC中，已知点D在BC边上，A
7、DAC， sinBAC=，AB=3，AD=3，求BD的长. 评析（1）从MK和PK的角度来看，本环节的目的是让学生通过一些问题感知“三角形中的三角函数”专题中常见的处理策略在一个或多个三角形中运用正、余弦定理进行边角互化解三角形，从而完成对三角形中的三角函数专题的第一次认识. （2）从CK的角度来看，根据认知心理学理论，学生对知识的认知将经历感知、推理、创造的过程. 通过创设问题情境，帮助学生建立与新知识联系的桥梁，形成完整的知识体系. 同时激发学生的学习兴趣，让学生了解专题产生的背景以及它的作用，懂得数学知识并不是独立的，而是一脉相承的. 因此，以问题为驱动，引入课题是专题教学有效的切入点.
8、 2. 探索体验专题教学以学生探究为立足点 普通高中数学课程标准（实验）指出，课堂教学要善于激发学生“自学、互学、群学”的学习热情，专题教学中常通过设计一些问题让学生进行探究交流. 例1在ABC中，AB=4，AD为BC边上的中线，BAD=30，cosADC=，求AC的长. 通过分析，利用正、余弦定理可以解决这个问题，学生主要的困惑在于面对多个三角形如何灵活地选用正、余弦定理. 为突破这个难点，可再设计一组问题串 问题1在ABC中，AD为BC边上的中线，且BAC=120，BC=2，AD=3，求AC的长. 问题2在ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4，AC=2，BAD=30，求BC的长. 问
9、题3在ABC中，A=120，AD为A的平分线，且BC=2，BD=，求AC的长. 通过这几个问题的讨论、交流，引导学生深化对知识的理解，提升转化和化归的能力. 评析（1）从MK和PK的角度来看，本环节的目的是让学生深化对知识的理解和运用，提升分析问题、解决问题的能力. 在设计时，注重学生的课堂参与度，努力搭建平台引导学生自主探究、自主提升，充分体现学生的主体性，让探究成为专题教学的立足点. （2）从CK的角度来看，根据皮亚杰的认知发展阶段论，高中学生已具备较高的认知水平，通过第一环节的学习已经初步掌握了利用正、余弦定理解决三角形中的边角问题，但是面对多个三角形如何灵活地选用正、余弦定理还是存在困
10、惑，因为把复杂的问题转化、化归为简单的问题，对高中生来说难度较大. （3）从PK和TK的角度来看，利用现代教育技术手段呈现知识的自然生成，而要使知识得到有效的建构，有赖于学生主动探索与思考. 教师可适当地选择启发式、探究式等教学策略，引导学生积极地思考，自主探究，化解问题的难点.通过设计几个问题串把学生的思维推向深化，加深他们对知识的理解和运用. 3. 应用提炼专题教学以思想方法为落脚点 “学而不思则罔，思而不学则殆.”专题教学不仅仅是单纯的习题教学，更重要的是在问题解决过程中凸显解题策略和数学思想方法. 例2已知在ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，求+的最大值. 解不妨设BC=a，AC
11、=b，AB=c，AB边上的高为h，根据正弦定理及三角形的面积可得ch=absinC. 又h=c，所以c2=absinC，即c2=absinC. 由余弦定理知，c2=a2+b2-2abcosC，所以a2+b2=absinC+2abcosC，从而+=2sinC+2cosC=2?sin C+ . 所以，当C=时取得最大值2. 思维拓展 1. （2018年江苏高考第14题）已知在ABC中，AB=2，AC=BC，求ABC的面积的最大值. 2. 已知平面向量m，n满足 n =1且m与n-m的夹角为120，求 m 的最大值. 通过例2和思维拓展题，学生的思维在广度、深度上得到了拓展，对本专题的掌握在解题方法
12、和数学思想上有了质的突破，提升了运用数学思想、数学方法解决问题的能力. 评析（1）从MK的角度来看，每个数学问题都蕴含着一定的数学思想、数学方法. 例2中最值问题在本质上是函数问题，运用正、余弦定理解决三角形里的最值问题是函数问题的常见解题策略. （2）从CK的角度来看，经过前面三个阶段学生已有一定的知识储备，例2就是让学生将知识提炼升华到方法层面，更深层次地培养学生运用正、余弦定理解决三角形问题的工具意识. （3）从PK的角度来看，专题教学更注重数学核心素养的培育. 例2让学生体验到正、余弦定理与三角恒等变换、三角形面积公式、基本不等式的综合应用，在应用里体会数学问题中蕴含的数学思想、方法，
13、逐步掌握程序性知识和策略性知识，优化认知结构，同时在思维的训练中引领数学核心素养的培养. ? 结语 专题教学是一项复杂、艰巨的教学任务，它不但需要教师做好充分的课程准备，更需要教师能够根据学情适时地调整教学模式和教学方法. 在专题课题的选材上往往以学生的信息反馈、教材习题、试题研究、教研活动等为生长点，教师要扮演好专题教学的策划设计者、引导调控者、鼓励评价者、梳理升华者，学生要成为专题教学的积极参与者和发现者，引导学生从认识上、思想上揭示问题的本质，进而培养和发展学生的数学素养和创新意识. 专题是高中数学课堂的重要内容，如何通过专题教学让学生认识到其中蕴含的数学知识的本质，这就需要教师具备专业
14、的MPCK. 只有具备良好的MPCK，才能创造性地组织、实施教学，锻炼学生的思维，同时教师的个人教育教学素养也将得到提升. 1 董涛. 课堂教学中的PCKD. 华东范大学，2018. 2 梅松竹，冷平，王燕荣. 数学教师 MPCK之案例剖析J. 中学数学杂志，2018，19（11）10-12. 3 徐芳芳. 高中数学教师的学科知识与学科教学知识研究J. 数学教育学报，2018，20（3）71-75. 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查
15、点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。4 秦德生，孙晓雪. 中学教师数学知识结构的模型分析J. 数学教育学报，2009，18（5）89-91. 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学
16、生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。5 托德?维特克尔. 优秀教师一定要知道的14件事J. 中国青年，2018.“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。说文解字中有注曰“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于史记，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。