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1、仿射坐标在高中数学解题中的应用 高中阶段的几何题，往往采用的是建立直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决，但是由于直角坐标系的特殊性，并非所有的题目都容易建立直角坐标系，仿射坐标系在建系上比较灵活，而且学生容易掌握. 仿射坐标系；直角坐标系；高中数学解题 高中阶段的平面几何和立体几何题，往往采用的是建立直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决，但是由于直角坐标系的特殊性，并非所有的题目都容易建立直角坐标系，仿射坐标系在建系上比较容易，而且学生容易掌握. 在某些题中运用仿射标系可以给运算带来简便. 仿射坐标系 平面内任意给定一点O和两个不共线的向量e1，e2，则任意一个向量都可以表示成e1
2、，e2的线性组合，=xe1+ye2，则把e1，e2称为平面内的一组基，则有序数组（x，y）称为m在仿射坐标系O；e1，e2中的坐标，类似地可以定义空间中的仿射坐标. 易知当e1，e2（e1，e2，e3）为两两垂直的单位向量时，仿射坐标系变为直角坐标系，仿射坐标系具有以下性质 （1）？摇仿射坐标系中向量坐标的加减运算、数乘运算、线性表示与直角坐标系保持一致，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标. （2）？摇在仿射坐标系中共线向量的判别条件与直角坐标系保持一致，即对应坐标成比例. （3）？摇在仿射坐标系中线段的定比分点公式与直角坐标系保持一致. 证明向量的运算法则在射影坐标系下保持不变，由向量坐标的
3、运算、共线向量的性质，易知结论（1）（2）（3）成立，由（3）可知，射影坐标系可以解决等分点问题. 例1 在ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=_. 解如图2所示，建立仿射坐标系，设 A（0，0），B（b，0），C（0，c），则M0，c，Nb，c，？摇？摇？摇 =b+-c，x=，y=-. 例2 平面内给定两个向量，已知a=（3，2），b=（2，9），若满足（a+4b）（-3a-kb），则求k的值. 解因为a=（3，2），b=（2，9）两向量不共线，所以以a和b为基底的单位向量建立平面方射坐标系，则（a+4b）=（1，4），（-3a-kb）=（-3，-k）.？摇 因为（a+4b）（
4、-3a-kb），所以1（-k）=4（-3），即k=12. 例3 证明四面体对棱中点的连线交于一点.？摇 证明如图3，四面体A-BCD中，E，F，G，H，M，N为棱的中点，取空间仿射坐标系，则各点坐标分别为 E，0，0，F0，G，0，H0，0，N0，0，M，0，. 设EF与GH交于一点O（x，y，z），设=1，=2， 由定比分点公式可得x=，y=， z=. 解得1=2=1. 所以O，. 设EF与MN交于点O（x，y，z），同理可得O，所以四面体对棱中点的连线交于一点. （4）仿射坐标系中的直线方程可用两点式、截距式. 证明如图4，在仿射坐标系O；，中，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（x
5、，y）为直线上任意一点，因为C，D，E三点共线，所以有=，即（x-x1，y-y1）=（x2-x1，y2-y1）， 有x-x1=（x2-x1），y-y1=（y1-y1），所以=（x2x1，y2y1）， 当（x2=x1，y2=y1）时，方程为x=x1或y=y1，如图5. 截距式证明与以上类似，如图6. 例4 证明三角形三边的中线交于一点. 证明如图7在ABC中，E，F，G分别为三边的中点， 以A为原点，建立仿射坐标系A；AB，AC， 则A（0，0），B（1，0），C（0，1），E，0，F0，G， 所以直线AG，BF，CE的方程为y=x，y=-x+，y=-2x+1. 可以得到AG与BF的交点为，BF
6、与CE的交点为，所以直线AG，BF，CE交于一点. （5）仿射坐标系下向量的乘法和距离表示.？摇 证明在仿射坐标系下，设向量a，b的坐标分别为（a1，a2），（b1，b2） ，则a?b=（a1e1+a2e2）?（b1e1+b2e2） =a1b1e1?e1+a1b2e1?e2+a2b1e2?e1+a2b2e2?e2， 同理在空间仿射坐标系下 a?b=（a1e1+a2e2+a3e3）?（b1e1+b2e2+b3e3） =a1b1e1?e1+a1b2e1?e2+a1b3e1?e3+a2b1e2?e1+a2b2e2?e2+a2b3e2?e3+a3b1e3?e1+a3b2e3?e2+a3b3e3?e3.
7、 由此可得到向量在仿射坐标系下模表示a= ， a= ， 因此有两点之间的距离公式=-=（x2-x1，y2-y1）， =， 或 = 在具体的题目中，如果将每组基的模取为1，由a?b=a1b1+a2b2+a3b3+（a1b2+a2b1）cos1，2+（a1b3+a3b1）cos1，3+（a2b3+a3b2）cos3，2 则（1）（2）（3）（4）可以简化为？摇 a=？摇（1*） a=？摇 （2*） AB=？摇（3*） AB= ？摇（4*） 易见当基两两垂直，且模为1时，以上表达式与直角坐标系一致. 所以当坐标系不是标准直角坐标系时，只要知道坐标轴之间的夹角，就可以建立仿射坐标系，解决距离、夹角、证
8、明垂直等问题. 例5 三棱锥中A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_. 证明以C为原点建立仿射坐标系C；，则C（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，3），B（0，2，0）， 所以N（0，1，0），M，0，=（0，1，-3），=，0，. 由AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，得到cosACD=， cosACB=，cosBCD=，所以由（4*）式 =2， 这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱
9、生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?=2， 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学
10、”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。所以cos=. 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。仿射坐标系作为比直角坐标系更一般的坐标系，使用相对灵活，可以简化一些题目的运算，在高中阶段，平面向量的基本定理中已经引入基底的概念，故学生学习仿射坐标的难度不大，学有余力的学生可以学习仿射坐标系，其使用关键在于基底的选取，选取恰当的坐标系，可以起到事半功倍的效果.