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1、基于常态教学模式下的初中数学变式教学研究 【摘要】 本文以数学常态课为变式训练的主阵地，结合数学常态课中的四种基本模式，展开了多角度、多方位、多层次的讨论和思考. 研究结果认为数学常态课中的变式教学有利于培养学生探究问题的能力，是双基教学、思维训练和创新能力培养的重要途径. 笔者对近几年中考试题进行分析，中考题基本都源于课本，是课本习题的变式或引申. 可以说，变式教学训练已经成为中国数学教育的一个特点. 为有效地落实素质教育与培养学生创新和实践能力，以及实现初中数学最优教学方式. 笔者于2010年9月开展了“变式训练在初中数学常态课中的实践与研究”区级课题研究. 其研究的重点为常态课中的变式教
2、学的方法与要求. 本文将对概念课教学模式、例题课教学模式、复习课教学模式和讲评课教学模式等教学中变式教学方法与要求进行阐述，希望能能给同行们带来一定的参考. 一、变式教学界定 林伟认为变式教学就是：“有目的地从多方面、多层次、多维度思考、分析、学习数学知识，培养学生理解数学概念，灵活运用数学公式，提高解题应变能力的一种教学方法. ”吴小峰认为变式教学是：“通过变更数学中概念的非本质特征来暴露问题本质特征的教学方法，即在数学教学用不同的直观材料或事例及说明命题的非本质特征进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，以突出他们的本质特征，结束不同知识点的内在联系的一种教学方法. ”通过上面两
3、位老师的界定，我们可以看出一个公共的特征就这种教学方法要突出一个“变”字，因此，在实践的运用过程中如何有效地进行变是我们必须认真思考的重点. 二、四种常态教学模式中的变式教学 （一）概念课教学模式 1. 模式概述 概念课教学模式的教学程序可以概括为：“问题情境探究新知形成概念变式深化变式训练总结升华”六个环节. 模式的重点环节及实施方式是通过辨析变式和等价深化变式，使学生对概念有更深刻的理解，让学生融会贯通. 可根据学习目标和学生交流中所反馈的信息，精心选编题目，并通过变式得到一组训练题组，让学生在解答、探索中，深化对概念的理解，促进认知结构的内化. 这种教学模式下教师活动体现在：设计概念辨析
4、题组，结合概念等价深化变式，引导学生探索、发现；鼓励学生探求变式，拓宽学生的知识视野，促进创造性思维品质的形成. 学生活动体现在：自我探索，针对训练题目，在多方位探求解法的基础上，通过探索题目变式及对变式问题的解决，与新学概念进行比较、分析，逐步形成新的知识结构与知识系统；根据教师的引导，积极探索、发现新知；通过自主思考、小组讨论等形式，对概念进行更深层次上的认识和把握. 2. 变式教学实践 正方形和矩形是同一关系，平方根和算术平方根是从属关系，矩形和菱形是交叉关系，平行四边形和梯形是不相容关系，此类概念都可以设置几组变式练习或图形进行训练. 又如“圆心角”与“圆周角”. 已知“圆心角”是顶点
5、在圆心的角. 由此及彼，大部分学生可得出“圆周角”的定义：顶点在圆上的角叫“圆周角”，但只要画几个错的圆周角，就发现定义不正确了. 教师再让学生把“圆周角”的定义叙述出来. 这样通过变式比较，“圆心角”与“圆周角”的概念便一目了然，清清楚楚. 实践案例1 同底数幂相乘中的变式训练，下面计算否正确？若不正确请加以纠正. a3?a2 = a6； a2 + a3 = a5； x5 + x5 = x10； x3?x3?x3 = 3x3； b4?b4 = 2b4； y7?y = y8. 实践案例2 下列函数中哪些是二次函数？ y = -0.5x2 + 1； y = 2x - 1； y = （x + 4）
6、2 - x2； y = （x + 2）2 - 32. 3. 实践分析 上述变式主要是基于概念之间的逻辑关系和学生容易出现的错误. 例如案例1中设置在代数教学中较多，其可以激发情智，理清法则，在辨别中求真知，探索中转化和提高. 案例2中学生通过正、反比例函数和一次函数等作比较，对二次函数的概念有了深刻的认识和理解. 因此，在提高变式教学法的有效性上，教师可根据学习目标和学生交流中所反馈的信息，精心选编题目，并通过变式得到一组训练题组，让学生在解答、探索中，深化对概念的理解，促进认知结构的内化. （二）例题课教学模式 1. 模式概述 例题课教学模式的教学程序概括为：“精选范例解法变式方法应用题目变
7、式问题解决总结升华”. 模式的重点环节及实施方式是范例的来源，可以是课本的例题或习题，也可以是其他题目，如辅导资料的题目或历年期末考题、中考题等. 选取的范例应具有“四性”：针对性、基础性、灵活性和可变性. 其模式教学中教师活动体现在：设计训练变式例题，引导学生通过对范例的变式，得到方法训练题组；引导学生运用解决范例的方法解答变式训练题组，对学生给予分析和点拨. 学生活动体现在：自主审题、自主解答上. 范例来源可以是课本的例题或习题，也可以是其他题目，如辅导资料的题目或历年期末考题、中考题等. 2. 变式教学实践 实践案例3 已知一个一次函数，当自变量x = 2时，函数值y = -1；当x =
8、 5时，y = 8. 求这个函数的解析式. 变式1：经过点（2，-1）和（5，8）；变式2：经过点（2，-1），且截距是8；变式：经过点（2，-1），且平行于直线y = 3x + 2；变式4：平行于直线y = 3x + 2，且截距是8. 实践案例4 等腰三角形的性质. 变式1：等腰三角形一个底角是75，求顶角的度数；变式2：等腰三角形一个顶角是75，求底角的度数；变式3：等腰三角形一个内角是75，求其余角的度数；变式4：等腰三角形一个内角是110，求其余角的度数. 3. 实践分析 案例3中四个变式涵盖了“两点式”、“一点截距式”、“一点平行式”、“平行截距式”求一次函数解析式的四种基本类型.
9、通过这四种变式，学生不但知道了求一次函数解析式的题型，而且很好地掌握了求解析式的方法. 学生通过变式练习，心智技能得到很好的发展. 案例4中的变式1、变式2，根据等腰三角形的性质，容易直接得出两个底角度数. 变式34需要根据这个内角是顶角还是底角进行分类讨论，增加难度和思维量. 几个变式让学生熟悉了“等腰三角形已知一角，求其余两角”的方法和思路. 通过变式，让学生在类比中感受等腰三角形的性质. （三）复习课教学模式 1. 模式概述 复习课教学模式的教学程序可以概括为：“知识归析精选范例解法探究探索变式问题解决总结升华”. 也可以采用“定向自学点拨自测评讲自结”的教学程序. 重点环节复习课所选的
10、范例应具有针对性、典型性、灵活性、综合性. 这里的“变式”，与前面例题课教学模式中所谈的“变式”相比，其特点是“新、深、广”，即变式题目新，知识渗透深，方法应用广. 教师活动体现在设计针对性、启发性强的问题，激发学生回顾旧知识的兴趣；引导学生建立知识结构，探索方向（如引导学生进行条件变式、结论变式、图形变式、等价变式、逆向变式、拓广变式等）. 学生的活动体现在：主动参与，积极回顾、探究所学知识的内在本质联系，建立明晰、稳固的知识体系，使所学知识在回顾与反思中得到进一步升华，最大限度地探索题目的各种变式；求解变式问题，融会贯通，建立准确无误的知识网络，形成明晰的数学思考方法，养成良好的思维和学习
11、习惯. 2. 变式实践 实践案例5 在ABC中， 内接矩形DEFG的一边DE在BC上，AH是BC上的高， AH交GF于K. （变换题中部分边长及比例）当矩形相邻两边之比为2 1，求相邻两边的长当矩形相邻两边之比为1 1，求相邻两边的长. 变式1：若 GF = 18，BC = 48，EF = 10求，AK的长；变式2：若DE EF = 2 1，BC = 48，AH = 16，求内接矩形的长和宽；变式3：若DE EF = 1 2，BC = 48，AH = 16，求内接矩形的长和宽；变式4：若BC = 48，AH = 16. 实践案例6 在ABC中，B = 90，AB = 9 cm，BC = 12
12、cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. 如果P，Q分别从A，B同时出发，几秒钟后PBQ的面积等于8 cm2？ 变式1：几秒钟后PBQ的面积等于ABC面积的；变式2：几秒钟后PBQ与ABC相似；变式3：如果“点P移动到点B后可以继续沿BC向点C移动，点Q到达点C后可以继续沿CA向点A移动”，那么“几秒钟后PCQ的面积等于8 cm2？”；变式4：“若设PBQ的面积为S（cm2），AP的长为x（cm），试求出S与x之间的函数关系式，并求出点P移动到什么位置时PBQ的面积最大？” 3. 实践分析 案例5通过内接矩形长度的变化，
13、出现矩形和正方形的图形变式，拓宽了学生的知识面，帮助学生更好地利用相似三角形“相似三角形的对应高之比等于相似比”的性质去解决问题. 案例6既可以复习一元二次方程的知识，又能体现运动、变化、数形结合等数学思想. 还能进一步变形引申达到复习一题，解决一类题的目的. 这种变化和引申，把相关的知识联系到一体，实现解题的多向性思维，培养了学生触类旁通、活用基础知识的能力. 复习是一个“串点成线”的过程，教师要将一颗颗散落的珍珠串成美丽的项链，帮助学生在头脑中建构起良好的知识体系. 所以，复习课中例题的选择尤为重要. 通过一道题的复习、讲解和发挥，把某些基本概念和基本方法阐述得一清二楚，既强化了双基，又提
14、高了能力. 因此所选的例题应具有典型性，延伸性，创造性和启发性. （四）讲评课教学模式 1. 模式概述 讲评课是指在进行单元考查、阶段考查或期末考查后，对试卷进行评析的课型. 教学程序概括为：“总体评价归类评析变式训练回顾全卷总结升华”. 模式的重点环节及实施方式是教师应进行总体评价. 教师活动体现在：根据学生出现的错误而设计矫正练习，挖掘题目本质，求解变式问题；以题目带知识，引导学生反思，对典型范例进行探索而得到拓广变式. 学生活动体现在：自主寻找错因，求解变式问题，矫正错误；将题目归类探求同类题的优解，探求正确解题方法，完成解答. 2. 变式实践 实践案例7 在ABC中，AB = AC：
15、变式1：如果BAD = 30，AD是BC上的高，AD = AE，求EDC. 变式2：如果BAD = 40，AD是BC上的高，AD = AE，求EDC. 变式3：通过以上两题，你发现BAD与EDC之间有什么关系？请用式子表示. 变式4：如果AD不是BC上的高，AD = AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由. 3. 实践分析 案例7中前两个变式，为后面两题做了铺垫，学生容易发现BAD = 2EDC的结论，但第四个解答，学生往往觉得没有思路，说不清楚，因此得分率很低. 讲评时，教师可结合此题再次强调数形结合思想在解题中的应用，通过设一个或几个元，将图形的关系转化为数字之间的关系，从而
16、得出结论. 有了变式思想，此类题目的解答就有较为明确的思路，学生也不会觉得无从下手了. 通过试题变式，能让学生真正体验到数形结合的妙用，这些重要的数学思想的渗透不能仅仅依赖教师的讲解，而应多让学生自己去体会、感悟，从而内化为自己的知识. 一题多解，一题多变的试卷讲评活了跃课堂气氛，培养了学生的钻研精神，使学生在思考问题上具有灵活性、多变性，减少了学生在几何证明中钻死胡同的现象. 学生解题成功的概率大了，尝到成功的喜悦多了，学习数学的兴趣也日益浓厚起来. 三、结论与建议 （一）结 论 通过对数学常态课的变式教学实施，学生对数学解题的恐惧心理被改变了，学生对数学解题的浓厚兴趣被提升了，学生探究问题
17、的能力得到了培养，使学生心目中枯燥乏味的“死”数学演变成生机盈然的“活”数学. 数学变式教学的实施，极大提高了教师教学水平和解题视野，摆脱了“找题解题讲题”的题海战术. “变”能引起学生的思维欲望和最佳思维定向. 变式训练是创造性思维的关键. 教学中要善于运用变式，启发学生多角度、多方向、多层次思考问题，鼓励学生大胆假设，求新求异. 变式训练的方法很多，如一题多解（训练发散思维）、一题多变（训练创造性思维）、多题一法（训练集中思维）等. 常态课教学中，教师需设计一些变式习题，引导学生多角度、多方位进行思维，尝试多种解法，达到“做一例而通一类”的目的. 因此，可以说变式教学是双基教学、思维训练和
18、创新能力培养的重要途径. （二）建议 1. 夯实基础，有效变式 数学基础知识，基本概念（定义、定理、性质、公式、法则）是解决数学问题，产生新问题的起点. 为此，我们要从知识的发生过程中设计变式问题，突出概念形成的过程与形成的来龙去脉，要从学生的认知“最近发展区”上进行变式的设计；在基本知识和基本概念的变式设计上不能简单告诉学生方法，而是要通过设计开放性的问题，令学生通过类比、归纳、猜想等方式得出相应结论，进而再对其所得出的结论进行论证. 这样，通过一系列的变式训练之后，让学生充分掌握所学的基础知识和基本概念，从而强化沟通常见的性质、定理、判定定理等，拓展学生的解题思路，活跃解题的思维，激发参与
19、的兴趣. 2. 设计合理，有针对性 通过对实践的总结与研究，笔者认为在变式教学过程中，教师要突出变式设计的合理性，使其具有较强的针对性. 为实现这一目标，笔者认为必须要遵循教学对象的认识规律与其年龄段的心理发展特征，按照由低到高，由浅入深的原则，设计梯度清晰的各类变式题组. 通过这样的合理设计与针对性的加强，并贯以精讲多练（变式训练），发挥教师的主导作用，从而实现学生的学习主体地位和训练的主线作用. 不仅如此，笔者还认为在实施变式教学方法的同时，必须要针对不同内容，不同教学阶段，选择不同教学方法. 最终实现在“变”中逐渐开阔视野，逐渐拓宽思维空间. 在“不变”中寻找必然的关系，从而找到解决问题
20、的途径. 通过变式训练，将静态的数学与动态的变化结合起来，让学生在图形变化中理解并体验“变与不变”. 使他们明白：解题的秘密在于“万变不离其宗”. 3. 推陈出新，有发展性 我们知道，在常态课中运用“变式教学”或“变式训练”，可以通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，有效地帮助学生打通学习上的致命关节，帮助学生建构有价值的变式探索过程，从而展示数学知识发生、发展和应用的全过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通. 为了实现上面所述，笔者认为数学教师有必要认真钻研变式教学理论，积累变式设计经验，在推陈出新上下足工夫，从而保证变式教学的发展性. 4. 坚持原则，有规律性 在变式教学中，教师首先应坚持问题性原则，注意变式问题的典型性、开放性、形式多样性，使学生从系统上把握知识，形成解题规律，达到举一反三的效果. 其次是主体性原则，让学生主动探索，留下思维空间与时间，尝试自我变式，并进行合作讨论，真正突出学生的主体地位. 第三是再创造原则，让学生用自己的思维方式去编拟和解决变式题，来培养他们的创新能力. 此外，还需兼顾差异性、层次性、开阔性、灵活性原则. 【